Кеплер орбита

Для более широкого освещения этой темы см. Орбиту .

Эллиптическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 0,7, параболическая орбита Кеплера и гиперболическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 1,3. Расстояние до фокуса является функцией полярного угла относительно горизонтальной линии, как указано уравнением ( 13 )

В небесной механике орбита Кеплера (или кеплерова орбита , названная в честь немецкого астронома Иоганна Кеплера ) — это движение одного тела относительно другого по эллипсу , параболе или гиперболе , образующее двумерную орбитальную плоскость в трехмерном пространстве. мерное пространство. Орбита Кеплера также может образовывать прямую линию . Он учитывает только точечное гравитационное притяжение двух тел, пренебрегая возмущениями, гравитационным взаимодействием с другими объектами, атмосферным сопротивлением , давлением солнечной радиации , несферическим вызванными центральным телом и так далее. Таким образом, говорят, что это решение частного случая проблемы двух тел , известного как проблема Кеплера . Как теория классической механики она также не учитывает эффекты общей теории относительности . Кеплеровы орбиты можно параметризовать на шесть орбитальных элементов различными способами.

В большинстве приложений имеется большое центральное тело, центр масс которого считается центром масс всей системы. Путем разложения орбиты двух объектов одинаковой массы можно описать как орбиты Кеплера вокруг их общего центра масс, их барицентра .

Введение

С древних времен до 16 и 17 веков считалось, что движения планет следуют идеально круговым геоцентрическим путям, как учили древнегреческие философы Аристотель и Птолемей . Вариации в движении планет объяснялись тем, что меньшие круговые пути накладывались на больший путь (см. эпицикл ). Поскольку измерения планет становились все более точными, в теорию были предложены изменения. В 1543 году Николай Коперник опубликовал гелиоцентрическую модель Солнечной системы , хотя он все еще считал, что планеты движутся по идеально круговым траекториям с центром вокруг Солнца.

Разработка законов

В 1601 году Иоганн Кеплер приобрел обширные и тщательные наблюдения планет, сделанные Тихо Браге . Следующие пять лет Кеплер провел, пытаясь подогнать наблюдения планеты Марс к различным кривым. В 1609 году Кеплер опубликовал первые два из трёх своих законов движения планет . Первый закон гласит:

Орбита , каждой планеты представляет собой эллипс которого находится Солнце в фокусе .

В более общем смысле, путь объекта, подвергающегося кеплеровскому движению, может также следовать параболе или гиперболе , которые, наряду с эллипсами, принадлежат к группе кривых, известных как конические сечения . Математически расстояние между центральным телом и телом, вращающимся по орбите, можно выразить как:

$$r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}$$

где:

• $r$ это расстояние
• $a$ — большая полуось , определяющая размер орбиты
• $e$ — эксцентриситет , определяющий форму орбиты
• $\theta$ — это истинная аномалия , которая представляет собой угол между текущим положением вращающегося объекта и местом на орбите, в котором он находится ближе всего к центральному телу (называемым периапсисом ) .

Альтернативно уравнение можно выразить как:

$$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}$$

Где $p$ называется полурасширенной прямой кишкой кривой. Эта форма уравнения особенно полезна при работе с параболическими траекториями, у которых большая полуось бесконечна.

Несмотря на то, что Кеплер разработал эти законы на основе наблюдений, ему так и не удалось разработать теорию, объясняющую эти движения.

Исаак Ньютон

Между 1665 и 1666 годами Исаак Ньютон разработал несколько концепций, связанных с движением, гравитацией и дифференциальным исчислением. Однако эти концепции не были опубликованы до 1687 года в «Началах» , в которых он изложил свои законы движения и закон всемирного тяготения . Его второй из трех законов движения гласит:

Ускорение , тела параллельно и прямо пропорционально результирующей силе действующей на тело, направлено по направлению результирующей силы и обратно пропорционально массе тела :

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$$

Где:

• $\mathbf {F}$ вектор силы
• $m$ это масса тела, на которое действует сила
• $\mathbf {a}$ вектор ускорения, вторая производная по времени вектора положения $\mathbf {r}$

Строго говоря, эта форма уравнения применима только к объекту постоянной массы, что справедливо на основе упрощающих предположений, сделанных ниже.

