Спираль

Чтобы узнать о других значениях, см. Спираль (значения) .

Разрез раковины наутилуса , показывающий камеры, расположенные примерно по логарифмической спирали.

В математике спираль — это кривая , исходящая из точки и удаляющаяся все дальше по мере вращения вокруг этой точки. Это подтип завитковых узоров, обширная группа, включающая также концентрические объекты .

Спирали

Спираль Архимеда (черная), спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

Два основных определения «спирали» в Словаре американского наследия :

1. кривая на плоскости, которая обвивает фиксированную центральную точку на постоянно увеличивающемся или уменьшающемся расстоянии от этой точки.
2. трехмерная кривая, которая вращается вокруг оси на постоянном или непрерывно меняющемся расстоянии, двигаясь параллельно оси; спираль ​ .

Первое определение описывает плоскую кривую, простирающуюся в обоих перпендикулярных направлениях внутри своей плоскости; канавка на одной стороне граммофонной пластинки очень похожа на плоскую спираль (и именно из-за конечной ширины и глубины канавки, а не из-за большего расстояния между дорожками, чем внутри, она не может быть идеальным примером); Обратите внимание, что последовательные петли различаются по диаметру. В другом примере «центральные линии» рукавов спиральной галактики прокладывают логарифмические спирали .

Второе определение включает два вида трехмерных родственников спиралей:

• Коническая или спиральная пружина (включая пружину, используемую для удержания и контакта с отрицательными клеммами батарей типа АА или ААА в аккумуляторном ящике ), а также вихрь , который создается при сливе воды в раковине, часто описывается как спираль. или в виде конической спирали .
• Совершенно очевидно, что определение 2 также включает в себя цилиндрическую спиральную пружину и цепь ДНК , оба из которых являются весьма спиральными, так что «спираль» является более полезным описанием, чем «спираль» для каждого из них; вообще, «спираль» применяется редко, если последовательные «петли» кривой имеют одинаковый диаметр.

На рисунке сбоку черная кривая внизу — это спираль Архимеда , а зеленая кривая — спираль. Кривая, показанная красным, представляет собой коническую спираль.

Двумерный

Основная статья: Список спиралей

Двумерную или плоскую спираль легче всего описать с помощью полярных координат , где радиус $r$ является монотонной непрерывной функцией угла $\varphi$:

• $r=r(\varphi )\;.$

Круг можно было бы рассматривать как вырожденный случай ( функция не строго монотонна, а скорее постоянна ).

В $x$- $y$-координаты кривая имеет параметрическое представление:

• $x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.$

Примеры

Некоторые из наиболее важных видов двумерных спиралей включают:

• Спираль Архимеда : $r=a\varphi$
• Гиперболическая спираль : $r=a/\varphi$
• Спираль Ферма : $r=a\varphi ^{1/2}$
• Пляж ​ : $r=a\varphi ^{-1/2}$
• Логарифмическая спираль : $r=ae^{k\varphi }$
• Корню Спираль или клотоида
• Спираль Фибоначчи и золотая спираль.
• Спираль Теодора : приближение архимедовой спирали, состоящей из смежных прямоугольных треугольников.
• Развертка ​ круга

• 
  Архимедова спираль
• 
  гиперболическая спираль
• 
  Спираль Ферма
• 
  пляж
• 
  логарифмическая спираль
• 
  Спиральный рог
• 
  спираль Теодора
• 
  Спираль Фибоначчи (золотая спираль)
• 
  Эвольвента круга (черная) не идентична спирали Архимеда (красная).

Гиперболическая спираль как центральная проекция спирали

архимедова спираль . Например, при свертывании ковра образуется

Гиперболическая спираль представляет собой изображение спирали со специальной центральной проекцией (см. схему). Гиперболическую спираль иногда называют обратной спиралью, потому что она представляет собой образ архимедовой спирали с инверсией окружности (см. Ниже).

Название логарифмической спирали связано с уравнением $\varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}$. Приближения к этому встречаются в природе.

Спирали, не вписывающиеся в данную схему первых 5 примеров:

Спираль Корню имеет две асимптотические точки.
Спираль Теодора представляет собой многоугольник.
Спираль Фибоначчи состоит из последовательности дуг окружностей.
Эвольвента круга выглядит как архимедова, но это не так: см. Эвольвента#Примеры .

