Теоретическая гравитация

В геодезии и геофизике представляющей теоретическая гравитация или нормальная гравитация представляет собой аппроксимацию истинной гравитации на поверхности Земли с помощью математической модели, Землю. Наиболее распространенной моделью сглаженной Земли является вращающийся земной эллипсоид вращения (т. е. сфероид ).

Представления гравитации можно использовать при изучении и анализе других тел, например астероидов . Широко используемые представления гравитационного поля в контексте геодезии включают сферические гармоники, модели маскона и представления многогранной гравитации. ^[1]

Принципы

Тип гравитационной модели, используемой для Земли, зависит от степени точности, необходимой для решения конкретной задачи. Для многих задач, таких как моделирование самолетов, может быть достаточно считать гравитацию постоянной, определяемой как: ^[2]

g=g_{45}=

9,80665 м/с ² (32,1740 футов/с ²)

на основе данных Всемирной геодезической системы 1984 года ( WGS-84 ), где $g$ понимается как направление «вниз» в локальной системе отсчета.

Если желательно смоделировать вес объекта на Земле как функцию широты , можно использовать следующее: ^[2]^: 41

g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)

где

$g_{\mathrm {poles} }$ = 9,832 м/с ² (32,26 футов/с ²)
$g_{45}$ = 9,806 м/с ² (32,17 футов/с ²)
$g_{\mathrm {equator} }$ = 9,780 м/с ² (32,09 футов/с ²)
$\varphi$ = широта, от -90° до +90°

Ни один из них не учитывает изменения силы тяжести при изменении высоты, но модель с функцией косинуса не учитывает центробежный рельеф, создаваемый вращением Земли. На вращающейся сфере сумма силы гравитационного поля и центробежной силы дает угловое отклонение примерно

{\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}

(в радианах) между направлением гравитационного поля и направлением, измеряемым отвесом; отвесная линия, кажется, указывает на юг в северном полушарии и на север в южном полушарии. $\Omega \approx 7.29\times 10^{-5}$ рад/с — суточная угловая скорость земной оси, а $R\approx 6370$ км - радиус опорной сферы, и $R\sin \varphi$ расстояние точки земной коры до оси Земли. ^[3]

Что касается самого эффекта притяжения массы, гравитационное ускорение на экваторе примерно на 0,18% меньше, чем на полюсах, из-за того, что оно расположено дальше от центра масс. Когда включен компонент вращения (как указано выше), сила тяжести на экваторе примерно на 0,53% меньше, чем на полюсах, при этом вращение не влияет на гравитацию на полюсах. Таким образом, вращательный компонент изменения из-за широты (0,35%) примерно в два раза более значителен, чем изменение притяжения массы из-за широты (0,18%), но оба уменьшают силу гравитации на экваторе по сравнению с гравитацией на полюсах.

Обратите внимание, что орбиты спутников не связаны с вращением Земли, поэтому орбитальный период не обязательно составляет один день, но также ошибки могут накапливаться на нескольких орбитах, поэтому точность важна. Для таких задач вращение Земли было бы несущественным, если бы не были смоделированы изменения по долготе. Кроме того, важным становится изменение силы тяжести с высотой, особенно для высокоэллиптических орбит.

Модель гравитации Земли 1996 года ( EGM96 ) содержит 130 676 коэффициентов, уточняющих модель гравитационного поля Земли. ^[2]^: 40 Самый значительный корректирующий член примерно на два порядка более значим, чем следующий по величине член. ^[2]^: 40 Этот коэффициент называется $J_{2}$ термин и объясняет уплощение полюсов или сжатие Земли. (Форма, вытянутая по оси симметрии, например, американский футбольный мяч, будет называться вытянутой .) Можно записать функцию гравитационного потенциала для изменения потенциальной энергии единицы массы, перенесенной из бесконечности в близость к Земле. Взятие частных производных этой функции по отношению к системе координат позволит затем определить направленные компоненты вектора гравитационного ускорения как функцию местоположения. Компонент, обусловленный вращением Земли, затем может быть включен, если это необходимо, на основе сидерического дня относительно звезд (≈366,24 дня в году), а не солнечного дня (≈365,24 дня в году). Этот компонент перпендикулярен оси вращения, а не поверхности Земли.

