Поверхностная гравитация

Поверхностная гравитация g испытываемое астрономического объекта — это гравитационное ускорение, на его поверхности на экваторе, включая эффекты вращения. Поверхностную гравитацию можно рассматривать как ускорение силы тяжести, испытываемое гипотетической пробной частицей, находящейся очень близко к поверхности объекта и имеющей незначительную массу, чтобы не нарушать систему. Для объектов, поверхность которых находится глубоко в атмосфере и радиус неизвестен, поверхностная сила тяжести определяется при уровне давления в атмосфере 1 бар.

Поверхностная сила тяжести измеряется в единицах ускорения, которые в системе СИ равны метрам на секунду в квадрате . Ее также можно выразить как кратную Земли стандартной поверхностной гравитации , которая равна

g = 9,806 65 м/с ²

В астрофизике поверхностную гравитацию можно выразить как log g , который получается путем выражения силы тяжести в единицах cgs , где единицей ускорения и поверхностной силы тяжести являются сантиметры в секунду в квадрате (см/с ² по основанию 10 ), а затем логарифмируем значения гравитации на поверхности. Следовательно, поверхностную гравитацию Земли можно выразить в единицах СГС как 980,665 см/с. ² по основанию 10 , а затем берем логарифм («log g ») от 980,665 и получаем 2,992 как «log g ».

Поверхностная гравитация белого карлика очень велика, а нейтронной звезды еще выше. Поверхностная гравитация белого карлика составляет около 100 000 г ( 10 ⁶ РС ² ), в то время как компактность нейтронной звезды придает ей поверхностную гравитацию до 7 × 10 ¹² РС ² с типичными значениями порядка 10 ¹² РС ² (это больше 10 ¹¹ раз больше, чем на Земле). Одним из показателей такой огромной гравитации является то, что нейтронные звезды имеют скорость убегания около 100 000 км/с , что составляет около трети скорости света . Для черных дыр поверхностную гравитацию необходимо рассчитывать релятивистски.

Связь поверхностной гравитации с массой и радиусом

Поверхностная гравитация различной
Тела Солнечной системы

(1 г = 9,80665 м/с ² , среднее поверхностное гравитационное ускорение на Земле)

Имя	Поверхностная гравитация
Солнце	28,02 г
Меркурий	0 0,377 г
Венера	0 0,905 г
Земля	0 1 г (средние широты)
Луна	0 0,165 7 г (в среднем)
Марс	0 0,379 г (средние широты)
Фобос	0 0,000 581 г
Деймос	0 0,000 306 г
Паллада	0 0,022 г (экватор)
Веста	0 0,025 г (экватор)
Церера	0 0,029 г
Юпитер	0 2,528 г (средние широты)
Этот	0 0,183 г
Европа	0 0,134 г
Ганимед	0 0,146 г
Каллисто	0 0,126 г
Сатурн	0 1,065 г (средние широты)
Мим	0 0,006 48 г
Энцелад	0 0,011 5 г
Тетис	0 0,014 9 г
Диона	0 0,023 7 г
Рея	0 0,026 9 г
Титан	0 0,138 г
Япет	0 0,022 8 г
Фиби	0 0,003 9–0,005 1 г
Уран	0 0,886 г (экватор)
Миранда	0 0,007 9 г
Ариэль	0 0,025 4 г
Умбриэль	0 0,023 г
Титания	0 0,037 2 г
Оберон	0 0,036 1 г
Нептун	0 1,137 г (средние широты)
Протей	0 0,007 г
Тритон	0 0,079 4 г
Плутон	0 0,063 г
Харон	0 0,029 4 г
Эрис	0 0,084 г
Грязный	0 0,0247 г (экватор)
67P-CG	0 0,000 017 г

В ньютоновской теории гравитации сила гравитации , действующая на объект, пропорциональна его массе: объект с удвоенной массой производит вдвое большую силу. Ньютоновская гравитация также подчиняется закону обратных квадратов : перемещение объекта в два раза дальше делит его гравитационную силу на четыре, а перемещение объекта в десять раз дальше делит его на 100. Это похоже на интенсивность света , что также следует из закон обратных квадратов: с увеличением расстояния свет становится менее видимым. Вообще говоря, это можно понимать как геометрическое разбавление, соответствующее излучению точечного источника, в трехмерное пространство.