Механизмы закона всемирного тяготения Ньютона; точечная масса m ₁ притягивает другую точечную массу m ₂ силой F ₂ , которая пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния ( r ) между ними. Независимо от массы или расстояния, величины | Ф ₁ | и | Ф ₂ | всегда будет равен. G — гравитационная постоянная .

Закон гравитации Ньютона гласит:

Каждая точечная масса притягивает любую другую точечную массу силой , направленной вдоль линии, пересекающей обе точки. Сила пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между точечными массами:

$$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$$

где:

• $F$ это величина гравитационной силы между двумя точечными массами
• $G$ гравитационная постоянная
• $m_{1}$ это масса первой точечной массы
• $m_{2}$ - масса второй точечной массы
• $r$ расстояние между двумя точечными массами

Из законов движения и закона всемирного тяготения Ньютон смог вывести законы Кеплера, характерные для орбитального движения в астрономии. Поскольку законы Кеплера хорошо подтверждались данными наблюдений, эта последовательность обеспечивала надежную поддержку справедливости обобщенной теории Ньютона и объединения небесной и обычной механики. Эти законы движения легли в основу современной небесной механики , пока Альберт Эйнштейн не представил концепции специальной и общей теории относительности в начале 20 века. Для большинства приложений кеплерово движение аппроксимирует движения планет и спутников с относительно высокой степенью точности и широко используется в астрономии и астродинамике .

Упрощенная задача двух тел.

Смотрите также: Орбита § Ньютоновский анализ орбитального движения

Чтобы определить движение объекта в системе двух тел , можно сделать два упрощающих предположения:

1. Тела сферически симметричны и их можно рассматривать как точечные массы.
2. На тела не действуют никакие внешние или внутренние силы, кроме взаимного притяжения.

Формы крупных небесных тел близки к сферам. По симметрии чистая гравитационная сила, притягивающая массовую точку к однородной сфере, должна быть направлена ​​к ее центру. Теорема о оболочках (также доказанная Исааком Ньютоном) утверждает, что величина этой силы такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в середине сферы, даже если плотность сферы меняется с глубиной (как это происходит с большинством небесных тел). тела). Из этого немедленно следует, что притяжение между двумя однородными сферами происходит так, как если бы масса обеих была сосредоточена в центре.

Объекты меньшего размера, такие как астероиды или космические корабли, часто имеют форму, сильно отклоняющуюся от сферы. Но гравитационные силы, создаваемые этими неровностями, обычно малы по сравнению с гравитацией центрального тела. Разница между неправильной формой и идеальной сферой также уменьшается с увеличением расстояния, и большинство орбитальных расстояний очень велики по сравнению с диаметром небольшого вращающегося тела. Таким образом, в некоторых приложениях неровностями формы можно пренебречь без существенного влияния на точность. Этот эффект весьма заметен для искусственных спутников Земли, особенно находящихся на низких орбитах.

Планеты вращаются с разной скоростью и поэтому могут принимать слегка сплюснутую форму из-за центробежной силы. При такой сплюснутой форме гравитационное притяжение будет несколько отличаться от притяжения однородной сферы. На больших расстояниях эффект этого сжатия становится незначительным. Движения планет в Солнечной системе можно рассчитать с достаточной точностью, если рассматривать их как точечные массы.

Два точечных массовых объекта с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ и векторы положения $\mathbf {r} _{1}$ и $\mathbf {r} _{2}$ относительно некоторой инерциальной системы отсчета действуют силы гравитации:

$$m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$$$$m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$$

где $\mathbf {r}$ - вектор относительного положения массы 1 относительно массы 2, выражаемый как:

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$$

и $\mathbf {\hat {r}}$ - единичный вектор в этом направлении и $r$ длина . этого вектора

Деление на соответствующие массы и вычитание второго уравнения из первого дает уравнение движения для ускорения первого объекта относительно второго:

${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ ( 1 )

где $\alpha$ является гравитационным параметром и равен

$$\alpha =G(m_{1}+m_{2})$$

Во многих приложениях можно сделать третье упрощающее предположение:

3. По сравнению с центральным телом масса вращающегося тела незначительна. Математически m ₁ >> m ₂ , поэтому α = G ( m ₁ + m ₂ ) ≈ Gm ₁ . Такие стандартные гравитационные параметры , часто обозначаемые как $\mu =G\,M$, широко доступны для Солнца, больших планет и Луны, которые имеют гораздо большие массы. $M$ чем их орбитальные спутники.

