Скорость убегания

Чтобы узнать о других значениях, см. Escape Velocity .

Не путать с орбитальной скоростью .

В небесной механике космическая скорость или космическая скорость — это минимальная скорость, необходимая объекту для выхода из контакта с первичным телом или его орбиты , предполагая:

• Баллистическая траектория - на объект не действуют никакие другие силы, включая движение и трение.
• Других объектов, создающих гравитацию, не существует.

Хотя термин «скорость убегания» является общепринятым, его точнее описать как скорость , чем скорость, поскольку он не зависит от направления. Поскольку сила гравитации между двумя объектами зависит от их общей массы, скорость убегания также зависит от массы. Для искусственных спутников и небольших природных объектов масса объекта вносит незначительный вклад в общую массу, поэтому ее часто игнорируют.

Скорость убегания меняется в зависимости от расстояния от центра первичного тела, как и скорость объекта, движущегося под гравитационным воздействием первичного тела. Если объект находится на круговой или эллиптической орбите, его скорость всегда меньше скорости убегания на текущем расстоянии. Напротив, если он движется по гиперболической траектории, его скорость всегда будет выше, чем скорость убегания на текущем расстоянии. (Он будет замедляться по мере приближения к большему расстоянию, но делает это асимптотически, приближаясь к положительной скорости.) Объект на параболической траектории всегда будет двигаться точно со скоростью убегания на своем текущем расстоянии. Он имеет точно сбалансированную положительную кинетическую энергию и отрицательную гравитационную потенциальную энергию ; он всегда будет замедляться, асимптотически приближаясь к нулевой скорости, но никогда полностью не остановится.

Расчеты скорости убегания обычно используются для определения того, останется ли объект в гравитационной сфере влияния данного тела. Например, при исследовании Солнечной системы полезно знать, продолжит ли зонд вращаться вокруг Земли или уйдет на гелиоцентрическую орбиту . Также полезно знать, насколько зонду придется замедлиться, чтобы его гравитационно захватил тело назначения. Ракетам не обязательно достигать начальной скорости за один маневр, а объекты также могут использовать гравитационную помощь для отвода кинетической энергии от крупных тел.

Точные расчеты траектории требуют учета небольших сил, таких как атмосферное сопротивление , радиационное давление и солнечный ветер . Ракета с постоянной или прерывистой тягой (или объект, поднимающийся на космическом лифте ) может улететь с любой ненулевой скоростью, но минимальное количество энергии, необходимое для этого, всегда одинаково.

Расчет

Скорость убегания на расстоянии d от центра сферически-симметричного первичного тела (например, звезды или планеты) массы M определяется формулой

$v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}$

где:

• G — универсальная гравитационная постоянная ( G ≈ 6,67×10 ⁻¹¹ м ³ ·кг ⁻¹ ·с ⁻² )
• г = ГМ/д ² — местное гравитационное ускорение (или поверхностное гравитационное ускорение , когда d = r ).

Значение GM называется стандартным гравитационным параметром , или μ , и часто известно точнее, чем G или M по отдельности.

При заданной начальной скорости $V$ больше, чем скорость убегания $v_{e},$ объект будет асимптотически приближаться к гиперболической избыточной скорости $v_{\infty },$ удовлетворяющее уравнению:

${v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.$

Земля

Например, у поверхности Земли поверхностная сила тяжести составляет около 9,8 м/с. ² (9,8 Н/кг, 32 фута/с ² ), а скорость убегания небольшого объекта составляет около 11,186 км/с (40 270 км/ч; 25 020 миль в час; 36 700 футов/с). Это примерно в 33 раза превышает скорость звука (33 Маха) и в несколько раз превышает начальную скорость винтовочной пули (до 1,7 км/с). На высоте 9000 км скорость убегания составляет чуть менее 7,1 км/с. Эти скорости относятся к невращающейся системе отсчета; запуск вблизи экватора, а не полюсов, действительно может обеспечить толчок.

В этом контексте, если считать Землю основным телом, космическую скорость иногда называют «второй космической скоростью».

Требуемая энергия

Для объекта массы $m$ энергия, необходимая для выхода из гравитационного поля Земли, равна GMm/r и является функцией массы объекта (где r — радиус Земли , номинально 6371 километр (3959 миль), G — гравитационная постоянная , а M — масса объекта. Земля , М = 5,9736×10 ²⁴ кг ). Связанной величиной является удельная орбитальная энергия , которая по сути представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии, разделенную на массу. Объект достиг скорости убегания, когда удельная орбитальная энергия больше или равна нулю.

