Удельная орбитальная энергия

В гравитационной задаче двух тел удельная орбитальная энергия $\varepsilon$ (или жизненная энергия ) двух вращающихся тел есть постоянная сумма их взаимной потенциальной энергии ( $\varepsilon _{p}$ ) и их полную кинетическую энергию ( $\varepsilon _{k}$ ), разделенное на приведенную массу . ^[1] Согласно уравнению сохранения орбитальной энергии (также называемому уравнением vis-viva), она не меняется со временем: ${\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}$ где

$v$ – относительная орбитальная скорость ;
$r$ – орбитальное расстояние между телами;
$\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$ – сумма стандартных гравитационных параметров тел;
$h$ – удельный относительный угловой момент в смысле относительного углового момента, деленный на приведенную массу;
$e$ – эксцентриситет орбиты ;
$a$ — большая полуось .

Обычно оно выражается в ${\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}$ (мегаджоуль на килограмм) или ${\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}$ (квадратный километр на секунду в квадрате). Для эллиптической орбиты удельная орбитальная энергия равна отрицательной величине дополнительной энергии, необходимой для ускорения массы в один килограмм до начальной скорости ( параболическая орбита ). Для гиперболической орбиты она равна избыточной энергии по сравнению с энергией параболической орбиты. В этом случае удельную орбитальную энергию также называют характеристической энергией .

Формы уравнений для разных орбит

Для эллиптической орбиты уравнение удельной орбитальной энергии в сочетании с сохранением удельного углового момента орбиты на одной из апсид упрощается до: ^[2]

$\varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}$ где

$\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ – стандартный гравитационный параметр ;
$a$ — большая полуось орбиты.

Доказательство

Для эллиптической орбиты с удельным угловым моментом h, определяемым выражением $h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)$ мы используем общую форму конкретного уравнения орбитальной энергии: $\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}$ с учетом того, что относительная скорость в перицентре равна $v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}$ Таким образом, наше конкретное уравнение орбитальной энергии принимает вид $\varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}$ и, наконец, после последнего упрощения получаем: $\varepsilon =-{\mu \over 2a}$

Для параболической орбиты это уравнение упрощается до $\varepsilon =0.$

Для гиперболической траектории эта конкретная орбитальная энергия либо определяется выражением $\varepsilon ={\mu \over 2a}.$

или то же, что и для эллипса, в зависимости от соглашения о знаке .

В этом случае удельную орбитальную энергию также называют характеристической энергией (или $C_{3}$ ) и равна избыточной удельной энергии по сравнению с таковой для параболической орбиты.

Это связано с гиперболической избыточной скоростью $v_{\infty }$ ( орбитальная скорость на бесконечности) по формуле $2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.$

Это актуально для межпланетных миссий.

Таким образом, если вектор орбитального положения ( $\mathbf {r}$ ) и вектор орбитальной скорости ( $\mathbf {v}$ ) известны в одной позиции, и $\mu$ известна, то можно вычислить энергию и исходя из нее для любой другой позиции — орбитальную скорость.

Скорость изменения

Для эллиптической орбиты скорость изменения удельной орбитальной энергии относительно изменения большой полуоси равна ${\frac {\mu }{2a^{2}}}$ где

$\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$ – стандартный гравитационный параметр ;
$a\,\!$ — большая полуось орбиты.

В случае круговых орбит эта скорость равна половине гравитации на орбите. Это соответствует тому, что для таких орбит полная энергия равна половине потенциальной энергии, поскольку кинетическая энергия равна минус половине потенциальной энергии.

Дополнительная энергия

Если центральное тело имеет радиус R , то дополнительная удельная энергия эллиптической орбиты по сравнению с неподвижной на поверхности равна

$-{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}$

Количество $2a-R$ — это высота, на которой эллипс простирается над поверхностью, плюс периапсисное расстояние (расстояние, на которое эллипс выходит за пределы центра Земли). Для Земли и $a$ чуть больше, чем $R$ дополнительная удельная энергия $(gR/2)$ ; которая представляет собой кинетическую энергию горизонтальной составляющей скорости, т.е. ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$ , $V={\sqrt {gR}}$ .

Примеры

МКС

Международной космической станции составляет Период обращения 91,74 минуты (5504 с), следовательно, согласно Третьему закону Кеплера, большая полуось ее орбиты составляет 6738 км. ^{[ нужна ссылка ]}

Удельная орбитальная энергия, связанная с этой орбитой, составляет -29,6 МДж/кг: потенциальная энергия - -59,2 МДж/кг, а кинетическая энергия - 29,6 МДж/кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6 МДж/кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 3,4 МДж/кг, общая дополнительная энергия — 33,0 МДж/кг. Средняя скорость составляет 7,7 км/с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,1 км/с (фактическая дельта-v обычно на 1,5–2,0 км/с больше для атмосферного и гравитационного сопротивления ).

Увеличение на метр составит 4,4 Дж/кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 8,8 м/с. ².

Для высоты 100 км (радиус 6471 км):

Энергия составляет -30,8 МДж/кг, потенциальная энергия -61,6 МДж/кг, кинетическая энергия - 30,8 МДж/кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6 МДж/кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 1,0 МДж/кг, общая дополнительная энергия составляет 31,8 МДж/кг.