Это предположение не является необходимым для решения упрощенной задачи двух тел, но оно упрощает расчеты, особенно для спутников, вращающихся вокруг Земли, и планет, вращающихся вокруг Солнца. Даже масса Юпитера меньше массы Солнца в 1047 раз. что составило бы ошибку 0,096% в значении α. Заметные исключения включают систему Земля-Луна (отношение масс 81,3), систему Плутон-Харон (отношение масс 8,9) и двойные звездные системы.

При этих предположениях дифференциальное уравнение для случая двух тел может быть полностью решено математически, и полученная орбита, которая следует законам движения планет Кеплера, называется «орбитой Кеплера». Орбиты всех планет с высокой точностью соответствуют орбитам Кеплера вокруг Солнца. Небольшие отклонения обусловлены гораздо более слабым гравитационным притяжением между планетами, а в случае Меркурия – общей теорией относительности . Орбиты искусственных спутников вокруг Земли в достаточном приближении представляют собой орбиты Кеплера с небольшими возмущениями, вызванными гравитационным притяжением Солнца, Луны и сжатием Земли. всех гравитационных и негравитационных сил (таких как давление солнечного излучения и сопротивление атмосферы В приложениях с высокой точностью, для которых уравнение движения должно быть интегрировано численно с учетом ), концепции орбиты Кеплера имеют первостепенное значение и широко используются.

Кеплеровы элементы

Кеплеровские орбитальные элементы .

Основная статья: Кеплеровы элементы

Любая кеплеровская траектория может быть определена шестью параметрами. Движение объекта, движущегося в трехмерном пространстве, характеризуется вектором положения и вектором скорости. Каждый вектор состоит из трех компонентов, поэтому общее количество значений, необходимых для определения траектории в пространстве, равно шести. Орбита обычно определяется шестью элементами (известными как элементы Кеплера ), которые можно вычислить по положению и скорости, три из которых уже обсуждались. Эти элементы удобны тем, что из шести пять остаются неизменными для невозмущенной орбиты (разительный контраст с двумя постоянно меняющимися векторами). Можно предсказать будущее местоположение объекта на его орбите, а его новое положение и скорость можно легко получить из элементов орбиты.

Два определяют размер и форму траектории:

• Большая полуось ( $a$)
• Эксцентриситет ( $e$)

Три определяют ориентацию орбитальной плоскости :

• Наклон ( $i$) определяет угол между орбитальной плоскостью и базовой плоскостью.
• Долгота восходящего узла ( $\Omega$) определяет угол между опорным направлением и восходящим пересечением орбиты на опорной плоскости (восходящий узел).
• Аргумент периапсиса ( $\omega$) определяет угол между восходящим узлом и перицентром.

И наконец:

• Настоящая аномалия ( $\nu$) определяет положение вращающегося тела на траектории, отсчитываемой от перицентра. Вместо истинной аномалии можно использовать несколько альтернативных значений, наиболее распространенным из которых является $M$ средняя аномалия и $T$, время после периапсиса.

Потому что $i$, $\Omega$ и $\omega$ Это просто угловые измерения, определяющие ориентацию траектории в системе отсчета, они не являются строго необходимыми при обсуждении движения объекта в орбитальной плоскости. Они упомянуты здесь для полноты картины, но не требуются для приведенных ниже доказательств.

Математическое решение дифференциального уравнения ( 1 ) выше

Для движения под действием любой центральной силы, т. е. силы, параллельной r , удельный относительный угловой момент $\mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}$ остается постоянным: $${\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$$

Поскольку векторное произведение вектора положения и его скорости остается постоянным, они должны лежать в одной плоскости, ортогональной $\mathbf {H}$. Это означает, что вектор-функция представляет собой плоскую кривую .