Сохранение энергии

«Луна-1» , запущенная в 1959 году, была первым искусственным объектом, достигшим скорости отрыва от Земли. ( см. в списке зондов Солнечной системы .) Подробнее

Существование убегающей скорости можно рассматривать как следствие сохранения энергии и энергетического поля конечной глубины. Для объекта с заданной полной энергией, который движется под действием консервативных сил (таких как статическое гравитационное поле), объект может достигать только комбинаций мест и скоростей, которые имеют эту полную энергию; места, которые имеют более высокую потенциальную энергию, вообще не могут быть достигнуты. Добавление скорости (кинетической энергии) к объекту расширяет область мест, которых он может достичь, пока, при достаточном количестве энергии, все до бесконечности не станет доступным.

Формулу скорости убегания можно вывести из принципа сохранения энергии. Для простоты, если не указано иное, мы предполагаем, что объект выйдет из гравитационного поля однородной сферической планеты, удаляясь от нее, и что единственной значительной силой, действующей на движущийся объект, является гравитация планеты. Представьте себе, что космический корабль массы m первоначально находится на расстоянии r от центра масс планеты, масса которой равна M , и его начальная скорость равна скорости убегания, $v_{e}$. В конечном состоянии он будет находиться на бесконечном расстоянии от планеты, а его скорость будет пренебрежимо малой. Кинетическая энергия K и гравитационная потенциальная энергия U _g — единственные виды энергии, с которыми мы будем иметь дело (мы будем игнорировать сопротивление атмосферы), поэтому в силу сохранения энергии

$(K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}$

Мы можем установить K _Final = 0, потому что конечная скорость сколь угодно мала, и U _{g   Final} = 0, потому что конечная гравитационная потенциальная энергия определяется как ноль на большом расстоянии от планеты, поэтому

${\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}$

Релятивистский

Тот же результат получается с помощью релятивистского расчета, и в этом случае переменная r представляет собой радиальную координату или приведенную длину окружности метрики Шварцшильда .

Сценарии

С поверхности тела

Альтернативное выражение для скорости убегания $v_{e}$ особенно полезно на поверхности тела:

$v_{e}={\sqrt {2gr\,}}$

где r — расстояние между центром тела и точкой, в которой рассчитывается скорость убегания, а g — ускорение свободного падения на этом расстоянии (т. е. поверхностная гравитация ).

Для тела со сферически-симметричным распределением массы скорость убегания $v_{e}$ от поверхности пропорциональна радиусу при условии постоянной плотности и пропорциональна квадратному корню из средней плотности ρ.

$v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}$

где ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

Эта скорость убегания определяется относительно невращающейся системы отсчета, а не относительно движущейся поверхности планеты или Луны, как объясняется ниже.

Из вращающегося тела

Скорость убегания относительно поверхности вращающегося тела зависит от направления движения убегающего тела. Например, поскольку скорость вращения Земли на экваторе составляет 465 м/с , ракете, запущенной по касательной от экватора Земли на восток, для требуется начальная скорость около 10,735 км/с относительно движущейся поверхности в точке запуска. отрыва тогда как ракета, запущенная по касательной от экватора Земли на запад, требует начальной скорости около 11,665 км/с относительно этой движущейся поверхности . Скорость поверхности уменьшается по косинусу географической широты, поэтому космические стартовые комплексы часто располагаются как можно ближе к экватору, например, американский мыс Канаверал Французской (28°28′ северной широты) и Космический центр Гвианы (5° широты). 14' с.ш.).

соображения

В большинстве ситуаций непрактично достичь почти мгновенной скорости убегания из-за подразумеваемого ускорения, а также потому, что при наличии атмосферы задействованные гиперзвуковые скорости (на Земле скорость 11,2 км/с, или 40 320 км/ч) были бы невозможны. вызывают сгорание большинства объектов из-за аэродинамического нагрева или разрывание их на части под действием атмосферного сопротивления . На реальной удаляемой орбите космический корабль будет постепенно ускоряться из атмосферы до тех пор, пока не достигнет скорости отрыва, соответствующей его высоте (которая будет меньше, чем на поверхности). Во многих случаях космический корабль может быть сначала выведен на стояночную орбиту (например, низкую околоземную орбиту высотой 160–2000 км), а затем на этой высоте разогнаться до скорости убегания, которая будет немного ниже (около 11,0 км/с на низкая околоземная орбита 200 км). Однако необходимое дополнительное изменение скорости гораздо меньше, поскольку космический корабль уже имеет значительную орбитальную скорость (на низкой околоземной орбите скорость составляет примерно 7,8 км/с, или 28 080 км/ч).

