Гидростатическое равновесие

Для более широкого освещения этой темы см. Гидростатика .

Схема вновь образовавшейся планеты в состоянии гидростатического равновесия.

В механике жидкости гидростатическое равновесие ( гидростатический баланс , гидростазия ) — это состояние жидкости или пластического твердого тела в состоянии покоя, которое возникает, когда внешние силы, такие как сила тяжести , уравновешиваются силой градиента давления . В планетарной физике Земли сила градиента давления не позволяет гравитации схлопнуть планетарную атмосферу в тонкую, плотную оболочку, тогда как гравитация предотвращает диффузию силы градиента давления в космическое пространство . В общем, именно это заставляет объекты в космосе иметь сферическую форму.

Гидростатическое равновесие является отличительным критерием между карликовыми планетами и малыми телами Солнечной системы , а также особенностями астрофизики и планетарной геологии . Указанная характеристика равновесия указывает на то, что форма объекта симметрично округлена, главным образом из-за вращения , в эллипсоид , где любые неровные особенности поверхности являются следствием относительно тонкой твердой корки . Помимо Солнца, существует около дюжины равновесных объектов, существование которых подтверждено в Солнечной системе .

Математическое рассмотрение

Если выделенный объем жидкости не ускоряется, силы, действующие на него вверх, должны равняться силам, направленным вниз.

Для гидростатической жидкости на Земле: $$dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh$$

Вывод из суммирования сил

Дополнительная информация: Механическое равновесие.

Законы движения Ньютона гласят, что объем жидкости, который не находится в движении или находится в состоянии постоянной скорости, должен иметь нулевую результирующую силу. Это означает, что сумме сил в данном направлении должна противодействовать равная сумма сил в противоположном направлении. Этот баланс сил называется гидростатическим равновесием.

Жидкость можно разделить на большое количество элементов кубовидного объема; рассматривая один элемент, можно определить действие жидкости.

Существует три силы: сила, направленная вниз на вершину кубоида от давления P жидкости над ним, согласно определению давления , $$F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A$$Аналогично, сила, действующая на элемент объема от давления жидкости внизу, толкающей вверх, равна $$F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A$$

Наконец, вес элемента объема вызывает силу, направленную вниз. Если плотность равна ρ , объем равен V и g — стандартная сила тяжести , то: $$F_{\text{weight}}=-\rho gV$$Объем этого кубоида равен площади верха или низа, умноженной на высоту – формула нахождения объема куба. $$F_{\text{weight}}=-\rho gAh$$

Уравновешивая эти силы, общая сила, действующая на жидкость, равна $$\sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh$$Эта сумма равна нулю, если скорость жидкости постоянна. Разделив на А, $$0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh$$Или, $$P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh$$P _верх − P _низ — изменение давления, а h — высота элемента объема — изменение расстояния над землей. Утверждая, что эти изменения бесконечно малы, уравнение можно записать в дифференциальной форме. $$dP=-\rho g\,dh$$Плотность меняется с давлением, а сила тяжести меняется с высотой, поэтому уравнение будет таким: $$dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh$$

Вывод из уравнений Навье – Стокса.

Наконец, отметим, что это последнее уравнение может быть получено путем решения трехмерных уравнений Навье – Стокса для ситуации равновесия, где $$u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0$$Тогда единственным нетривиальным уравнением является уравнение $z$-уравнение, которое теперь читается $${\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0$$Таким образом, гидростатический баланс можно рассматривать как особенно простое равновесное решение уравнений Навье–Стокса.