Поскольку уравнение имеет симметрию относительно начала координат, его легче решать в полярных координатах. Однако важно отметить, что уравнение ( 1 ) относится к линейному ускорению. $\left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),$ в отличие от углового $\left({\ddot {\theta }}\right)$ или радиальный $\left({\ddot {r}}\right)$ ускорение. Поэтому нужно быть осторожным при преобразовании уравнения.Вводя декартову систему координат $({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})$ и полярные единичные векторы $({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})$ в плоскости, ортогональной $\mathbf {H}$:

$${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$$

Теперь мы можем переписать векторную функцию $\mathbf {r}$ и его производные как:

$${\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}$$

(см. « Векторное исчисление »). Подставляя их в ( 1 ), находим: $$\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}$$

Это дает обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя переменными $r$ и $\theta$:

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$ ( 2 )

Чтобы решить это уравнение, необходимо исключить все производные по времени. Это приносит: $$H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}$$

${\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}$ ( 3 )

Взяв производную по времени от ( 3 ), получим

${\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}$ ( 4 )

Уравнения ( 3 ) и ( 4 ) позволяют исключить производные по времени $\theta$. Чтобы исключить производные по времени $r$, цепное правило используется для поиска подходящих замен:

${\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}$ ( 5 )

${\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}$ ( 6 )

все производные по времени в ( 2 Используя эти четыре замены, можно исключить ), получив обыкновенное дифференциальное уравнение для $r$ как функция $\theta .$$${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$$$${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$$$${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$$

${\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$ ( 7 )

Дифференциальное уравнение ( 7 ) можно решить аналитически путем замены переменной

$r={\frac {1}{s}}$ ( 8 )

Использование цепного правила для дифференциации дает:

${\frac {dr}{d\theta }}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta }}$ ( 9 )

${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}$ ( 10 )

Используя выражения ( 10 ) и ( 9 ) для ${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$ и ${\frac {dr}{d\theta }}$ получает

$H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\alpha$ ( 11 )

с общим решением

$s={\frac {\alpha }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)$ ( 12 )

где е и $\theta _{0}$ – константы интегрирования, зависящие от начальных значений s и ${\tfrac {ds}{d\theta }}.$

Вместо использования константы интегрирования $\theta _{0}$ явно вводится соглашение о том, что единичные векторы ${\hat {x}},{\hat {y}}$ определяющие систему координат в плоскости орбиты, выбираются такими, что $\theta _{0}$ принимает значение ноль, а e положительно. Тогда это означает, что $\theta$ равен нулю в той точке, где $s$ является максимальным и, следовательно, $r={\tfrac {1}{s}}$ является минимальным. Определив параметр p как ${\tfrac {H^{2}}{\alpha }}$ у одного есть это

$$r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}$$

Альтернативный вывод

Другой способ решения этого уравнения без использования полярных дифференциальных уравнений заключается в следующем:

Определите единичный вектор $\mathbf {u}$, $\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$, такой, что $\mathbf {r} =r\mathbf {u}$ и ${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u}$. Отсюда следует, что $$\mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}$$

Теперь рассмотрим $${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]$$

(см. Тройное произведение векторов ). Обратите внимание, что $$\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1$$$$\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0$$

Подстановка этих значений в предыдущее уравнение дает: $${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}$$

Интеграция обеих сторон: $${\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c}$$

где c — постоянный вектор. Расстановка точек на r дает интересный результат: $$\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))$$где $\theta$ это угол между $\mathbf {r}$ и $\mathbf {c}$. Решение для r : $$r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.$$

Обратите внимание, что $(r,\theta )$ фактически являются полярными координатами векторной функции. Делаем замены $p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}$ и $e={\tfrac {c}{\alpha }}$, мы снова приходим к уравнению

$r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}$ ( 13 )

Это уравнение в полярных координатах для конического сечения с началом в фокальной точке. Аргумент $\theta$ называется «истинной аномалией».

Вектор эксцентриситета

Заметим также, что, поскольку $\theta$ - угол между вектором положения $\mathbf {r}$ и константа интегрирования $\mathbf {c}$, вектор $\mathbf {c}$ должен быть направлен в сторону перицентра орбиты . Затем мы можем определить вектор эксцентриситета, связанный с орбитой, как: $$\mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}$$

где $\mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ - постоянный вектор углового момента орбиты, а $\mathbf {v}$ вектор скорости, связанный с вектором положения $\mathbf {r}$.