Увеличение на метр составит 4,8 Дж/кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 9,5 м/с. ². Скорость составляет 7,8 км/с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,0 км/с.

С учетом вращения Земли дельта-v становится на 0,46 км/с меньше (начиная от экватора и двигаясь на восток) или больше (если идти на запад).

Вояджер-1

Для «Вояджера-1» относительно Солнца:

$\mu =GM$ = 132 712 440 018 км ³⋅s ⁻² стандартный гравитационный параметр Солнца
r = 17 миллиардов километров
v = 17,1 км/с

Следовательно: $\varepsilon =\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=\mathrm {146\,km^{2}s^{-2}} -\mathrm {8\,km^{2}s^{-2}} =\mathrm {138\,km^{2}s^{-2}}$

Таким образом, гиперболическая избыточная скорость (теоретическая орбитальная скорость на бесконечности) определяется выражением $v_{\infty }=\mathrm {16.6\,km/s}$

Однако «Вояджеру-1» не хватает скорости, чтобы покинуть Млечный Путь . Вычисленная скорость применима вдали от Солнца, но в таком положении, что потенциальная энергия по отношению к Млечному Пути в целом изменилась незначительно, и только в том случае, если нет сильного взаимодействия с другими небесными телами, кроме Солнца.

Применение тяги

Предполагать:

a - ускорение, вызванное тягой (скорость времени, с которой дельта-v ) расходуется
g — напряженность гравитационного поля
v - скорость ракеты

Тогда скорость изменения удельной энергии ракеты во времени равна $\mathbf {v} \cdot \mathbf {a}$ : сумма $\mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )$ для кинетической энергии и величины $\mathbf {v} \cdot \mathbf {g}$ для потенциальной энергии.

Изменение удельной энергии ракеты на единицу изменения дельта-v равно ${\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}$ который | в | умножить на косинус угла между v и a .

Таким образом, при применении дельта-v для увеличения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении v , и когда | в | большой. Если угол между v и g тупой, например при запуске и переходе на более высокую орбиту, это означает применение дельта-v как можно раньше и на полную мощность. См. также гравитационное сопротивление . Проходя мимо небесного тела, это означает применение тяги, когда он находится ближе всего к телу. Постепенное увеличение эллиптической орбиты означает приложение тяги каждый раз, когда она приближается к перицентру.

При применении delta-v для уменьшения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении, противоположном направлению v , и снова, когда | в | большой. Если угол между v и g острый, например при посадке (на небесное тело без атмосферы) и при переходе на круговую орбиту вокруг небесного тела при прибытии извне, это означает применение дельта-v уже в возможный. Пролетая мимо планеты, это означает применение тяги, когда вы находитесь ближе всего к планете. Постепенное уменьшение эллиптической орбиты означает приложение тяги каждый раз, когда она приближается к перицентру.

Если a направлен в сторону v : $\Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt$

Тангенциальные скорости на высоте

Орбита	От центра к центру расстояние	Высота выше поверхность Земли	Скорость	Орбитальный период	Удельная орбитальная энергия
Собственное вращение Земли у поверхности (для сравнения — не орбита)	6378 км	0 км	465,1 м/с (1674 км/ч или 1040 миль в час)	23 часа 56 минут 4,09 секунды	−62,6 МДж/кг
Теоретическая орбита у поверхности Земли (экватора)	6378 км	0 км	7,9 км/с (28 440 км/ч или 17 672 миль в час)	1 час 24 минуты 18 секунд	−31,2 МДж/кг
Низкая околоземная орбита	6600–8400 км	200–2000 км	Круговая орбита: 7,7–6,9 км/с (27 772–24 840 км/ч или 17 224–15 435 миль в час) соответственно. Эллиптическая орбита: 10,07–8,7 км/с соответственно.	1 час 29 минут – 2 часа 8 минут	−29,8 МДж/кг
Molniya orbit	6900–46300 км	500–39 900 км.	1,5–10,0 км/с (5 400–36 000 км/ч или 3 335–22 370 миль в час) соответственно	11 часов 58 минут	−4,7 МДж/кг
Геостационарный	42 000 км	35 786 км	3,1 км/с (11600 км/ч или 6935 миль в час)	23 часа 56 минут 4,09 секунды	−4,6 МДж/кг
Орбита Луны	363 000–406 000 км.	357 000–399 000 км.	0,97–1,08 км/с (3492–3888 км/ч или 2170–2416 миль в час) соответственно	27,27 дней	−0,5 МДж/кг

См. также

Удельное изменение энергии ракет
Характеристическая энергия C3 (удвоенная удельная орбитальная энергия)

Ссылки

^ «Удельная энергия» . Марспедия . Проверено 12 августа 2022 г.
^ Ви, Бонг (1998). «Орбитальная динамика» . Динамика и управление космическим аппаратом . Образовательная серия AIAA. Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 220 . ISBN 1-56347-261-9 .

[1] «Удельная энергия» . Марспедия . Проверено 12 августа 2022 г.

[Bong_Wie_SVDC-2] Ви, Бонг (1998). «Орбитальная динамика» . Динамика и управление космическим аппаратом . Образовательная серия AIAA. Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 220 . ISBN 1-56347-261-9 .

[1]

[2]