Вывод из общей теории относительности

Подставив тензор энергии-импульса для идеальной жидкости $$T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }$$в уравнения поля Эйнштейна $$R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)$$и воспользовавшись условием сохранения $$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$$можно вывести уравнение Толмана-Оппенгеймера-Волкова для структуры статической сферически-симметричной релятивистской звезды в изотропных координатах: $${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}$$На практике Ρ и ρ связаны уравнением состояния вида f ( Ρ , ρ ) = 0, причем f зависит от состава звезды. M ( r ) представляет собой слоение сфер, взвешенных по плотности массы ρ ( r ), причем наибольшая сфера имеет радиус r : $$M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').$$Согласно стандартной процедуре перехода к нерелятивистскому пределу, мы полагаем c → ∞ , так что множитель $$\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1$$Следовательно, в нерелятивистском пределе уравнение Толмана-Оппенгеймера-Волкова сводится к гидростатическому равновесию Ньютона: $${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh$$(мы сделали тривиальную замену обозначений h = r и использовали f ( P , ρ ) = 0, чтобы выразить ρ через P ). Аналогичное уравнение можно вычислить для вращающихся осесимметричных звезд, которое в своей калибровочно-независимой форме выглядит следующим образом: $${\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0$$ В отличие от уравнения равновесия TOV, это два уравнения (например, если, как обычно при рассмотрении звезд, в качестве базисных координат выбрать сферические координаты $(t,r,\theta ,\varphi )$, индекс i пробегает координаты r и $\theta$).

Приложения

Жидкости

Гидростатическое равновесие относится к и принципам равновесия жидкостей . гидростатике Гидростатические весы – это особые весы для взвешивания веществ в воде. Гидростатический баланс позволяет обнаружить их удельный вес . Это равновесие строго применимо, когда идеальная жидкость находится в устойчивом горизонтальном ламинарном потоке, а также когда любая жидкость покоится или движется вертикально с постоянной скоростью. Это также может быть удовлетворительным приближением, когда скорости потока настолько малы, что ускорение незначительно.

Астрофизика и планетология

Со времен Исаака Ньютона было проделано много работ по вопросу равновесия, достигаемого при вращении жидкости в пространстве. Это применимо как к звездам, так и к таким объектам, как планеты, которые в прошлом могли быть жидкими или твердый материал которых деформируется, как жидкость, под воздействием очень высоких напряжений.В любом слое звезды существует гидростатическое равновесие между градиентом давления, выталкивающим наружу, и весом материала, находящегося над ним, давящего внутрь. Можно также изучать планеты в предположении гидростатического равновесия. Вращающаяся звезда или планета, находящаяся в гидростатическом равновесии, обычно представляет собой сплюснутый сфероид , то есть эллипсоид , у которого две главные оси равны и длиннее третьей.Примером такого явления является звезда Вега , период вращения которой составляет 12,5 часов. Следовательно, Вега на экваторе примерно на 20% больше, чем от полюса к полюсу.

В своей «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» 1687 года Ньютон правильно заявил, что вращающаяся жидкость однородной плотности под действием силы тяжести примет форму сфероида и что гравитация (включая действие центробежной силы ) будет слабее на экваторе, чем на экваторе. полюсов на величину, равную (по крайней мере асимптотически ) пяти четвертям центробежной силы на экваторе. В 1742 году Колен Маклорен опубликовал свой трактат о флюксиях, в котором показал, что сфероид является точным решением. Если обозначить экваториальный радиус через $r_{e},$ полярный радиус на $r_{p},$ и эксцентриситет ​ $\epsilon ,$ с

$\epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},$

он обнаружил, что сила тяжести на полюсах равна

${\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}$

где $G$ гравитационная постоянная, $\rho$ - (равномерная) плотность, а $M$ это общая масса. Отношение этого к $g_{0},$ гравитация, если жидкость не вращается, асимптотична

$g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f$

как $\epsilon$ стремится к нулю, где $f$ это сглаживание:

$f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.$

Гравитационное притяжение на экваторе (без учета центробежной силы) равно

${\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}$

Асимптотически имеем:

$g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f$

Маклорен показал (еще в случае однородной плотности), что составляющая силы тяжести по направлению к оси вращения зависела только от расстояния от оси и пропорциональна этому расстоянию, а составляющая по направлению к плоскости экватора зависела только на расстоянии от этой плоскости и был пропорционален этому расстоянию. Ньютон уже указывал, что гравитация, ощущаемая на экваторе (включая облегчение, вызванное центробежной силой), должна быть ${\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}$ чтобы иметь одинаковое давление на дне каналов от полюса или от экватора до центра, центробежная сила на экваторе должна быть равна

$g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.$

Определяя широту как угол между касательной к меридиану и осью вращения, общая сила тяжести ощущается на широте. $\phi$ (включая действие центробежной силы)

