Теорема Клеро (гравитация)

Теорема Клеро характеризует поверхностную гравитацию на вязком вращающемся эллипсоиде, находящемся в гидростатическом равновесии под действием его гравитационного поля и центробежной силы. Он был опубликован в 1743 году Алексисом Клодом Клеро в трактате. ^{[ 1 ]} который синтезировал физические и геодезические доказательства того, что Земля представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Первоначально он использовался для связи силы тяжести в любой точке поверхности Земли с положением этой точки, что позволяло рассчитывать эллиптичность Земли на основе измерений силы тяжести на разных широтах. Сегодня оно в значительной степени вытеснено уравнением Сомильяны .

История

Хотя с античных времен было известно, что Земля имеет сферическую форму, к 17 веку накопились доказательства того, что она не была идеальной сферой. В 1672 году Жан Рише нашел первое свидетельство того, что гравитация над Землей не является постоянной (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана , и обнаружил, что они потеряли 2 + 1 ⁄ минуты в день по сравнению с ценой в Париже. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Это указывало на то, что ускорение силы тяжести в Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали брать с собой в путешествия в отдаленные части мира, и постепенно было обнаружено, что гравитация плавно увеличивается с увеличением широты, причем гравитационное ускорение на полюсах примерно на 0,5% больше, чем на экваторе.

Британский физик Исаак Ньютон объяснил это в своей книге «Начала математики» (1687 г.), в которой изложил свою теорию и расчеты формы Земли. ^{[ 6 ]} Ньютон правильно предположил, что Земля не совсем сфера, а имеет сплюснутую эллипсоидную форму, слегка сплюснутую у полюсов из-за центробежной силы ее вращения. Используя геометрические расчеты, он привел конкретные аргументы в пользу гипотетической эллипсоидной формы Земли. ^{[ 7 ]}

Целью Principia было не дать точные ответы на природные явления, а теоретизировать потенциальные решения этих нерешенных в науке факторов. Ньютон призывал ученых глубже изучить необъяснимые переменные. Двумя выдающимися исследователями, которых он вдохновил, были Алексис Клеро и Пьер Луи Мопертюи . Они оба стремились доказать справедливость теории Ньютона о форме Земли. Для этого они отправились в экспедицию в Лапландию , пытаясь точно измерить дугу меридиана . По таким измерениям они могли вычислить эксцентриситет Земли, степень ее отклонения от идеальной сферы.

Клеро подтвердил, что теория Ньютона о том, что Земля имеет эллипсоидную форму, верна, но его расчеты ошибочны, и написал письмо в Лондонское королевское общество со своими выводами. ^{[ 8 ]} общество опубликовало статью в журнале Philosophical Transactions . В следующем, 1737 году ^{[ 9 ]} В нем Клеро указал (раздел XVIII), что положение XX Ньютона из книги 3 не применимо к реальной Земле. В нем говорилось, что вес объекта в некоторой точке Земли зависит только от пропорции его расстояния от центра Земли к расстоянию от центра до поверхности на объекте или над ним, так что общий вес объекта Столб воды в центре Земли будет одинаковым, независимо от того, в каком направлении столб поднимается на поверхность. Фактически Ньютон сказал, что это было сделано при предположении, что материя внутри Земли имеет однородную плотность (в предложении XIX). Ньютон понял, что плотность, вероятно, не была однородной, и предложил это как объяснение того, почему гравитационные измерения обнаружили большую разницу между полярными и экваториальными областями, чем предсказывала его теория. Однако он также думал, что это будет означать, что экватор находится дальше от центра, чем предсказывала его теория, а Клеро указывает, что верно обратное. Клеро указывает в начале своей статьи, что Ньютон не объяснил, почему он считал Землю эллипсоидом, а не каким-то другим овалом, но что Клеро и Почти одновременно с этим Джеймс Стирлинг в 1736 году показал, почему Земля должна быть эллипсоидом.

В статье Клеро также не было приведено действительного уравнения, подтверждающего его аргументы. Это вызвало много споров в научном сообществе. только после того, как Клеро написал «Теорию фигуры де ла земная» Правильный ответ был дан в 1743 году. В нем он обнародовал то, что сегодня более формально известно как теорема Клеро.

