Круговая орбита

Круговая орбита — это орбита с фиксированным расстоянием вокруг барицентра ; то есть в форме круга .При этом не только расстояние, но и скорость, угловая скорость , потенциальная и кинетическая энергия постоянны. и апоапсиса нет Периапсиса . Эта орбита не имеет радиальной версии .

Ниже перечислена круговая орбита в астродинамике или небесной механике при стандартных предположениях. Здесь центростремительная сила — это сила гравитации , а упомянутая выше ось — это линия, проходящая через центр центральной массы, перпендикулярная орбиты плоскости .

Круговое ускорение

Поперечное ускорение ( перпендикулярное скорости) вызывает изменение направления. Если оно постоянно по величине и меняет направление в зависимости от скорости, круговое движение возникает . Взяв две производные координат частицы по времени, получим центростремительное ускорение.

a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}

где:

$v\,$ - орбитальная скорость вращающегося тела,
$r\,$ это радиус круга
$\omega \$ — угловая скорость , измеряемая в радианах в единицу времени.

Формула является безразмерной и описывает соотношение, истинное для всех единиц измерения, применяемых равномерно во всей формуле. Если числовое значение $\mathbf {a}$ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то числовые значения $v\,$ будет в метрах в секунду, $r\,$ в метрах и $\omega \$ в радианах в секунду.

Скорость

Скорость (или величина скорости) относительно центрального объекта постоянна: ^[1]^: 30

v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu  \over {r}}}

где:

$G$ , гравитационная постоянная
$M$ , — масса обоих вращающихся тел $(M_{1}+M_{2})$ , хотя в обычной практике, если большая масса значительно больше, меньшей массой часто пренебрегают с минимальным изменением результата.
$\mu =GM$ , — стандартный гравитационный параметр .

Уравнение движения

Уравнение орбиты в полярных координатах, которое обычно дает r через θ , сводится к: ^{[ нужны разъяснения ]}^{[ нужна ссылка ]}

r={{h^{2}} \over {\mu }}

где:

$h=rv$ – удельный момент импульса вращающегося тела.

Это потому, что $\mu =rv^{2}$

Угловая скорость и орбитальный период

\omega ^{2}r^{3}=\mu

Следовательно, орбитальный период ( $T\,\!$ ) можно вычислить как: ^[1]^: 28

T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}

Сравните две пропорциональные величины: время свободного падения (время падения до точки массы из состояния покоя).

T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}

(17,7% орбитального периода на круговой орбите)

и время падения до точечной массы на радиальной параболической орбите

T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}

(7,5% орбитального периода на круговой орбите)

Тот факт, что формулы отличаются только постоянным коэффициентом, априори ясен из анализа размерностей . ^{[ нужна ссылка ]}

Энергия

Удельная орбитальная энергия ( $\epsilon \,$ ) отрицательно, и

\epsilon =-{v^{2} \over {2}}

\epsilon =-{\mu  \over {2r}}

Таким образом, теорема вириала ^[1]^: 72 применяется даже без усреднения по времени: ^{[ нужна ссылка ]}

кинетическая энергия системы равна абсолютному значению полной энергии
потенциальная энергия системы равна удвоенной полной энергии

Скорость убегания с любого расстояния в √ 2 раза превышает скорость на круговой орбите на этом расстоянии: кинетическая энергия в два раза больше, следовательно, полная энергия равна нулю. ^{[ нужна ссылка ]}

Дельта-v выйдет на круговую орбиту

Для перехода на большую круговую орбиту, например, на геостационарную орбиту , требуется большее значение delta-v, чем для уходящей орбиты , хотя последнее подразумевает уход на произвольное расстояние и наличие большего количества энергии, чем необходимо для орбитальной скорости круговой орбиты. Это еще и вопрос выхода на орбиту. См. также переходную орбиту Гомана .

Орбитальная скорость в общей теории относительности

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты с радиусом $r$ определяется следующей формулой:

v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}

где $\scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ – радиус Шварцшильда центрального тела.

Вывод

Для удобства вывод будем записывать в единицах, в которых $\scriptstyle c=G=1$ .

Четырехскоростное : тело на круговой орбите определяется выражением

u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})

( $\scriptstyle r$ постоянна на круговой орбите, а координаты можно выбрать так, что $\scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}$ ). Точка над переменной обозначает дифференцирование по собственному времени. $\scriptstyle \tau$ .

Для массивной частицы компоненты четырехскорости удовлетворяют следующему уравнению:

\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1

Используем уравнение геодезических:

{\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0

Единственным нетривиальным уравнением является уравнение для $\scriptstyle \mu =r$ . Это дает:

{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0

Из этого мы получаем:

{\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}

Подстановка этого в уравнение для массивной частицы дает:

\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1

Следовательно:

{\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}

Предположим, у нас есть наблюдатель в радиусе $\scriptstyle r$ , не движущихся относительно центрального тела, то есть их четырехскорость пропорциональна вектору $\scriptstyle \partial _{t}$ . Условие нормировки подразумевает, что оно равно:

v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)

Скалярное произведение четырех скоростей наблюдателя и вращающегося тела равно гамма-фактору вращающегося тела относительно наблюдателя, следовательно:

\gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}

Это дает скорость :

v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}

Или в единицах СИ:

v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 604. ИСБН 9781108411981 .

[lissauer2019-1] Jump up to: ^а ^б ^с Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 604. ИСБН 9781108411981 .

[1]