$g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.$

Это сфероидное решение устойчиво до определенного (критического) углового момента (нормированного на $M{\sqrt {G\rho r_{e}}}$), но в 1834 году Карл Якоби показал, что он становится неустойчивым, как только эксцентриситет достигает 0,81267 (или $f$ достигает 0,3302).Выше критического значения решение становится якобиевым или разносторонним эллипсоидом (у которого все три оси различны). Анри Пуанкаре в 1885 году обнаружил, что при еще большем угловом моменте он будет уже не эллипсоидным, а грушевидным или яйцевидным . Симметрия снижается от 8-кратной _{D 2h} точечной группы до 4-кратной C _2v , ось которой перпендикулярна оси вращения. Другие формы удовлетворяют дополнительным уравнениям, но не являются стабильными, по крайней мере, вблизи точки бифуркации . Пуанкаре не был уверен, что произойдет при более высоком угловом моменте, но пришел к выводу, что в конечном итоге капля разделится на две части.

Предположение об однородной плотности может более или менее применяться к расплавленной планете или каменистой планете, но не применимо к звезде или такой планете, как Земля, с плотным металлическим ядром. В 1737 году Алексис Клеро исследовал случай изменения плотности с глубиной. Теорема Клеро утверждает, что изменение силы тяжести (включая центробежную силу) пропорционально квадрату синуса широты, причем пропорциональность линейно зависит от сплющивания ( $f$) и отношение на экваторе центробежной силы к гравитационному притяжению. (Сравните с точным соотношением, приведенным выше для случая однородной плотности.) Теорема Клеро представляет собой для сплюснутого сфероида частный случай связи, обнаруженной позже Пьером-Симоном Лапласом между формой и изменением силы тяжести.

Если у звезды есть массивный соседний объект-компаньон, тогда в игру вступают и приливные силы , искажающие звезду, придавая ей разностороннюю форму, тогда как одно только вращение могло бы сделать ее сфероидом. Примером этого является Бета Лиры .

Гидростатическое равновесие также важно для внутрископительной среды , где оно ограничивает количество жидкости, которая может присутствовать в ядре скопления галактик .

Мы также можем использовать принцип гидростатического равновесия для оценки дисперсии скоростей темной материи в скоплениях галактик. Только барионная материя (вернее, ее столкновения) излучает рентгеновское излучение. Абсолютная рентгеновская светимость в единице объема имеет вид ${\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}$ где $T_{B}$ и $\rho _{B}$ – температура и плотность барионной материи, а $\Lambda (T)$ является некоторой функцией температуры и фундаментальных констант. Барионная плотность удовлетворяет приведенному выше уравнению $dP=-\rho g\,dr$: $$p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.$$Интеграл является мерой общей массы скопления, при этом $r$ это правильное расстояние до центра кластера. Используя закон идеального газа $p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}$ ( $k$ – постоянная Больцмана и $m_{B}$ — характерная масса частиц барионного газа) и переставляя, приходим к $${\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.$$Умножение на $r^{2}/\rho _{B}(r)$ и дифференцируя по $r$ урожайность $${\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).$$Если предположить, что частицы холодной темной материи имеют изотропное распределение скоростей, то к этим частицам применим тот же вывод, а их плотность $\rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}$ удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению $${\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).$$Имея точные рентгеновские данные и данные о расстоянии, мы могли бы рассчитать плотность барионов в каждой точке скопления и, следовательно, плотность темной материи. Затем мы могли бы вычислить дисперсию скоростей $\sigma _{D}^{2}$ темной материи, которая определяется формулой $$\sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.$$ Коэффициент центральной плотности $\rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)$ зависит от красного смещения $z$ кластера и определяется выражением $$\rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}$$ где $\theta$ угловая ширина кластера и $s$ правильное расстояние до кластера. Значения коэффициента варьируются от 0,11 до 0,14 для различных опросов.

Планетарная геология

См. Также: Список гравитационно закругленных объектов Солнечной системы.

Дополнительная информация: теорема Клеро (гравитация).