Аналогичную модель с учетом геометрии и гравитационного поля Марса можно найти в публикации NASA SP-8010. ^[4]

Барицентрическое гравитационное ускорение в точке пространства определяется выражением:

\mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}}

где:

M – масса притягивающего объекта, $\scriptstyle \mathbf {\hat {r}}$ — единичный вектор от центра масс притягивающего объекта до центра масс ускоряемого объекта, r — расстояние между двумя объектами, а G — гравитационная постоянная .

Когда этот расчет выполняется для объектов на поверхности Земли или самолетов, которые вращаются вместе с Землей, необходимо учитывать тот факт, что Земля вращается, и из этого необходимо вычесть центробежное ускорение. Например, приведенное выше уравнение дает ускорение 9,820 м/с. ², когда GM = 3,986 × 10 ¹⁴ м ³/с ², и R = 6,371 × 10 ⁶ м. Центростремительный радиус равен r = R cos( φ ) , а центростремительная единица времени составляет примерно ( день / 2 $π$ ), уменьшает это значение для r = 5 × 10 ⁶ метров, до 9,79379 м/с ², что ближе к наблюдаемому значению. ^{[ нужна ссылка ]}

Основные формулы

Различные, последовательно более совершенные, формулы для вычисления теоретической гравитации называются Международной формулой гравитации , первая из которых была предложена в 1930 году Международной ассоциацией геодезии . Общий вид этой формулы следующий:

g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),

где $g$ ( φ ) — сила тяжести как функция географической широты φ места, силу тяжести которого необходимо определить, $g_{e}$ обозначает силу тяжести на экваторе (определенную путем измерения), а коэффициенты $A$ и $B$ являются параметрами, которые необходимо выбрать для обеспечения хорошего глобального соответствия истинной гравитации. ^[5]

Используя значения эталонной системы GRS80 , обычно используемая конкретная реализация приведенной выше формулы определяется следующим образом:

g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.

^[5]

Используя соответствующую формулу двойного угла в сочетании с тождеством Пифагора , это можно переписать в эквивалентных формах

{\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!

Вплоть до 1960-х годов формулы, основанные на эллипсоиде Хейфорда (1924 г.) и известного немецкого геодезиста Гельмерта (1906 г.). часто использовались ^{[ нужна ссылка ]} Разница между большой полуосью (экваториальным радиусом) эллипсоида Хейфорда и современного WGS84 эллипсоида составляет 251 м ; для эллипсоида Гельмерта она составляет всего 63 м .

Подобное уравнение

Более поздней теоретической формулой гравитации как функции широты является Международная формула гравитации 1980 (IGF80), также основанная на эллипсоиде GRS80, но теперь использующая уравнение Сомильяны (после Карло Сомильяна (1860–1955) ^[6]):

g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!

где, ^[7]

$k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}$ (константа формулы);
$g_{e},g_{p}$ – определенная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
$a,b$ – экваториальная и полярная полуоси соответственно;
$e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}$ сфероида – квадрат эксцентриситета ;

предоставление,

g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.

^[5]

Более поздняя модификация, основанная на эллипсоиде WGS84 , представляет собой формулу эллипсоидальной гравитации WGS ( Всемирной геодезической системы ) 1984 года: ^[7]

g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.

(где $g_{p}$ = 9,8321849378 мс ⁻²)

Разница с IGF80 при использовании в геофизических целях незначительна. ^[5] но может иметь значение для других целей.

Дополнительная информация

Для нормальной гравитации $\gamma _{0}$ эллипсоида уровня моря, т. е. высоты h = 0, применяется формула Сомильяны (1929):

\gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}

с

$\gamma _{a}$ = Нормальная гравитация на экваторе
$\gamma _{b}$ = Нормальная гравитация на полюсах
a = большая полуось (радиус экватора)
b = малая полуось (радиус полюса)
$\varphi$ = широта

Из-за числовых проблем формула упрощается до следующего:

\gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}

с

$p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1$
$e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad$ ( e – эксцентриситет )

Для геодезической базовой системы 1980 (GRS 80) параметры установлены на следующие значения:

a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m}

\gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}}

$\Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}$

Формула аппроксимации из разложения в ряд

Формула Сомильяны была аппроксимирована посредством различных разложений в ряд по следующей схеме:

\gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )

Международная формула гравитации 1930 г.

