Время свободного падения

Время свободного падения — это характерное время , за которое тело разрушилось бы под действием собственного гравитационного притяжения , если бы не существовало других сил, противодействующих коллапсу. По существу, она играет фундаментальную роль в определении временных рамок для широкого спектра астрофизических процессов — от звездообразования до гелиосейсмологии и сверхновых , — в которых гравитация играет доминирующую роль.

Вывод

Падение на точечный источник гравитации

Относительно просто определить время свободного падения, применив Кеплера Третий закон движения планет к вырожденной эллиптической орбите . Рассмотрим точечную массу $m$ на расстоянии $R$ от точечного источника массы $M$ которая падает радиально внутрь него. (Важно отметить, что третий закон Кеплера зависит только от большой полуоси орбиты и не зависит от эксцентриситета ). Чисто радиальная траектория является примером вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 и большой полуосью. $R/2$ . Следовательно, время, которое потребуется телу, чтобы упасть внутрь, развернуться и вернуться в исходное положение, равно периоду обращения круговой орбиты радиуса $R/2$ по третьему закону Кеплера: $t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}.$

Чтобы увидеть, что большая полуось $R/2$ , мы должны изучить свойства орбит по мере того, как они становятся все более эллиптическими. Первый закон Кеплера гласит, что орбита представляет собой эллипс с центром масс в одном из фокусов. В случае падения очень малой массы на очень большую массу $M$ , центр масс находится внутри большей массы. Фокус эллипса все больше смещается от центра по мере увеличения эллиптичности. В предельном случае вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 наибольший диаметр орбиты простирается от начального положения падающего объекта. $R$ к точечному источнику массы $M$ . Другими словами, эллипс становится линией длиной $R$ . Большая полуось равна половине ширины эллипса по длинной оси, которая в вырожденном случае становится $R/2$ .

Если бы свободно падающее тело совершило полный оборот по орбите, оно началось бы на расстоянии $R$ от массы точечного источника $M$ , падайте внутрь, пока не достигнет точки-источника, затем вернитесь в исходное положение. В реальных системах масса точечного источника на самом деле не является точечным источником, и падающее тело в конечном итоге сталкивается с некоторой поверхностью. Таким образом, он совершает только половину орбиты. Но орбита симметрична, поэтому время свободного падения составляет половину периода. $t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}$

(Эта формула также следует из формулы времени падения как функции положения .)

Например, время нахождения объекта на орбите Земли вокруг Солнца с периодом $P=1$ год, чтобы упасть на Солнце, если бы оно внезапно остановилось на орбите, было бы ${\frac {1}{2}}{\frac {P}{2^{3/2}}}={\frac {P}{\sqrt {32}}}.$

Это около 64,6 дней.

Падение сферически-симметричного распределения массы

Теперь рассмотрим случай, когда масса $M$ не является точечной массой, а распределен сферически симметрично относительно центра со средней плотностью массы $\rho$ , $\rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}},$ где объем сферы: ${\textstyle {{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}.}$

Предположим, что единственной действующей силой является гравитация. Тогда, как впервые продемонстрировал Ньютон и может быть легко продемонстрировано с помощью теоремы о дивергенции , ускорение силы тяжести на любом заданном расстоянии $R$ от центра сферы зависит только от общей массы, содержащейся внутри $R$ . Следствием этого результата является то, что если представить себе разбиение сферы на ряд концентрических оболочек, каждая оболочка схлопнется только после оболочек, находящихся внутри нее, и во время коллапса никакие оболочки не пересекутся. В результате время свободного падения пробной частицы при $R$ может быть выражено исключительно через общую массу $M$ интерьер к нему. С точки зрения средней плотности внутреннего пространства $R$ , время свободного падения ^[1] $t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\simeq 66430\,{\frac {1}{\sqrt {\rho }}}$ где последнее находится в единицах СИ .

Этот результат точно такой же, как и в предыдущем разделе, когда $M\gg m$ .

Приложения

Время свободного падения — очень полезная оценка соответствующего временного масштаба для ряда астрофизических процессов. Чтобы получить представление о его применении, мы можем написать $t_{\text{ff}}\simeq {\frac {35\,{\mbox{min}}}{\sqrt {\rho \ ({\mbox{g}}\cdot {\mbox{cm}}^{-3})}}}$

Здесь мы оценили численное значение времени свободного падения примерно в 35 минут для тела со средней плотностью 1 г/см. ³.

Сравнение

Для объекта, падающего из бесконечности на орбиту захвата , время, необходимое для падения из заданного положения до центральной точечной массы, такое же, как время свободного падения, за исключением постоянной ${\frac {4}{3\pi }}\approx 0.42$ .

Ссылки

^ Звездная структура и эволюция Киппенхан, Рудольф; Вейгерт, Альфред. Springer-Verlag, 1994, 3-е изд. стр.257 ISBN 3-540-58013-1

Галактическая динамика Бинни, Джеймс; Тремейн, Скотт. Издательство Принстонского университета, 1987.

[1] Звездная структура и эволюция Киппенхан, Рудольф; Вейгерт, Альфред. Springer-Verlag, 1994, 3-е изд. стр.257 ISBN 3-540-58013-1

[1]