Эллиптическая орбита

Анимация орбиты по эксцентриситету
  0.0  ·   0.2  ·   0.4  ·   0.6  ·   0.8

Два тела одинаковой массы вращаются вокруг общего барицентра по эллиптическим орбитам.

Два тела неравной массы обращаются вокруг общего барицентра по круговым орбитам.

Два тела с весьма неравной массой вращаются вокруг общего барицентра по круговым орбитам.

Эллиптическая орбита изображена в правом верхнем квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия орбитальной скорости показана красным цветом. Высота кинетической энергии уменьшается по мере уменьшения скорости вращающегося тела и увеличения расстояния в соответствии с законами Кеплера.

В астродинамике или небесной механике эллиптическая орбита или эллиптическая орбита — это орбита Кеплера с эксцентриситетом менее 1; это включает в себя частный случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом, исключая круговую орбиту). В более широком смысле это кеплеровская орбита с отрицательной энергией . Сюда входит радиальная эллиптическая орбита с эксцентриситетом, равным 1.

В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела движутся по одинаковым эллиптическим орбитам с одинаковым периодом обращения вокруг общего барицентра . Также относительное положение одного тела по отношению к другому следует эллиптической орбите.

Примеры эллиптических орбит включают переходные орбиты Гомана , орбиты Молнии и тундровые орбиты .

Скорость

При стандартных предположениях не действуют никакие другие силы, кроме двух сферически симметричных тел m ₁ и m ₂ , орбитальная скорость ( $v\,$) одного тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить из уравнения vis-viva как:

$v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}$

где:

• $\mu \,$ – стандартный гравитационный параметр G(m ₁ +m ₂ ), часто выражаемый как GM, когда одно тело намного больше другого.
• $r\,$ - расстояние между вращающимся телом и центром масс.
• $a\,\!$ — длина большой полуоси .

Уравнение скорости гиперболической траектории имеет либо + ${1 \over {a}}$, или то же самое с соглашением, что в этом случае a отрицательно.

Орбитальный период

При стандартных предположениях орбитальный период ( $T\,\!$) тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как:

$T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}$

где:

• $\mu$ — стандартный гравитационный параметр .
• $a\,\!$ — длина большой полуоси .

Выводы:

• Орбитальный период равен таковому для круговой орбиты с радиусом орбиты, равным большой полуоси ( $a\,\!$),
• Для данной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (См. также: Третий закон Кеплера ).

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( $\epsilon$) эллиптической орбиты отрицательно и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Вис-вива ) для этой орбиты может принять вид:

${v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0$

где:

• $v\,$ - орбитальная скорость вращающегося тела,
• $r\,$ — расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• $a\,$ — длина большой полуоси ,
• $\mu \,$ — стандартный гравитационный параметр .

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Используя теорему вириала, найти:

• среднее по времени удельной потенциальной энергии равно −2ε
  • среднее по времени r ⁻¹ это ​ ⁻¹
• среднее по времени удельной кинетической энергии равно ε

Энергия в терминах большой полуоси

Может быть полезно знать энергию в терминах большой полуоси (и задействованных масс). Полная энергия орбиты определяется выражением

$E=-G{\frac {Mm}{2a}}$,

где а — большая полуось.

Вывод

Поскольку гравитация является центральной силой, угловой момент постоянен:

${\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0$

При самом близком и самом дальнем сближении угловой момент перпендикулярен расстоянию от массы, находящейся на орбите, поэтому:

$L=rp=rmv$.

Полная энергия орбиты определяется выражением

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}$.

Заменяя v, уравнение принимает вид

$E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}$.

Это верно для r, являющегося ближайшим/самым дальним расстоянием, поэтому одновременно создаются два уравнения, которые при решении для E:

$E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}$

С ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ и $r_{2}=a-a\epsilon$, где эпсилон – эксцентриситет орбиты, достигается заявленный результат.

Угол траектории полета

Угол траектории полета — это угол между вектором скорости вращающегося тела (равным вектору, касательной к мгновенной орбите) и местной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении углового момента угол траектории полета $\phi$ удовлетворяет уравнению:

$h\,=r\,v\,\cos \phi$

где:

• $h\,$ - удельный относительный угловой момент орбиты,
• $v\,$ - орбитальная скорость вращающегося тела,
• $r\,$ — радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• $\phi \,$ угол траектории полета

$\psi$ – угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. $\nu$ это локальная истинная аномалия . $\phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi$, поэтому,

$\cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}$

$\tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}$

где $e$ это эксцентриситет.

Угловой момент связан с векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь $\phi$ определяется как угол, который отличается от этого на 90 градусов, поэтому вместо синуса появляется косинус.

Уравнение движения

Основная статья: уравнение орбиты

Из исходного положения и скорости

Уравнение орбиты определяет путь вращающегося тела. $m_{2}\,\!$ вокруг центрального тела $m_{1}\,\!$ относительно $m_{1}\,\!$, без указания положения как функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера $M=E-e\sin E$ не имеет общего решения в замкнутой форме для эксцентрической аномалии (E) в терминах средней аномалии (M), уравнения движения как функции времени также не имеют решения в замкнутой форме (хотя существуют численные решения для обоих ).

Однако не зависящие от времени уравнения траектории эллиптической орбиты относительно центрального тела в замкнутой форме могут быть определены только из начальной позиции ( $\mathbf {r}$) и скорость ( $\mathbf {v}$).