Геометрические свойства

Следующие соображения касаются спиралей, которые можно описать полярным уравнением $r=r(\varphi )$, особенно для случаев $r(\varphi )=a\varphi ^{n}$ (Архимедова, гиперболическая, спирали Ферма, литууса) и логарифмическая спираль. $r=ae^{k\varphi }$.

Определение сектора (голубой) и угла полярного наклона $\alpha$

Угол полярного наклона

Угол $\alpha$ между касательной спирали и соответствующим полярным кругом (см. схему) называется углом полярного наклона, а $\tan \alpha$ полярный склон .

Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула

$\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .$

Отсюда и наклон спирали $\;r=a\varphi ^{n}\;$ является

• $\tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .$

В случае архимедовой спирали ( $n=1$) полярный наклон $\;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .$

Логарифмическая спираль представляет собой особый случай, поскольку $\ \tan \alpha =k\$ постоянный !

кривизна

Кривизна $\kappa$ кривой с полярным уравнением $r=r(\varphi )$ является

$\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .$

Для спирали с $r=a\varphi ^{n}$ каждый получает

• $\kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .$

В случае $n=1$ (Архимедова спираль) $\kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}$.
Только для $-1<n<0$ спираль имеет точку перегиба .

Кривизна логарифмической спирали $\;r=ae^{k\varphi }\;$ является $\;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.$

Площадь сектора

Площадь сектора кривой (см. схему) с полярным уравнением $r=r(\varphi )$ является

$A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .$

Для спирали с уравнением $r=a\varphi ^{n}\;$ каждый получает

• $A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},$

$A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .$

Формула логарифмической спирали $\;r=ae^{k\varphi }\;$ является $\ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .$

Длина дуги

Длина дуги кривой с полярным уравнением $r=r(\varphi )$ является

$L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .$

Для спирали $r=a\varphi ^{n}\;$ длина

• $L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .$

Не все эти интегралы можно решить с помощью подходящей таблицы. В случае спирали Ферма интеграл может быть выражен только эллиптическими интегралами .

Длина дуги логарифмической спирали $\;r=ae^{k\varphi }\;$ является $\ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .$

Инверсия круга

Инверсия на единичной окружности имеет в полярных координатах простое описание: $\ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\$.

• Изображение спирали $\ r=a\varphi ^{n}\$ при инверсии на единичной окружности получается спираль с полярным уравнением $\ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\$. Например: обратная архимедова спираль – это гиперболическая спираль.

Логарифмическая спираль $\;r=ae^{k\varphi }\;$ отображается на логарифмической спирали $\;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.$

Ограниченные спирали

Ограниченные спирали:
$r=a\arctan(k\varphi )$ (левый),
$r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)$ (верно)

Функция $r(\varphi )$ спирали обычно строго монотонная, непрерывнаяи неограничен . Для стандартных спиралей $r(\varphi )$ является либо степенной функцией, либо показательной функцией. Если человек выбирает для $r(\varphi )$ функция ограниченная , спираль тоже ограничена. Подходящей ограниченной функцией является функция arctan :

Пример 1

Параметр $\;r=a\arctan(k\varphi )\;$ и выбор $\;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;$ дает спираль, которая начинается в начале координат (как спираль Архимеда) и приближается к окружности с радиусом $\;r=a\pi /2\;$ (схема слева).

Пример 2

Для $\;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;$ и $\;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;$ получается спираль, которая приближается к началу координат (как гиперболическая спираль) и приближается к кругу с радиусом $\;r=a\pi \;$ (схема справа).

Трехмерный

«Космическая спираль» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о здании, см. «Космическая спираль» .

Две хорошо известные спиральные пространственные кривые — это конические спирали и сферические спирали , определенные ниже.Другим примером космических спиралей является тороидальная спираль . Спираль, навитая на спираль, также известная как двойная скрученная спираль , представляет такие объекты, как спиральные нити .

Конические спирали

Коническая спираль со спиралью Архимеда в качестве плана этажа.

Основная статья: коническая спираль

Если в $x$- $y$-плоскость спирали с параметрическим представлением

$x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi$

задана, то можно добавить третью координату $z(\varphi )$, такая, что кривая теперь-пространства лежит на конусе с уравнением $\;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;$:

• $x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .$

Спирали, основанные на этой процедуре, называются коническими спиралями .