Формула

Теорема Клеро гласит, что ускорение силы тяжести g (включая действие центробежной силы) на поверхности сфероида, находящегося в гидростатическом равновесии (являющегося жидкостью или бывшего жидкостью в прошлом, или имеющего поверхность вблизи уровня моря) на широте $φ$ это: ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

$g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\,,$

где $G_{e}$ - значение ускорения свободного падения на экваторе, m - центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f - меридианного уплощение участка отношение Земли, определяемое как:

$f={\frac {a-b}{a}}\,,$

(где a = большая полуось, b = малая полуось). Вклад центробежной силы составляет примерно $-G_{e}m\cos ^{2}\varphi ,$ тогда как само гравитационное притяжение изменяется примерно как $G_{e}\left({\frac {3}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi .$ Эта формула справедлива, когда поверхность перпендикулярна направлению силы тяжести (включая центробежную силу), даже если (как обычно) плотность не постоянна (в этом случае гравитационное притяжение можно вычислить в любой точке только на основе формы, без привязки к ней). к $m$ ). Для земли, $m\approx 1/289,$ и ${\frac {5}{2}}m\approx 1/116,$ пока $f\approx 1/300,$ так $g$ на полюсах больше, чем на экваторе. ^{[ 12 ]}

Клеро вывел формулу, предположив, что тело состоит из концентрических коаксиальных сфероидальных слоев постоянной плотности. ^{[ 13 ]} Эту работу впоследствии продолжил Лаплас , который предположил, что поверхности одинаковой плотности были почти сферическими. ^{[ 12 ]}^{[ 14 ]} Английский математик Джордж Стоукс показал в 1849 г. ^{[ 12 ]} что эта теорема применима к любому закону плотности, если внешняя поверхность представляет собой сфероид равновесия. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} Историю недавних разработок и более подробные уравнения для g можно найти у Хана. ^{[ 17 ]}

Вышеприведенное выражение для g было заменено уравнением Сомильяны (после Карло Сомильяна ).

Геодезия

Сфероидальная форма Земли является результатом взаимодействия гравитации и центробежной силы, вызванной вращением Земли вокруг своей оси. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} В своих «Началах» предположил , Ньютон что равновесная форма однородной вращающейся Земли представляет собой эллипсоид вращения с уплощением f , равным 1/230. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} В результате гравитация увеличивается от экватора к полюсам. Применяя теорему Клеро, Лаплас по 15 значениям гравитации нашел f = 1/330. Современная оценка составляет 1/298,25642. ^{[ 22 ]} см . «Фигура Земли» Более подробно .

Подробный отчет о построении эталонной модели Земли см. в Чатфилде. геодезической ^{[ 23 ]}

Ссылки

^ Théorie de lafigure de la terre, tirée des principes de l'гидростатика ( Теория формы Земли, основанная на принципах гидростатики ) Из каталога научных книг в библиотеке Королевского общества.
^ Вольфганг Торге (2001). Геодезия: Введение (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер . стр. 10. ISBN 3-11-017072-8 .
^ Эдвард Джон Рут (2001). Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами . Том. 2. Медиа Корпорация Адамант. п. 154. ИСБН 1-4021-7320-2 . Перепечатка оригинальной работы, опубликованной в 1908 году издательством Cambridge University Press.
^ Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд . Лондон: Charles Griffin & Co., с. 20 .
^ Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке» . Бюллетень 240 Национального музея США: Материалы Музея истории и технологий перепечатаны в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института . п. 307 . Проверено 28 января 2009 г.
^ Предложения X-XXIV (Движения небесных тел и моря) , Предложения XIX и XX. Оригинальная латынь .
^ Ньютон, Исаак. «Начала», книга III, предложение XIX, задача III .
^ Гринбург, Джон (1995). Проблема формы Земли от Ньютона до Клеро . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 132 . ISBN 0-521-38541-5 .
^ Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование о фигуре таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность постоянно меняется от центра к поверхности». Философские труды . JSTOR 103921 .
^ WW Rouse Ball. Краткий отчет об истории математики (4-е издание, 1908 г.)
^ Уолтер Уильям Роуз Болл (1901). Краткий отчет по истории математики (3-е изд.). Макмиллан. п. 384 . Краткий отчет об истории математики» (4-е издание, 1908 г.) У. В. Роуза Болла.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Стоукс, Г.Г. (1849). «О притяжениях и теореме Клеро» . Кембриджский и Дублинский математический журнал . 4 : 194–219.
^ Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики (4-е изд.). Лондон: Charles Griffin & Co., стр. 22–23 .
^ Исаак Тодхантер (январь 1999 г.). История математических теорий притяжения и фигуры Земли со времен Ньютона до времен Лапласа . Том. 2. Элиброн Классик. ISBN 1-4021-1717-5 . Перепечатка оригинального издания 1873 года, опубликованного Macmillan and Co.
^ Осмонд Фишер (1889). Физика земной коры . Макмиллан и Ко. р. 27.
^ Джон Генри Пойнтинг; Джозеф Джон Томсон (1907). Учебник физики . К. Гриффин. п. 22 . Теорема Клеро.
^ Досье НАСА «О фигуре равновесия Земли» , Мохаммад А. Хан (1968).
^ Джон П. Винти; Гим Дж. Дер; Нино Л. Бонавито (1998). Орбитальная и небесная механика . Прогресс в космонавтике и воздухоплавании, т. 177. Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 171. ИСБН 1-56347-256-2 .
^ Артур Гордон Вебстер (1904). Динамика частиц и твердых, упругих и жидких тел: лекции по математической физике . Б. Г. Тойбнер . п. 468 .
^ Исаак Ньютон: Принципы, Книга III, Предложение XIX, Проблема III, с. 407 в переводе Эндрю Мотта.
^ См . « Начала» на сайте Эндрю Мотта.
^ Таблица 1.1 Числовые стандарты IERS (2003 г.) )
^ Аверил Б. Чатфилд (1997). Основы высокоточной инерциальной навигации . Том 174 «Прогресс в космонавтике и аэронавтике» . Американский институт аэронавтики и астронавтики. Глава 1, Часть VIII с. 7. ISBN 1-56347-243-0 .