Концепция гидростатического равновесия также стала важной при определении того, является ли астрономический объект планетой , карликовой планетой или малым телом Солнечной системы . Согласно определению планеты, принятому Международным астрономическим союзом в 2006 году, одной из определяющих характеристик планет и карликовых планет является то, что они представляют собой объекты, обладающие достаточной гравитацией, чтобы преодолеть собственную жесткость и принять гидростатическое равновесие. Такое тело часто будет иметь дифференцированную внутреннюю часть и геологию мира ( планемо ), хотя почти гидростатические или ранее гидростатические тела, такие как протопланета 4 Веста, также могут быть дифференцированы, а некоторые гидростатические тела (особенно Каллисто ) еще не полностью дифференцированы с момента их образования. Часто равновесная форма представляет собой сплюснутый сфероид , как в случае с Землей. Однако в случае спутников, находящихся на синхронной орбите, почти однонаправленные приливные силы создают разносторонний эллипсоид . Кроме того, предполагаемая карликовая планета Хаумеа является разносторонней из-за ее быстрого вращения, хотя в настоящее время она, возможно, не находится в равновесии.

Ранее считалось, что ледяным объектам для достижения гидростатического равновесия требуется меньшая масса, чем каменистым объектам. Самый маленький объект, имеющий, по-видимому, равновесную форму, — это ледяной спутник Мимас на высоте 396 км, тогда как самый большой ледяной объект, имеющий явно неравновесную форму, — это ледяной спутник Протей на высоте 420 км, а самые крупные скалистые тела явно неравновесной формы. неравновесной формой обладают астероиды Паллада и Веста на высоте около 520 км. Однако Мимас на самом деле не находится в гидростатическом равновесии при своем нынешнем вращении. Самым маленьким телом, находящимся в гидростатическом равновесии, является карликовая планета Церера , ледяная, высотой 945 км, тогда как самым большим известным телом, имеющим заметное отклонение от гидростатического равновесия, является Япет, состоящий в основном из проницаемого льда и почти не содержащего камней. Япет высотой 1469 км не имеет ни сферической, ни эллипсоидной формы. Вместо этого он имеет странную форму, напоминающую грецкий орех, из-за своего уникального экваториального хребта . Некоторые ледяные тела могут находиться в равновесии, по крайней мере частично, из-за подземного океана, что не является определением равновесия, используемым МАС (гравитация преодолевает внутренние силы твердого тела). Земли Даже более крупные тела отклоняются от гидростатического равновесия, хотя и имеют эллипсоидную форму: примерами являются Луна на высоте 3474 км (в основном скальная), и планета Меркурий на высоте 4880 км (в основном металл).

В 2024 году Кисс и др. обнаружил, что Квавар имеет эллипсоидную форму, несовместимую с гидростатическим равновесием для его текущего вращения. Они выдвинули гипотезу, что Квавар изначально имел быстрое вращение и находился в гидростатическом равновесии, но его форма «застыла» и не изменилась по мере его раскручивания из-за приливных сил со стороны его спутника Вейвота . Если это так, то это будет напоминать ситуацию с Япетом, который слишком сплющен для его нынешнего вращения. Тем не менее , Япет по-прежнему считается спутником планетарной массы . хотя и не всегда.

Твердые тела имеют неровную поверхность, но локальные неровности могут соответствовать глобальному равновесию. Например, массивное основание самой высокой горы на Земле, Мауна-Кеа , деформировало и понизило уровень окружающей коры, так что общее распределение массы приближается к равновесию.

Моделирование атмосферы

Дополнительная информация: Модель атмосферы.

В атмосфере давление воздуха уменьшается с увеличением высоты. Эта разница давлений вызывает направленную вверх силу, называемую силой градиента давления . Сила гравитации уравновешивает это, удерживая атмосферу связанной с Землей и поддерживая разницу давления с высотой.

См. также

• Список гравитационно-округлённых объектов Солнечной системы ; список объектов, которые имеют округлую эллипсоидную форму из-за собственной гравитации (но не обязательно находятся в гидростатическом равновесии)
• Статика
• Эксперимент с двумя шариками

Внешние ссылки

• Стробель, Ник. (май 2001 г.). Астрономические заметки Ника Стробеля.
• Демонстрация на YouTube Ричарда Погге, Университет штата Огайо, факультет астрономии.