С орбитального тела

Скорость убегания на данной высоте равна ${\sqrt {2}}$ умножить скорость на круговой орбите на той же высоте (сравните это с уравнением скорости на круговой орбите ). Это соответствует тому факту, что потенциальная энергия относительно бесконечности объекта на такой орбите в два раза меньше его кинетической энергии, а для выхода сумма потенциальной и кинетической энергии должна быть не меньше нуля. Скорость, соответствующую круговой орбите, иногда называют первой космической скоростью , тогда как в этом контексте скорость убегания называют второй космической скоростью .

Для тела, находящегося на эллиптической орбите и желающего ускориться до орбиты убегания, требуемая скорость будет меняться и будет максимальной в перицентре , когда тело находится ближе всего к центральному телу. Однако в этой точке орбитальная скорость тела также будет максимальной, а требуемое изменение скорости будет минимальным, что объясняется эффектом Оберта .

убегания

Скорость убегания можно измерить либо относительно другого, центрального тела, либо относительно центра масс или барицентра системы тел. Таким образом, для систем двух тел термин «скорость убегания» может быть неоднозначным, но обычно он означает барицентрическую скорость убегания менее массивного тела. Скорость убегания обычно относится к скорости убегания пробных частиц с нулевой массой . Для пробных частиц с нулевой массой мы имеем, что «относительно другой» и «барицентрической» скорости убегания одинаковы, а именно $v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$.
Но когда мы не можем пренебречь меньшей массой (скажем, $m$) мы придем к несколько другим формулам.
Поскольку система должна подчиняться закону сохранения импульса, мы видим, что как большая, так и меньшая масса должны ускоряться в гравитационном поле. Относительно центра масс скорость большей массы ( $v_{p}$ , для планеты) можно выразить через скорость меньшей массы ( $v_{r}$, для ракеты). Мы получаем $v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}$.
«Барицентрическая» скорость убегания теперь равна: $v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$ в то время как скорость убегания «относительно другого» становится: $v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$.

Высота траекторий

Игнорируя все факторы, кроме силы гравитации между телом и объектом, объект проецировался вертикально со скоростью $v$ с поверхности сферического тела со скоростью убегания $v_{e}$ и радиус $R$ достигнет максимальной высоты $h$ удовлетворяющее уравнению

$v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,$

что, решение для h приводит к

$h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,$

где ${\textstyle x=v/v_{e}}$ это отношение первоначальной скорости $v$ к скорости убегания $v_{e}.$

В отличие от скорости отрыва, направление (вертикально вверх) важно для достижения максимальной высоты.

Траектория

Если объект достигает точно убегающей скорости, но не направлен прямо от планеты, то он будет следовать по изогнутому пути или траектории. Хотя эта траектория не образует замкнутой формы, ее можно назвать орбитой. Если предположить, что гравитация является единственной значимой силой в системе, скорость этого объекта в любой точке траектории будет равна скорости убегания в этой точке из-за сохранения энергии, его полная энергия всегда должна быть равна 0, что означает, что он всегда имеет космическую скорость; см. вывод выше. Форма траектории будет представлять собой параболу , фокус которой расположен в центре масс планеты. Для реального побега требуется курс с траекторией, которая не пересекает планету или ее атмосферу, поскольку это приведет к падению объекта. При удалении от источника этот путь называется орбитой ухода . Орбиты убегания известны как орбиты C3 = 0. C3 — характеристическая энергия , = − GM /2 a , где a — большая полуось , который бесконечен для параболических траекторий.

Если скорость тела превышает скорость убегания, то его путь будет формировать гиперболическую траекторию , и оно будет иметь избыточную гиперболическую скорость, эквивалентную дополнительной энергии, которой обладает тело. Относительно небольшая дополнительная разница v выше той, которая необходима для ускорения до скорости убегания, может привести к относительно большой скорости на бесконечности. некоторых орбитальных маневрах Этот факт используется в . Например, в месте, где скорость убегания равна 11,2 км/с, добавление 0,4 км/с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км/с:

$v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.$

Если тело на круговой орбите (или в перицентре эллиптической орбиты) ускоряется вдоль направления движения до скорости убегания, точка ускорения образует перицентр траектории убегания. Конечное направление движения будет составлять 90 градусов к направлению точки ускорения. Если тело ускоряется до скорости, превышающей скорость убегания, возможное направление движения будет под меньшим углом и будет указано одной из асимптот гиперболической траектории, по которой оно сейчас движется. Это означает, что время ускорения имеет решающее значение, если намерение состоит в том, чтобы уйти в определенном направлении.