Формула нормальной гравитации Джино Кассиниса была определена в 1930 году Международным союзом геодезии и геофизики как международная формула гравитации наряду с эллипсоидом Хейфорда . Параметры:

\gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}

С течением времени значения были снова улучшены благодаря новым знаниям и более точным методам измерения.

Гарольд Джеффрис улучшил показатели в 1948 году:

\gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}

Международная формула гравитации 1967 г.

Формула нормальной гравитации Геодезической базовой системы 1967 года определяется значениями:

\gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}

Международная формула гравитации 1980 г.

Из параметров GRS 80 следует классическое расширение серии:

\gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}

Точность около ±10. ⁻⁶ РС ².

С GRS 80 также представлено следующее расширение серии:

\gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )

Таким образом, параметры следующие:

в ₁ = 5,279 0414·10 ⁻³
с ₂ = 2,327 18·10 ⁻⁵
с ₃ = 1,262·10 ⁻⁷
в ₄ = 7·10 ⁻¹⁰

Точность составляет около ±10. ⁻⁹ РС ² точный. Если точность не требуется, приведенные ниже члены можно опустить. Но рекомендуется использовать именно эту доработанную формулу.

Зависимость от высоты

Кассинис определил зависимость от высоты как:

g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h

Средняя плотность породы ρ больше не учитывается.

Начиная с GRS 1967, зависимость от высоты эллипсоида h равна:

{\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}

Другое выражение:

g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})

с параметрами, полученными из GRS80:

$k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}}$
$k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}}$
$k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}}$

где $m$ с $\omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}$ : ^[8]

m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}

Эта регулировка вполне подходит для обычного роста в авиации ; но на высотах до космического пространства (более 100 километров) это вне досягаемости .

Формула ВЕЛМЕК

Во всех немецких бюро стандартизации ускорение свободного падения g рассчитывается относительно средней широты φ и средней высоты над уровнем моря h с помощью WELMEC –Formel:

g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h

Формула основана на Международной формуле гравитации 1967 года.

Масштаб ускорения свободного падения в определенном месте должен быть определен путем измерения с точностью до нескольких механических величин. Весы , масса которых измеряется в зависимости от веса, зависят от ускорения свободного падения, поэтому для использования их необходимо подготовить с разными константами в разных местах использования. Благодаря концепции так называемых гравитационных зон, которые разделены с помощью нормальной силы тяжести, производитель может откалибровать весы перед использованием. ^[9]

Пример

Ускорение свободного падения в Швайнфурте :

Данные:

Широта: 50° 3′ 24″ = 50,0567°.
Высота над уровнем моря: 229,7 м.
Плотность каменных плит: ок. 2,6 г/см ³
Измеренное ускорение свободного падения: g = 9,8100 ± 0,0001 м/с. ²

Ускорение свободного падения, рассчитанное по формулам нормальной силы тяжести:

Кассини: g = 9,81038 м/с. ²
Джеффрис: g = 9,81027 м/с. ²
ВЕЛМЕК: g = 9,81004 м/с ²

См. также

Гравитационная аномалия
Справочный эллипсоид
EGM96 (Гравитационная модель Земли, 1996 г.)
Стандартная гравитация : 9,806 65 м/с. ²