[RoyalSoc-1] Théorie de lafigure de la terre, tirée des principes de l'гидростатика ( Теория формы Земли, основанная на принципах гидростатики ) Из каталога научных книг в библиотеке Королевского общества.

[Torge-2] Вольфганг Торге (2001). Геодезия: Введение (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер . стр. 10. ISBN 3-11-017072-8 .

[Routh-3] Эдвард Джон Рут (2001). Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами . Том. 2. Медиа Корпорация Адамант. п. 154. ИСБН 1-4021-7320-2 . Перепечатка оригинальной работы, опубликованной в 1908 году издательством Cambridge University Press.

[4] Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд . Лондон: Charles Griffin & Co., с. 20 .

[Lenzen1964-5] Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке» . Бюллетень 240 Национального музея США: Материалы Музея истории и технологий перепечатаны в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института . п. 307 . Проверено 28 января 2009 г.

[6] Предложения X-XXIV (Движения небесных тел и моря) , Предложения XIX и XX. Оригинальная латынь .

[7] Ньютон, Исаак. «Начала», книга III, предложение XIX, задача III .

[8] Гринбург, Джон (1995). Проблема формы Земли от Ньютона до Клеро . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 132 . ISBN 0-521-38541-5 .

[9] Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование о фигуре таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность постоянно меняется от центра к поверхности». Философские труды . JSTOR 103921 .

[Ball-10] WW Rouse Ball. Краткий отчет об истории математики (4-е издание, 1908 г.)

[Rouse2-11] Уолтер Уильям Роуз Болл (1901). Краткий отчет по истории математики (3-е изд.). Макмиллан. п. 384 . Краткий отчет об истории математики» (4-е издание, 1908 г.) У. В. Роуза Болла.

[Stokes-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с Стоукс, Г.Г. (1849). «О притяжениях и теореме Клеро» . Кембриджский и Дублинский математический журнал . 4 : 194–219.

[13] Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики (4-е изд.). Лондон: Charles Griffin & Co., стр. 22–23 .

[Todhunter-14] Исаак Тодхантер (январь 1999 г.). История математических теорий притяжения и фигуры Земли со времен Ньютона до времен Лапласа . Том. 2. Элиброн Классик. ISBN 1-4021-1717-5 . Перепечатка оригинального издания 1873 года, опубликованного Macmillan and Co.

[Fisher-15] Осмонд Фишер (1889). Физика земной коры . Макмиллан и Ко. р. 27.

[Poynting-16] Джон Генри Пойнтинг; Джозеф Джон Томсон (1907). Учебник физики . К. Гриффин. п. 22 . Теорема Клеро.

[Khan-17] Досье НАСА «О фигуре равновесия Земли» , Мохаммад А. Хан (1968).

[Vinti-18] Джон П. Винти; Гим Дж. Дер; Нино Л. Бонавито (1998). Орбитальная и небесная механика . Прогресс в космонавтике и воздухоплавании, т. 177. Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 171. ИСБН 1-56347-256-2 .

[Webster-19] Артур Гордон Вебстер (1904). Динамика частиц и твердых, упругих и жидких тел: лекции по математической физике . Б. Г. Тойбнер . п. 468 .

[Newton-20] Исаак Ньютон: Принципы, Книга III, Предложение XIX, Проблема III, с. 407 в переводе Эндрю Мотта.

[Principia-21] См . « Начала» на сайте Эндрю Мотта.

[22] Таблица 1.1 Числовые стандарты IERS (2003 г.) )

[Chatfield-23] Аверил Б. Чатфилд (1997). Основы высокоточной инерциальной навигации . Том 174 «Прогресс в космонавтике и аэронавтике» . Американский институт аэронавтики и астронавтики. Глава 1, Часть VIII с. 7. ISBN 1-56347-243-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]