Очевидно, вектор эксцентриситета , имеющий то же направление, что и константа интегрирования $\mathbf {c}$, также указывает на направление перицентра орбиты и имеет величину эксцентриситета орбиты. Это делает его очень полезным при определении орбиты (OD) для орбитальных элементов орбиты, когда вектор состояния [ $\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}}$] или [ $\mathbf {r} ,\mathbf {v}$] известно.

Свойства уравнения траектории

Для $e=0$ это круг радиуса p .

Для $0<e<1,$ это эллипс с

$a={\frac {p}{1-e^{2}}}$ ( 14 )

$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}$ ( 15 )

Для $e=1$ это парабола с фокусным расстоянием ${\tfrac {p}{2}}$

Для $e>1$ это гипербола с

$a={\frac {p}{e^{2}-1}}$ ( 16 )

$b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}$ ( 17 )

На следующем изображении изображен круг (серый), эллипс (красный), парабола (зеленый) и гипербола (синий).

Схема различных форм орбиты Кеплера и их эксцентриситетов. Синий — гиперболическая траектория ( e > 1). Зеленая — параболическая траектория ( e = 1). Red — эллиптическая орбита (0 < e <1). Грей — круговая орбита ( e = 0).

Точка на горизонтальной линии, идущей вправо от фокальной точки, — это точка с $\theta =0$ для которого расстояние до фокуса принимает минимальное значение ${\tfrac {p}{1+e}},$ перицентр. Для эллипса также существует апоцентр, для которого расстояние до фокуса принимает максимальное значение. ${\tfrac {p}{1-e}}.$ Для гиперболы диапазон $\theta$ является $$-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)$$а для параболы диапазон равен $$-\pi <\theta <\pi$$

Используя цепное правило для дифференцирования ( 5 ), уравнение ( 2 ) и определение p как ${\frac {H^{2}}{\alpha }}$ получаем, что радиальная составляющая скорости равна

$V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}e\sin \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}e\sin \theta$ ( 18 )

и что тангенциальная составляющая (составляющая скорости, перпендикулярная $V_{r}$) является

$V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )$ ( 19 )

Связь между полярным аргументом $\theta$ и время t немного отличается для эллиптических и гиперболических орбит.

Для эллиптической орбиты переключаемся на « эксцентрическую аномалию » E , для которой

$x=a\cdot \cos E$ ( 20 )

$y=b\cdot \sin E$ ( 21 )

и, следовательно,

${\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}$ ( 22 )

${\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}$ ( 23 )

а угловой момент H равен

$H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}$ ( 24 )

Интегрирование по времени t дает

$H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)$ ( 25 )

в предположении, что время $t=0$ выбирается таким образом, чтобы константа интегрирования была равна нулю.

Поскольку по определению p имеется

$H={\sqrt {\alpha \cdot p}}$ ( 26 )

это можно написать

$t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(E-e\cdot \sin E)$ ( 27 )

Для гиперболической орбиты используются гиперболические функции для параметризации

$x=a\cdot (e-\cosh E)$ ( 28 )

$y=b\cdot \sinh E$ ( 29 )

для чего есть

${\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}$ ( 30 )

${\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}$ ( 31 )

а угловой момент H равен

$H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}$ ( 32 )

Интегрируя по времени t, получаем

$H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)$ ( 33 )

т.е.

$t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(e\cdot \sinh E-E)$ ( 34 )

Чтобы найти, какое время t соответствует определенной истинной аномалии $\theta$ связанный со временем, вычисляется соответствующий параметр E, соотношением ( 27 ) для эллиптической и соотношением ( 34 ) для гиперболической орбиты.