Если скорость в перицентре равна v , то эксцентриситет траектории определяется выражением:

$e=2(v/v_{e})^{2}-1$

Это справедливо для эллиптических, параболических и гиперболических траекторий. Если траектория гиперболическая или параболическая, она будет асимптотически приближаться к углу $\theta$ со стороны перицентра, при этом

$\sin \theta =1/e.$

Скорость будет асимптотически приближаться

${\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.$

Список скоростей убегания

В этой таблице левая половина показывает скорость отрыва от видимой поверхности (которая может быть газообразной, как, например, Юпитер) относительно центра планеты или луны (то есть не относительно ее движущейся поверхности). В правой половине V _e относится к скорости относительно центрального тела (например, Солнца), тогда как V _te — это скорость (на видимой поверхности меньшего тела) относительно меньшего тела (планеты или луны). ).

Расположение	относительно	V e (км/с)		Расположение	относительно	V e (км/с)	Выход системы, В te (км/с)
На Солнце	Гравитация Солнца	617.5
На Меркурии	Гравитация Меркурия	4.25		В Меркурии	Гравитация Солнца	~ 67.7	~ 20.3
На Венере	Гравитация Венеры	10.36		На Венере	Гравитация Солнца	49.5	17.8
На Земле	Гравитация Земли	11.186		На Земле	Гравитация Солнца	42.1	16.6
На Луне	Гравитация Луны	2.38		На Луне	Гравитация Земли	1.4	2.42
На Марсе	Гравитация Марса	5.03		На Марсе	Гравитация Солнца	34.1	11.2
На Церере	Гравитация Цереры	0.51		На Церере	Гравитация Солнца	25.3	7.4
На Юпитере	Гравитация Юпитера	60.20		На Юпитере	Гравитация Солнца	18.5	60.4
На я	Гравитация Ио	2.558		В Ио	Гравитация Юпитера	24.5	7.6
Это Европа	Гравитация Европы	2.025		Эта Европа	Гравитация Юпитера	19.4	6.0
На Ганимеде	Гравитация Ганимеда	2.741		На Ганимеде	Гравитация Юпитера	15.4	5.3
На Каллисто	Гравитация Каллисто	2.440		В Каллисто	Гравитация Юпитера	11.6	4.2
На Сатурне	Гравитация Сатурна	36.09		На Сатурне	Гравитация Солнца	13.6	36.3
На Титане	Гравитация Титана	2.639		На Титане	Гравитация Сатурна	7.8	3.5
На Уране	Гравитация Урана	21.38		На Уране	Гравитация Солнца	9.6	21.5
На Нептуне	Гравитация Нептуна	23.56		На Нептуне	Гравитация Солнца	7.7	23.7
На Тритоне	Гравитация Тритона	1.455		В Тритоне	Гравитация Нептуна	6.2	2.33
На Плутоне	Гравитация Плутона	1.23		На Плутоне	Гравитация Солнца	~ 6.6	~ 2.3
200 а.е. от Солнца	Гравитация Солнца	2.98
1774 АС от Солнца	Гравитация Солнца	1
На Солнечной системы галактическом радиусе	Млечного Пути Гравитация	492–594
На горизонте событий	черной дыры Гравитация	299 792,458 ( скорость света )

Последние два столбца будут зависеть именно от того, где на орбите достигается скорость убегания, поскольку орбиты не совсем круговые (особенно Меркурия и Плутона).

Определение скорости убегания с помощью математических вычислений

Пусть G — гравитационная постоянная , M — масса Земли (или другого гравитирующего тела), а m — масса убегающего тела или снаряда. На расстоянии r от центра тяжести тело ощущает силу притяжения.

$F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.$

Поэтому работа, необходимая для перемещения тела на небольшое расстояние dr против этой силы, определяется выражением

$dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.$

Тогда полная работа, необходимая для перемещения тела от поверхности r _{0 на бесконечность, равна} гравитирующего тела

$W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.$

Чтобы совершить эту работу по достижению бесконечности, минимальная кинетическая энергия тела при вылете должна соответствовать этой работе, поэтому скорость убегания v ₀ удовлетворяет условию

${\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},$

что приводит к

$v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.$

См. также

• Черная дыра - объект, скорость убегания которого превышает скорость света.
• Характеристическая энергия (C ₃ )
• Бюджет Дельта-v – скорость, необходимая для выполнения маневров.
• Гравитационная рогатка – техника изменения траектории.
• Гравитационный колодец
• Список искусственных объектов на гелиоцентрической орбите
• Список искусственных объектов, покидающих Солнечную систему
• Пушечное ядро ​​Ньютона
• Эффект Оберта - горение топлива глубоко в гравитационном поле дает большее изменение кинетической энергии.
• Задача двух тел

Внешние ссылки

• Калькулятор скорости убегания
• Числовой калькулятор скорости отрыва через Интернет