Большой объект, такой как планета или звезда , обычно будет примерно круглым, приближаясь к гидростатическому равновесию (когда все точки на поверхности имеют одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии ). В небольших масштабах более высокие части местности подвергаются эрозии, при этом эродированный материал откладывается в нижних частях местности. В больших масштабах сама планета или звезда деформируется, пока не будет достигнуто равновесие. Для большинства небесных объектов в результате рассматриваемую планету или звезду можно рассматривать как почти идеальную сферу, когда скорость вращения низкая. Однако для молодых массивных звезд экваториальная азимутальная скорость может быть довольно высокой — до 200 км/с и более, — вызывая значительную экваториальную выпуклость . Примеры таких быстро вращающихся звезд включают Ахернар , Альтаир , Регул А и Вегу .

Тот факт, что многие крупные небесные объекты имеют форму сфер, облегчает расчет их поверхностной гравитации. Согласно теореме об оболочке , сила гравитации снаружи сферически-симметричного тела такая же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре, как это установил сэр Исаак Ньютон . Поэтому поверхностная гравитация планеты или звезды с данной массой будет примерно обратно пропорциональна квадрату ее радиуса , а поверхностная гравитация планеты или звезды с данной средней плотностью будет примерно пропорциональна ее радиусу. Например, недавно открытая планета имеет Глизе 581 c массу как минимум в 5 раз больше Земли, но вряд ли ее гравитация на поверхности будет в 5 раз выше ее поверхностной силы. Если его масса не более чем в 5 раз больше массы Земли, как и ожидалось, а если это каменистая планета с большим железным ядром, то ее радиус должен быть примерно на 50% больше, чем у Земли. Гравитация на поверхности такой планеты была бы примерно в 2,2 раза сильнее, чем на Земле. Если это ледяная или водная планета, ее радиус может быть в два раза больше земного, и в этом случае ее поверхностная гравитация может быть не более чем в 1,25 раза сильнее земной.

Эти пропорциональности можно выразить формулой: $$g\propto {\frac {m}{r^{2}}}$$где g — поверхностная сила тяжести объекта, кратная земной , m — его масса, кратная массе Земли ( 5,976 × 10 ²⁴ кг ) и r — ее радиус, выраженный как кратное (среднему) радиусу Земли (6371 км). Например, Марс имеет массу 6,4185 × 10. ²³ кг = 0,107 массы Земли и средний радиус 3390 км = 0,532 радиуса Земли. Таким образом, поверхностная гравитация Марса составляет примерно $${\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38$$раз больше, чем на Земле. Не используя Землю в качестве тела сравнения, поверхностную гравитацию можно также рассчитать непосредственно из закона всемирного тяготения Ньютона , который дает формулу $$g={\frac {GM}{r^{2}}}$$где M — масса объекта, r — его радиус, а G — гравитационная постоянная . Если мы обозначим ρ = M / V среднюю плотность объекта, мы также можем записать это как $$g={\frac {4\pi }{3}}G\rho r$$так что при фиксированной средней плотности поверхностная сила тяжести g пропорциональна радиусу r .

Газовые гиганты

Для газовых планет-гигантов, таких как Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, поверхностная гравитация определяется уровнем давления в атмосфере в 1 бар.

Несферически симметричные объекты

Большинство реальных астрономических объектов не являются идеально сферически симметричными. Одна из причин этого заключается в том, что они часто вращаются, а это означает, что на них влияет совокупное воздействие гравитационной силы и центробежной силы . Это приводит к сжатию звезд и планет , а это означает, что их поверхностная гравитация на экваторе меньше, чем на полюсах. Этот эффект был использован Хэлом Клементом в его научно-фантастическом романе « Миссия гравитации» , посвященном массивной, быстро вращающейся планете, где гравитация на полюсах была намного выше, чем на экваторе.

В той степени, в которой внутреннее распределение массы объекта отличается от симметричной модели, мы можем использовать измеренную поверхностную гравитацию, чтобы сделать выводы о внутренней структуре объекта. Этот факт нашел практическое применение с 1915–1916 годов, когда Роланда Этвёша были торсионные весы использованы для разведки нефти в районе города Эгбелл (ныне Гбели , Словакия ). В 1924 году торсионные весы использовались для определения местонахождения нефтяных месторождений Нэш-Доум в Техасе .

Иногда бывает полезно рассчитать поверхностную гравитацию простых гипотетических объектов, не встречающихся в природе. Поверхностная гравитация бесконечных плоскостей, трубок, линий, полых оболочек, конусов и даже более нереалистичных структур может быть использована для понимания поведения реальных структур.