Обратите внимание, что соотношения ( 27 ) и ( 34 ) определяют отображение между диапазонами $$\left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]$$

Некоторые дополнительные формулы

Для эллиптической орбиты получаем из ( 20 ) и ( 21 ) , что

$r=a\cdot (1-e\cos E)$ ( 35 )

и поэтому это

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}$ ( 36 )

Тогда из ( 36 ) следует, что $$\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}$$

Из геометрической конструкции, определяющей эксцентрическую аномалию, видно, что векторы $(\cos E,\sin E)$ и $(\cos \theta ,\sin \theta )$ находятся по одну сторону оси x . Отсюда следует, что векторы $\left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)$ и $\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)$ находятся в одном квадранте. Следовательно, у человека есть это

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$ ( 37 )

и это

$\theta =2\cdot \arg \left({\sqrt {1-e}}\cdot \cos {\frac {E}{2}},{\sqrt {1+e}}\cdot \sin {\frac {E}{2}}\right)+n\cdot 2\pi$ ( 38 )

$E=2\cdot \arg \left({\sqrt {1+e}}\cdot \cos {\frac {\theta }{2}},{\sqrt {1-e}}\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi$ ( 39 )

где " $\arg(x,y)$" — полярный аргумент вектора $(x,y)$ и n выбирается таким, что $|E-\theta |<\pi$

Для численного расчета $\arg(x,y)$ стандартную функцию ATAN2(y,x) (или двойной точности DATAN2(y,x) ), доступную, например, на языке программирования FORTRAN можно использовать .

Обратите внимание, что это сопоставление между диапазонами $$\left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]$$

Для гиперболической орбиты получаем из ( 28 ) и ( 29 ) , что

$r=a\cdot (e\cdot \cosh E-1)$ ( 40 )

и поэтому это

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}$ ( 41 )

Как $$\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}$$и как $\tan {\frac {\theta }{2}}$ и $\tanh {\frac {E}{2}}$ имеют одинаковый знак, то отсюда следует, что

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}$ ( 42 )

Это соотношение удобно для перехода между «истинной аномалией» и параметром E , последний связан со временем соотношением ( 34 ). Обратите внимание, что это сопоставление между диапазонами $$\left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]$$и это ${\tfrac {E}{2}}$ можно вычислить, используя соотношение $$\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$$

Из соотношения ( 27 ) следует, что орбитальный период P для эллиптической орбиты равен

$P=2\pi a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}$ ( 43 )

Поскольку потенциальная энергия, соответствующая силовому полю соотношения ( 1 ), равна $$-{\frac {\alpha }{r}}$$ ) следует из ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) и ( 19 , что сумма кинетической и потенциальной энергии $${\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}$$для эллиптической орбиты

$-{\frac {\alpha }{2a}}$ ( 44 )

и из ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) и ( 19 ) видно, что сумма кинетической и потенциальной энергии для гиперболической орбиты равна

${\frac {\alpha }{2a}}$ ( 45 )

Относительно инерциальной системы координат $${\hat {x}},{\hat {y}}$$в орбитальной плоскости с ${\hat {x}}$ ) получаем по направлению к перицентру из ( 18 ) и ( 19 , что компоненты скорости равны

$V_{x}=V_{r}\cos \theta -V_{t}\sin \theta =-{\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot \sin \theta$ ( 46 )

$V_{y}=V_{r}\sin \theta +V_{t}\cos \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (e+\cos \theta )$ ( 47 )

Уравнение центра связывает среднюю аномалию с истинной аномалией для эллиптических орбит при небольшом числовом эксцентриситете.

Дополнительная информация: Уравнение центра § Аналитические разложения.

Определение кеплеровой орбиты, соответствующей заданному начальному состоянию

Это « задача начального значения » для дифференциального уравнения ( 1 ), которое является уравнением первого порядка для 6-мерного «вектора состояния». $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ когда написано как

${\dot {\mathbf {v} }}=-\alpha \cdot {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$ ( 48 )

${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v}$ ( 49 )

Для любых значений начального «вектора состояния» $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})$ орбита Кеплера, соответствующаяРешение этой задачи начального значения можно найти по следующему алгоритму:

Определите ортогональные единичные векторы $({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})$ через

$\mathbf {r} _{0}=r{\hat {\mathbf {r} }}$ ( 50 )

$\mathbf {v} _{0}=V_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+V_{t}{\hat {\mathbf {t} }}$ ( 51 )

с $r>0$ и $V_{t}>0$

Из ( 13 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что, полагая

$p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}$ ( 52 )

и определяя $e\geq 0$ и $\theta$ такой, что

$e\cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1$ ( 53 )

$e\sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}$ ( 54 )

где

$V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}$ ( 55 )

получается орбита Кеплера, которая соответствует истинной аномалии $\theta$ имеет тот же р , $V_{r}$ и $V_{t}$ значения, определенные ( 50 ) и ( 51 ).