В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений, изложенных выше:

1. Положение центрального тела находится в начале координат и является основным фокусом ( $\mathbf {F1}$) эллипса (в качестве альтернативы вместо этого можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу)
2. Масса центрального тела (m1) известна
3. Начальное положение вращающегося тела ( $\mathbf {r}$) и скорость( $\mathbf {v}$) известны
4. Эллипс лежит внутри плоскости XY.

Четвертое предположение можно сделать без ограничения общности, поскольку любые три точки (или векторы) должны лежать в одной плоскости. При этих предположениях второй фокус (иногда называемый «пустым» фокусом) также должен лежать внутри плоскости XY: $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ .

Использование векторов

Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов:

$|\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0$

где:

• $a\,\!$ — длина большой полуоси .
• $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ — второй («пустой») фокус.
• $\mathbf {p} =\left(x,y\right)$ любое значение (x,y), удовлетворяющее уравнению.

Длину большой полуоси (a) можно рассчитать как:

$a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}$

где $\mu \ =Gm_{1}$ — стандартный гравитационный параметр .

Пустой фокус ( $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$) можно найти, предварительно определив вектор эксцентриситета :

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}$

Где $\mathbf {h}$ – удельный момент импульса вращающегося тела:

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$

Затем

$\mathbf {F2} =-2a\mathbf {e}$

Использование координат XY

Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:

Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях имеет вид:

${\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0$

Данный:

$r_{x},r_{y}\quad$ координаты начального положения

$v_{x},v_{y}\quad$ начальные координаты скорости

и

$\mu =Gm_{1}\quad$ гравитационный параметр

Затем:

$h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad$ удельный угловой момент

$r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad$ начальное расстояние от F1 (в начале координат)

$a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad$ длина большой полуоси

$e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad$ вектора эксцентриситета координаты

$e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad$

Наконец, пустые координаты фокуса

$f_{x}=-2ae_{x}\quad$

$f_{y}=-2ae_{y}\quad$

Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.

Параметры орбиты

Состояние вращающегося тела в любой момент времени определяется положением вращающегося тела и скоростью относительно центрального тела, которые могут быть представлены трехмерными декартовыми координатами (положение вращающегося тела, представленное x, y и z) и аналогичные декартовы компоненты скорости вращающегося тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Двумя наиболее общими случаями с этими шестью степенями свободы являются эллиптическая и гиперболическая орбиты. Особыми случаями с меньшим количеством степеней свободы являются круговая и параболическая орбита.

Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимо как минимум шесть переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести параметров, которые обычно используются, — это элементы орбиты .

Солнечная система

В Солнечной системе , планеты . астероиды , большинство комет и некоторые куски космического мусора имеют примерно эллиптические орбиты вокруг Солнца Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, причем то, что ближе к более массивному телу, но когда одно тело значительно более массивно, как, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может находиться внутри большего тела. массивное тело, поэтому говорят, что меньшее тело вращается вокруг него. Следующая диаграмма перигелия и афелия планет демонстрирует , карликовых планет и кометы Галлея изменение эксцентриситета их эллиптических орбит. Для аналогичных расстояний от Солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды .

Расстояния избранных тел Солнечной системы от Солнца. Левый и правый края каждой полосы соответствуют перигелию и афелию тела соответственно, поэтому длинные полосы обозначают высокий эксцентриситет орбиты . Радиус Солнца составляет 0,7 миллиона км, а радиус Юпитера (самой большой планеты) — 0,07 миллиона км, оба слишком малы, чтобы их можно было рассмотреть на этом изображении.

траектория

Радиальная траектория может представлять собой двойной отрезок , который представляет собой вырожденный эллипс с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применимы большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако орбиту замкнуть невозможно. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента касания тел друг друга и удаления друг от друга до момента их повторного соприкосновения. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.

Радиальная эллиптическая траектория является решением задачи двух тел с в некоторый момент времени нулевой скоростью, как в случае падения предмета (пренебрегая сопротивлением воздуха).

Смотрите также: Свободное падение § Гравитационное поле по закону обратных квадратов

История

Вавилоняне первыми осознали , что движение Солнца по эклиптике неравномерно, хотя и не знали, почему это так; сегодня известно, что это происходит из-за того, что Земля движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, причем Земля движется быстрее, когда она приближается к Солнцу в перигелии , и движется медленнее, когда она находится дальше в афелии .

В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном фокусе, и описал это в своем первом законе движения планет . Позже Исаак Ньютон объяснил это следствием своего закона всемирного тяготения .

См. также

• Апсида
• Характеристическая энергия
• Эллипс
• Список орбит
• Эксцентриситет орбиты
• Уравнение орбиты
• Параболическая траектория

Источники

• Д'Элисео, Маурицио М. (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Бибкод : 2007AmJPh..75..352D . дои : 10.1119/1.2432126 .
• Д'Элизео, Маурицио М.; Миронов, Сергей В. (2009). «Гравитационный эллипс». Журнал математической физики . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Бибкод : 2009JMP....50a2901M . дои : 10.1063/1.3078419 .
• Кертис, Ховард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов-инженеров (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN  978-0-08-102133-0 .

Внешние ссылки

• Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.
• Апогея и Перигея Луны Сравнение фотографий
• Афелий - Перигелий Солнечное фотографическое сравнение
• http://www.castor2.ca