Черные дыры

В теории относительности ньютоновская концепция ускорения оказывается неясной. Для черной дыры, которую следует рассматривать релятивистски, нельзя определить поверхностную гравитацию как ускорение, испытываемое пробным телом на поверхности объекта, поскольку поверхности нет. Это связано с тем, что ускорение пробного тела на горизонте событий черной дыры оказывается бесконечным в теории относительности. По этой причине используется перенормированное значение, соответствующее ньютоновскому значению в нерелятивистском пределе. Используемое значение обычно представляет собой собственное локальное ускорение (которое расходится на горизонте событий), умноженное на коэффициент гравитационного замедления времени (который стремится к нулю на горизонте событий). В случае Шварцшильда это значение математически хорошо ведет себя для всех ненулевых значений r и M .

Когда кто-то говорит о поверхностной гравитации черной дыры, он определяет понятие, которое ведет себя аналогично ньютоновской поверхностной гравитации, но это не одно и то же. Фактически, поверхностная гравитация обычной черной дыры четко не определена. Однако можно определить поверхностную гравитацию для черной дыры, горизонт событий которой является горизонтом Киллинга.

Поверхностная гравитация $\kappa$ статического горизонта Киллинга — это ускорение, действующее на бесконечности, необходимое для удержания объекта на горизонте. Математически, если $k^{a}$ является соответствующим образом нормализованным вектором Киллинга , то поверхностная гравитация определяется выражением $$k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b},$$где уравнение оценивается на горизонте. Для статического и асимптотически плоского пространства-времени нормировку следует выбирать так, чтобы $k^{a}k_{a}\to -1$ как $r\to \infty$, и так что $\kappa \geq 0$. В качестве решения Шварцшильда возьмем $k^{a}$ быть переводом времени Вектор Киллинга ${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}}$и, в более общем смысле, для решения Керра – Ньюмана мы принимаем ${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$, линейная комбинация векторов Киллинга временного перевода и осевой симметрии, равная нулю на горизонте, где $\Omega$ - угловая скорость.

Решение Шварцшильда

С $k^{a}$ вектор Киллинга $k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}$ подразумевает $-k^{a}\,\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}$. В $(t,r,\theta ,\varphi )$ координаты $k^{a}=(1,0,0,0)$. Выполнение изменения координат в расширенных координатах Эддингтона – Финклештейна. ${\textstyle v=t+r+2M\ln |r-2M|}$ приводит к тому, что метрика принимает вид $$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dv^{2}+\left(dv\,dr+\,dr\,dv\right)+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).$$

При общей замене координат вектор Киллинга преобразуется как $k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}$ давая векторы $k^{a'}=\delta _{v}^{a'}=(1,0,0,0)$ и ${\textstyle k_{a'}=g_{a'v}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).}$

Учитывая b = $v$ запись для $k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}$ дает дифференциальное уравнение ${\textstyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .}$

Следовательно, поверхностная гравитация для раствора Шварцшильда с массой $M$ является $\kappa ={\frac {1}{4M}}$ ( $\kappa ={c^{4}}/{4GM}$ в единицах СИ).

Решение Керра

Поверхностная гравитация незаряженной вращающейся черной дыры просто равна $$\kappa =g-k,$$где ${\textstyle g={\frac {1}{4M}}}$ - поверхностная гравитация Шварцшильда, а $k:=M\Omega _{+}^{2}$ — пружинная константа вращающейся черной дыры. $\Omega _{+}$ — угловая скорость на горизонте событий. Это выражение дает простую температуру Хокинга $2\pi T=g-k$.

Решение Керра – Ньюмана

Поверхностная гравитация для решения Керра – Ньюмана равна $$\kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2\left(r_{+}^{2}+a^{2}\right)}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}},$$где $Q$ электрический заряд, $J$ – угловой момент, мы определяем ${\textstyle r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}$ быть местами двух горизонтов и $a:=J/M$.

Динамические черные дыры

Поверхностная гравитация для стационарных черных дыр четко определена. Это потому, что у всех стационарных черных дыр есть Убийственный горизонт. В последнее время произошел сдвиг в сторону определения поверхностной гравитации динамических черных дыр, пространство-время которых не допускает времениподобного вектора (поля) Киллинга . На протяжении многих лет различными авторами было предложено несколько определений, таких как поверхностная гравитация отслаивания и поверхностная гравитация Кодамы. На данный момент не существует консенсуса или согласия относительно того, какое определение является правильным, если таковое имеется. Квазиклассические результаты показывают, что гравитация поверхности отслаивания плохо определена для переходных объектов, образовавшихся за конечное время у удаленного наблюдателя.

Внешние ссылки

• Ньютоновская поверхностная гравитация
• Эксплораториум – ваш вес в других мирах