Если и эта кеплеровская орбита имеет то же самое $({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})$ векторы этой истинной аномалии $\theta$ как те, которые определены ( 50 ) и ( 51 ) вектором состояния $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ орбиты Кеплера принимает нужные значения $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})$ для истинной аномалии $\theta$.

Стандартная инерциально-неподвижная система координат. $({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})$ в орбитальной плоскости (с ${\hat {\mathbf {x} }}$ направлено от центра однородной сферы к перицентру), определяющее ориентацию конического сечения (эллипс, парабола или гипербола), тогда можно определить с помощью соотношения

${\hat {\mathbf {x} }}=\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta {\hat {\mathbf {t} }}$ ( 56 )

${\hat {\mathbf {y} }}=\sin \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\cos \theta {\hat {\mathbf {t} }}$ ( 57 )

Заметим, что соотношения ( 53 ) и ( 54 ) имеют особенность, когда $V_{r}=0$ и $$V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}$$т.е.

$V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{r}}}$ ( 58 )

в том случае, если это круговая орбита, соответствующая начальному состоянию $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})$

Соприкасающаяся орбита Кеплера

Основная статья: Соприкасающаяся орбита

Для любого вектора состояния $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ орбита Кеплера, соответствующая этому состоянию, может быть вычислена с помощью алгоритма, определенного выше.Сначала параметры $p,e,\theta$ определяются из $r,V_{r},V_{t}$ а затем ортогональные единичные векторы в орбитальной плоскости ${\hat {x}},{\hat {y}}$ используя соотношения ( 56 ) и ( 57 ).

Если теперь уравнение движения

${\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$ ( 59 )

где $$\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$$это функция, отличная от $$-\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}$$результирующие параметры $p$, $e$, $\theta$, ${\hat {\mathbf {x} }}$, ${\hat {\mathbf {y} }}$ определяется $\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}$ все будет меняться со временем в отличие от случая орбиты Кеплера, для которой только параметр $\theta$ будет варьироваться.

Вычисленная таким образом орбита Кеплера, имеющая тот же «вектор состояния», что и решение «уравнения движения» ( 59 ) в момент времени t , называется «соприкасающейся» в этот момент.

Эта концепция полезна, например, в случае, если $$\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$$где $$\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$$

— это небольшая «возмущающая сила», вызванная, например, слабым гравитационным притяжением других небесных тел. Тогда параметры соприкасающейся орбиты Кеплера будут меняться лишь медленно, а соприкасающаяся орбита Кеплера является хорошим приближением к реальной орбите в течение значительного периода времени до и после момента соприкосновения.

Эта концепция также может быть полезна для ракеты во время полета с двигателем, поскольку она затем сообщает, на какой орбите Кеплера ракета продолжит движение в случае отключения тяги.

Для орбиты, «близкой к круговой», понятие « вектор эксцентриситета » определяется как $\mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}$ полезно. Из ( 53 ), ( 54 ) и ( 56 ) следует, что

$\mathbf {e} ={\frac {(V_{t}-V_{0}){\hat {\mathbf {r} }}-V_{r}{\hat {\mathbf {t} }}}{V_{0}}}$ ( 60 )

т.е. $\mathbf {e}$ — гладкая дифференцируемая функция вектора состояния $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ также, если это состояние соответствует круговой орбите.

См. также

• Задача двух тел
• проблема Кеплера
• Законы движения планет Кеплера
• Эллиптическая орбита
• Гиперболическая траектория
• Параболическая траектория
• Радиальная траектория
• Моделирование орбиты

Ссылки

• Эль-Ясберг «Теория полета искусственных спутников Земли», Израильская программа научных переводов (1967).
• Бейт, Роджер; Мюллер, Дональд; Уайт, Джерри (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN  0-486-60061-0 .
• Коперник, Николаус (1952), «Книга I, глава 4, Движение небесных тел регулярное, круговое и вечное, или же состоит из круговых движений», О вращениях небесных сфер , Великие книги западного мира , том. 16, перевод Чарльза Гленна Уоллиса, Чикаго: Уильям Бентон, стр. 497–838.

Внешние ссылки

• JAVA-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.