Пример

Начнем с архимедовой спирали. $\;r(\varphi )=a\varphi \;$ получается коническая спираль (см. схему)

$x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .$

Сферические спирали

Клелия кривая с $c=8$

можно использовать любую цилиндрическую картографическую проекцию В качестве основы сферической спирали : проведите на карте прямую линию и найдите ее обратную проекцию на сферу, своего рода сферическую кривую .

Одним из основных семейств сферических спиралей являются кривые Клелия , которые проецируются в прямые линии на равнопромежуточной проекции . Это кривые, для которых долгота и широта находятся в линейной зависимости, аналогично спиралям Архимеда на плоскости; под азимутальной эквидистантной проекцией кривая Клелия проектируется в плоскую спираль Архимеда.

Если представить единичную сферу сферическими координатами

$x=\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad y=\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad z=\cos \theta ,$

затем установим линейную зависимость $\varphi =c\theta$ для угловых координат дает параметрическую кривую по параметру $\theta$,

${\bigl (}\sin \theta \,\cos c\theta ,\,\sin \theta \,\sin c\theta ,\,\cos \theta \,{\bigr )}.$

• 
  Клелия кривые
• 
  Локсодром

Другое семейство сферических спиралей — это линии румба или локсодромы, которые проецируются в прямые линии в проекции Меркатора . Это траектории, прочерченные кораблем, движущимся с постоянным пеленгом . Любой локсодром (за исключением меридианов и параллелей) бесконечно вращается вокруг любого полюса, с каждым разом все ближе и ближе, в отличие от кривой Клелии, которая сохраняет одинаковое расстояние в широте. В стереографической проекции локсодром проецируется на логарифмическую спираль на плоскости.

В природе

Изучение спиралей в природе имеет давнюю историю. Кристофер Рен заметил, что многие оболочки образуют логарифмическую спираль ; Ян Сваммердам наблюдал общие математические характеристики широкого спектра раковин от Helix до Spirula ; и Генри Ноттидж Мозли описали математику одностворчатых раковин. В книге Д'Арси Вентворта Томпсона « О росте и форме» эти спирали подробно рассматриваются. Он описывает, как образуются оболочки путем вращения замкнутой кривой вокруг фиксированной оси: форма кривой остается фиксированной, но ее размер растет в геометрической прогрессии . В некоторых раковинах, таких как Наутилус и аммониты , образующая кривая вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и раковина образует плоскую дискоидную форму. В других случаях он следует по косой траектории, образуя спиральный узор. Томпсон также изучал спирали, возникающие в рогах , зубах , когтях и растениях .

Модель для выкройки цветочков в головке подсолнуха . был предложен Х. Фогелем. Это имеет форму

$\theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}$

где n — порядковый номер цветочка, а c — постоянный масштабный коэффициент и является формой спирали Ферма . Угол 137,5° — это золотой угол , который связан с золотым сечением и обеспечивает плотное расположение соцветий.

Спирали у растений и животных часто называют мутовками . Это также название отпечатков пальцев спиралевидной формы .

• 
  Художественное изображение спиральной галактики.
• 
  Головка подсолнуха с соцветиями, расположенными по спирали по 34 и 55 штук снаружи.

Как символ

Спиралевидная форма была найдена в Мезине , Украина , как часть декоративного предмета, датируемого 10 000 годом до нашей эры. Мотив спирали и тройной спирали — символ неолита в Европе ( мегалитические храмы Мальты ). Кельтский символ — тройная спираль — на самом деле является докельтским символом. Он высечен в скале на каменном ромбе возле главного входа в доисторический памятник Ньюгрейндж в графстве Мит , Ирландия . Ньюгрейндж был построен около 3200 г. до н.э., до появления кельтов, а тройные спирали были вырезаны по крайней мере за 2500 лет до того, как кельты достигли Ирландии, но уже давно вошли в кельтскую культуру. Символ трискелиона трех согнутых человеческих ног, появляется во многих ранних культурах, в том числе на микенских сосудах, на монетах в Ликии , на статерах Памфилии , состоящий из трех переплетенных спиралей или (в Аспендосе , 370–333 гг. до н. э.) и Писидии , а также на геральдическая . эмблема на воинских щитах, изображенная на греческой керамике

