Удельный угловой момент

В небесной механике удельный относительный угловой момент (часто обозначаемый ${\vec {h}}$ или $\mathbf {h}$) тела — это момент импульса этого тела, деленный на его массу. В случае двух вращающихся тел это векторное произведение их относительного положения и относительного линейного импульса , деленное на массу рассматриваемого тела.

Удельный относительный угловой момент играет ключевую роль в анализе задачи двух тел , поскольку он остается постоянным для данной орбиты в идеальных условиях. « Специфический » в этом контексте означает угловой момент на единицу массы. Единицей системе СИ измерения удельного относительного углового момента в является квадратный метр в секунду.

Определение

Удельный относительный угловой момент определяется как векторное произведение вектора относительного положения. $\mathbf {r}$ и вектор относительной скорости $\mathbf {v}$.

$$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}$$

где $\mathbf {L}$ вектор углового момента, определяемый как $\mathbf {r} \times m\mathbf {v}$.

The $\mathbf {h}$вектор всегда перпендикулярен мгновенной соприкасающейся орбитальной плоскости , которая совпадает с мгновенной возмущенной орбитой . Оно не обязательно должно быть перпендикулярно средней орбитальной плоскости с течением времени.

Доказательство постоянства в случае двух тел

Вектор расстояния $\mathbf {r}$, вектор скорости $\mathbf {v}$, настоящая аномалия $\theta$ и угол траектории полета $\phi$ из $m_{2}$ на орбите вокруг $m_{1}$. важнейшие меры эллипса ( Также изображены среди которых отметим, что истинная аномалия $\theta$ помечен как $\nu$).

При определенных условиях можно доказать, что удельный момент импульса постоянен. Условиями такого доказательства являются:

• Масса одного объекта намного больше массы другого. ( $m_{1}\gg m_{2}$)
• Система координат инерциальная .
• Каждый объект можно рассматривать как сферически симметричную точечную массу .
• На систему не действуют никакие другие силы, кроме силы гравитации, соединяющей два тела.

Доказательство

Доказательство начинается с уравнения движения двух тел , полученного из закона всемирного тяготения Ньютона :

$${\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0$$

где:

• $\mathbf {r}$ вектор положения из $m_{1}$ к $m_{2}$ со скалярной величиной $r$.
• ${\ddot {\mathbf {r} }}$ является второй производной по времени от $\mathbf {r}$. ( ускорение )
• $G$ — гравитационная постоянная .

Перекрестное произведение вектора положения с уравнением движения:

$$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0$$

Потому что $\mathbf {r} \times \mathbf {r} =0$ второй член исчезает:

$$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0$$

Также можно сделать вывод, что:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}$$

Объединение этих двух уравнений дает:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0$$

Поскольку производная по времени равна нулю, величина $\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}$является постоянным. Использование вектора скорости $\mathbf {v}$ вместо скорости изменения положения, и $\mathbf {h}$ для удельного углового момента:

$$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$$

является постоянным.

Это отличается от обычного построения импульса, $\mathbf {r} \times \mathbf {p}$, поскольку оно не включает массу рассматриваемого объекта.

Законы движения планет Кеплера

Основная статья: законы движения планет Кеплера

Законы движения планет Кеплера можно доказать почти напрямую с помощью приведенных выше соотношений.

Первый закон

Доказательство снова начинается с уравнения задачи двух тел. На этот раз его (взаимное произведение) умножают на конкретный относительный угловой момент.

$${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h}$$

Левая часть равна производной ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$ потому что угловой момент постоянен.

После некоторых шагов (включая использование векторного тройного произведения и определение скаляра ${\dot {r}}$ быть лучевой скоростью , в отличие от нормы вектора ${\dot {\mathbf {r} }}$) правая часть становится:

$$-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)$$

Приравнивание этих двух выражений и интегрирование по времени приводит к (с константой интегрирования $\mathbf {C}$)

$${\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C}$$

Теперь это уравнение умножается ( скалярное произведение ) на $\mathbf {r}$ и переставил

$${\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}$$

Наконец, получаем уравнение орбиты

$$r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}$$

что представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полурасширенной прямой кишкой ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ и эксцентричность ${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$.

Второй закон

Второй закон мгновенно следует из второго из трех уравнений для расчета абсолютного значения удельного относительного углового момента.

Если соединить эту форму уравнения ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$ с отношениями ${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$ для площади сектора с бесконечно малым углом $\mathrm {d} \theta$ (треугольник с одной очень маленькой стороной), уравнение

$$\mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A$$

Третий закон

Третий закон Кеплера является прямым следствием второго закона. Интегрирование по одному обороту дает орбитальный период.

$$T={\frac {2\pi ab}{h}}$$

для района $\pi ab$эллипса. Заменив малую полуось на $b={\sqrt {ap}}$ и удельный относительный угловой момент с $h={\sqrt {\mu p}}$ каждый получает

$$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$$

Таким образом, существует связь между большой полуосью и периодом обращения спутника, которую можно свести к константе центрального тела.

См. также

• Удельная орбитальная энергия — еще одна сохраняющаяся величина в задаче двух тел.
• Классическая задача центральной силы § Удельный угловой момент