Клели

Кривая Клелия для c=1/4 с ориентацией (стрелки) (по осям координат кривая идет вверх, см. также соответствующий план этажа ниже)

Кривые Клелии: планы этажей примеров, дуги нижней половины сферы пунктирны. Последние четыре кривые (сферические спирали) начинаются на южном полюсе и заканчиваются на северном полюсе. Четыре верхние кривые обусловлены выбором параметра $c$ периодический (см.: роза ).

В математике кривая Клели или Клелиа — это кривая на сфере, обладающая свойством:

Если поверхность сферы описывается, как обычно, долготой (угол $\varphi$) и широта (угол $\theta$) затем

$\varphi =c\;\theta ,\quad c>0$.

Кривая была названа Луиджи Гвидо Гранди в честь Клелии Борромео .

Кривая Вивиани и сферические спирали являются частными случаями кривых Клелия. практике кривые Клелия встречаются как наземные траектории спутников На на полярных круговых орбитах , т. е. чьи следы на Земле включают полюса. Если орбита геосинхронная , то $c=1$ и трасса представляет собой кривую Вивиани.

Параметрическое представление

Если сфера радиуса $r$ параметризуется в сферической системе координат выражением

${\begin{aligned}x&=r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=r\cdot \sin \theta \end{aligned}}$

где $\theta$ и $\varphi$ — углы, долгота и широта (соответственно) точки на сфере.и эти два угла связаны линейным уравнением $\;\varphi =c\theta$, затем используя это уравнение для замены $\varphi$ дает параметрическое представление кривой Клелия:

${\begin{aligned}x&=r\cdot \cos \theta \cdot \cos c\theta \\y&=r\cdot \cos \theta \cdot \sin c\theta \\z&=r\cdot \sin \theta .\end{aligned}}$

Примеры

Любая кривая Клелии хотя бы один раз пересекает полюса.

Сферические спирали: $\quad c\geq 2\ ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2$

Сферическая спираль обычно начинается на южном полюсе и заканчивается на северном полюсе (или наоборот).

Кривые Вивиани: $\quad c=1\ ,\quad 0\leq \theta \leq 2\pi$

Трассировка полярной орбиты спутника: $\quad c\leq 1\ ,\quad \theta \geq 0$

В случае $\;c\leq 1\;$ кривая является периодической , если $c$ рационален (см . розу). Например: В случае $\;c=1/n\;$ период $\;n\cdot 2\pi \;$. Если $c$ — нерациональное число, кривая не периодическая.

В таблице (вторая схема) показаны планы этажей кривых Клелии. Нижние четыре кривые представляют собой сферические спирали. Верхние четыре — полярные орбиты. В случае $\;c=1/3\;$ нижние дуги точно скрыты верхними дугами. На рисунке посередине (круг) показан план этажа кривой Вивиани. Типичный внешний вид восьмерки может быть достигнут только путем проецирования по оси X.

Ссылки

• Х.А. Пирер : Универсальный лексикон настоящего и прошлого или новейший энциклопедический словарь наук, искусств и профессий. Издатель Х.А. Пирер, 1844 г., с. 82.

Внешние ссылки

• Клелия. , Mathcurve.com. .