Спирали можно встретить во всем доколумбовом искусстве Латинской и Центральной Америки. Более 1400 петроглифов (наскальных рисунков) в Лас-Пласуэласе , Гуанахуато, Мексика , датируемых 750-1200 годами нашей эры, преимущественно изображают спирали, точечные фигуры и масштабные модели. В Колумбии фигуры, похожие на обезьян, лягушек и ящериц, изображенные на петроглифах или в виде золотых фигурок, часто включают спирали, например, на ладонях рук. В Нижней Центральной Америке спирали наряду с кругами, волнистыми линиями, крестами и точками являются универсальными символами петроглифов. Спирали также можно найти среди линий Наска в прибрежной пустыне Перу, датируемых периодом с 200 г. до н.э. по 500 г. н.э. Геоглифы . исчисляются тысячами и изображают животных, растения и геометрические мотивы, включая спирали

Спиральные формы, в том числе свастика , трискеле и т. д., часто интерпретировались как солярные символы . Черепица с этим символом времен династии Тан была найдена к западу от древнего города Чанъань (современный Сиань).

Спирали также являются символом гипноза , происходящим из клише о людях и персонажах мультфильмов, которых гипнотизируют, глядя на вращающуюся спираль (одним из примеров является Каа Диснея в «Книге джунглей» ). Они также используются как символ головокружения , когда глаза персонажей мультфильмов, особенно в аниме и манге , превращаются в спирали, показывая, что у них кружится голова или они ошеломлены. Спираль также встречается в структурах размером с спираль ДНК двойную и размером с галактику . Из-за этого частого природного явления спираль является официальным символом Всемирного пантеистического движения . Спираль также является символом диалектического процесса и диалектического монизма .

• 
  Спирали культуры Кукутень на чаше на подставке, сосуде на подставке и амфоре, 4300-4000 гг. до н.э., керамика, Дворец культуры , Яссы , Румыния.
• 
  Неолитические спирали на входной плите Ньюгрейнджа , неизвестный скульптор или архитектор, 3-е тысячелетие до нашей эры.
• 
  Микенские спирали на погребальной стеле, Могильный круг А, ок. 1550 г. до н.э., камень, Национальный археологический музей , Афины , Греция.
• 
  Мероитовые спирали на баране аллеи храма Амона в Наке , неизвестный скульптор, I век нашей эры, камень, in situ
• 
  Исламский спиральный дизайн Великой мечети Самарры , Самарра , Ирак , неизвестный архитектор, ок. 851
• 
  Спиральная колокольня в стиле готического возрождения Maison des Compagnons du Tour de France, Нант , неизвестный архитектор, ок. 1910 год

В искусстве

Спираль вдохновляла художников на протяжении веков. Среди самых известных произведений искусства, вдохновленных спиралью, — Роберта Смитсона « земляные работы Спиральная пристань » на Большом Соленом озере в штате Юта. Спиральная тема также присутствует в «Спиральном резонансном поле» Дэвида Вуда в Музее воздушных шаров в Альбукерке, а также в получившем признание критиков Nine Inch Nails концептуальном альбоме 1994 года The Downward Spiral . Спираль также является важной темой в аниме «Гуррен Лаганн» , где она представляет собой философию и образ жизни. Это также занимает центральное место в творчестве Марио Мерца и Энди Голдсуорси. Спираль — центральная тема хоррор-манги « Узумаки » Дзюндзи Ито , в которой небольшой прибрежный городок поражен проклятием, связанным с спиралями. 2012 «Часть разума», Уэйн А. Бил также изображает большую спираль в этой книге снов и образов. Спиральная спираль является центральным изображением в иконографии пригородной готики австралийской художницы Тани Старк , которая включает в себя спиральные элементы верхней части электрической плиты как символы домашней алхимии и духовности.

См. также

• Кельтский лабиринт (прямая спираль)
• Концентрические круги
• ДНК
• Число Фибоначчи
• Гипогей Сафлиени
• Мегалитические храмы Мальты
• Узоры в природе
• Поверхность ракушки
• Спирангл
• Спиральная овощерезка
• Винтовая лестница
• Трискелион