Ссылки

^ Иззо, Дарио; Гомес, Пабло (28 декабря 2022 г.). «Геодезия малых тел неправильной формы с помощью полей нейронной плотности» . Инженерия связи . 1 (1): 48. arXiv : 2105.13031 . Бибкод : 2022CmEng...1...48I . дои : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN 2731-3395 . ПМК 10956048 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Брайан Л. Стивенс; Фрэнк Л. Льюис (2003). Управление самолетом и моделирование, 2-е изд . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-37145-8 .
^ де Икаса-Эррера, М.; Кастано, В.М. (2011). «Обобщенный лагранжиан параметрического маятника Фуко с диссипативными силами». Акта Мех . 218 (1–2): 45–64. дои : 10.1007/s00707-010-0392-8 .
^ Ричард Б. Нолл; Майкл Б. МакЭлрой (1974), «Модели атмосферы Марса [1974]», Критерии проектирования космического корабля (окружающая среда) , Гринбелт, Мэриленд: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА, Бибкод : 1974svdc.rept...... , SP -8010.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Уильям Дж. Хинце; Ральф Р.Б. фон Фрезе ; Афиф Х. Саад (2013). Гравитационные и магнитные исследования: принципы, практика и применение . Издательство Кембриджского университета . п. 130. ИСБН 978-1-107-32819-8 .
↑ Биография Сомильянас. Архивировано 7 декабря 2010 г. в Wayback Machine (итал.).
^ Jump up to: ^а ^б Всемирная геодезическая система Министерства обороны, 1984 г. - Ее определение и взаимосвязь с местными геодезическими системами , NIMA TR8350.2, 3-е изд., Табл. 3.4, уравнение. 4-1
^ Сюн Ли; Ханс-Юрген Гетцез. «Учебное пособие: эллипсоид, геоид, гравитация, геодезия и геофизика» (PDF) . Проверено 29 марта 2024 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) 988кБ
^ Роман Шварц, Андреас Линдау. «Концепция европейской гравитационной зоны согласно WELMEC» (PDF) (на немецком языке) . Проверено 26 февраля 2011 г. 700КБ

Дальнейшее чтение

Карл Ледерштегер : Астрономическая и физическая геодезия . Справочник по геодезии, том 5, 10-е издание. Мецлер, Штутгарт, 1969 г.
Б. Хофманн-Велленхоф, Гельмут Мориц : Физическая геодезия , ISBN 3-211-23584-1 , Springer-Verlag, Вена, 2006 г.
Вольфганг Торге : Геодезия . 2-е издание. Вальтер де Грюйтер, Берлин и др. ISBN 3-11-017545-2
Вольфганг Торге : Геодезия . Вальтер де Грюйтер, Берлин и др. ISBN 3-11-004394-7

Внешние ссылки

Эта геодезии, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Иззо, Дарио; Гомес, Пабло (28 декабря 2022 г.). «Геодезия малых тел неправильной формы с помощью полей нейронной плотности» . Инженерия связи . 1 (1): 48. arXiv : 2105.13031 . Бибкод : 2022CmEng...1...48I . дои : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN 2731-3395 . ПМК 10956048 .

[Stevens&Lewis-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Брайан Л. Стивенс; Фрэнк Л. Льюис (2003). Управление самолетом и моделирование, 2-е изд . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-37145-8 .

[3] де Икаса-Эррера, М.; Кастано, В.М. (2011). «Обобщенный лагранжиан параметрического маятника Фуко с диссипативными силами». Акта Мех . 218 (1–2): 45–64. дои : 10.1007/s00707-010-0392-8 .

[SP8010-4] Ричард Б. Нолл; Майкл Б. МакЭлрой (1974), «Модели атмосферы Марса [1974]», Критерии проектирования космического корабля (окружающая среда) , Гринбелт, Мэриленд: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА, Бибкод : 1974svdc.rept...... , SP -8010.

[GaME-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Уильям Дж. Хинце; Ральф Р.Б. фон Фрезе ; Афиф Х. Саад (2013). Гравитационные и магнитные исследования: принципы, практика и применение . Издательство Кембриджского университета . п. 130. ИСБН 978-1-107-32819-8 .

[6] Биография Сомильянас. Архивировано 7 декабря 2010 г. в Wayback Machine (итал.).

[DoD-WGS84-7] Jump up to: ^а ^б Всемирная геодезическая система Министерства обороны, 1984 г. - Ее определение и взаимосвязь с местными геодезическими системами , NIMA TR8350.2, 3-е изд., Табл. 3.4, уравнение. 4-1

[8] Сюн Ли; Ханс-Юрген Гетцез. «Учебное пособие: эллипсоид, геоид, гравитация, геодезия и геофизика» (PDF) . Проверено 29 марта 2024 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) 988кБ

[9] Роман Шварц, Андреас Линдау. «Концепция европейской гравитационной зоны согласно WELMEC» (PDF) (на немецком языке) . Проверено 26 февраля 2011 г. 700КБ

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]