Публикации по теме

• Кук Т., 1903. Спирали в природе и искусстве . Природа 68 (1761), 296.
• Кук Т., 1979. Кривые жизни . Дувр, Нью-Йорк.
• Хабиб З., Сакаи М., 2005. Спиральные кривые перехода и их приложения . Японские математические науки 61 (2), 195 – 206.
• Димульо, Сарпоно; Хабиб, Зульфикар; Сакаи, Манабу (2009). «Честный кубический переход между двумя кругами, один из которых находится внутри или касается другого». Численные алгоритмы . 51 (4): 461–476. Бибкод : 2009NuAlg..51..461D . дои : 10.1007/s11075-008-9252-1 . S2CID   22532724 .
• Харари Г., Таль А., 2011. Естественная трехмерная спираль . Форум компьютерной графики 30 (2), 237–246 [1]. Архивировано 22 ноября 2015 г. на Wayback Machine .
• Сюй Л., Молд Д., 2009. Магнитные кривые: эстетические кривые, контролируемые кривизной с использованием магнитных полей . В: Деуссен О., Холл П. (ред.), Вычислительная эстетика в графике, визуализации и визуализации. Ассоциация еврографики [2] .
• Ван, Юлин; Чжао, Бинъянь; Чжан, Лузоу; Сюй, Цзячуань; Ван, Канчан; Ван, Шучунь (2004). «Проектирование плавных кривых с использованием частей монотонной кривизны». Компьютерное геометрическое проектирование . 21 (5): 515–527. дои : 10.1016/j.cagd.2004.04.001 .
• Курносенко, А. (2010). «Применение инверсии для построения плоских рациональных спиралей, удовлетворяющих двухточечным данным Эрмита G2». Компьютерное геометрическое проектирование . 27 (3): 262–280. arXiv : 0902.4834 . дои : 10.1016/j.cagd.2009.12.004 . S2CID   14476206 .
• А. Курносенко. Двухточечная интерполяция G2 Эрмита со спиралями путем обращения гиперболы . Компьютерное геометрическое проектирование, 27 (6), 474–481, 2010.
• Миура, К.Т., 2006. Общее уравнение эстетических кривых и его самосродство . Компьютерное проектирование и приложения 3 (1–4), 457–464 [3]. Архивировано 28 июня 2013 г. в Wayback Machine .
• Миура К., Соне Дж., Ямашита А., Канеко Т., 2005. Вывод общей формулы эстетических кривых . В: 8-я Международная конференция по людям и компьютерам (HC2005). Айдзу-Вакамутсу, Япония, стр. 166–171 [4]. Архивировано 28 июня 2013 г. в Wayback Machine .
• Мик, Д.С.; Уолтон, диджей (1989). «Применение спиралей Корню для рисования плоских кривых контролируемой кривизны» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 25 : 69–78. дои : 10.1016/0377-0427(89)90076-9 .
• Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Российский журнал физической химии Б . 11 (1): 195–198. Бибкод : 2017RJPCB..11..195T . дои : 10.1134/S1990793117010328 . S2CID   99162341 .
• Фарин, Джеральд (2006). «Класс кривых Безье». Компьютерное геометрическое проектирование . 23 (7): 573–581. дои : 10.1016/j.cagd.2006.03.004 .
• Фаруки, RT, 1997. Кривые перехода пятой степени пифагора-годографа монотонной кривизны . Компьютерное проектирование 29 (9), 601–606.
• Ёсида Н., Сайто Т., 2006. Интерактивные сегменты эстетических кривых . The Visual Computer 22 (9), 896–905 [5]. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine .
• Йошида Н., Сайто Т., 2007. Квазиэстетические кривые в рациональных кубических формах Безье . Компьютерное проектирование и приложения 4 (9–10), 477–486 [6]. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine .
• Зиатдинов Р., Йошида Н., Ким Т., 2012. Аналитические параметрические уравнения логарифмических кривых в терминах неполных гамма-функций . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (2), 129–140 [7] .
• Зиатдинов Р., Йошида Н., Ким Т., 2012. Подбор многоспиральной переходной кривой G2, соединяющей две прямые линии , Компьютерное проектирование 44(6), 591–596 [8] .
• Зиатдинов Р., 2012. Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданное через гипергеометрическую функцию Гаусса . Компьютерное геометрическое проектирование 29(7): 510–518, 2012 [9] .
• Зиатдинов Р., Миура К.Т., 2012. О разнообразии плоских спиралей и их применении в системах автоматизированного проектирования . Европейский исследователь 27(8–2), 1227–1232 [10] .

Внешние ссылки

• [11] Архивировано 2 июля 2021 г. в Wayback Machine.
• Спираль Архимеда превращается в спираль Галилея. Михаил Гайченков, ОЭИС