Расширение серии

Анимация, показывающая функции косинуса аппроксимацию путем последовательных усечений ее ряда Маклорена .

В математике — разложение в ряд это метод, который выражает функцию как бесконечную сумму или ряд более простых функций. Это метод вычисления функции , которую невозможно выразить с помощью элементарных операторов (сложения, вычитания, умножения и деления).

Получающийся в результате так называемый ряд часто может быть ограничен конечным числом членов, что дает аппроксимацию функции. Чем меньше членов последовательности используется, тем проще будет это приближение. Часто результирующая неточность (т. е. частичная сумма пропущенных членов) может быть описана уравнением, включающим обозначение Big O (см. также асимптотическое разложение ). Разложение в ряд на открытом интервале также будет приближением для неаналитических функций .

Виды расширения серии

Существует несколько видов расширений серий, перечисленных ниже.

Серия Тейлора

Ряд Тейлора — это степенной ряд, функции основанный на производных в одной точке. Точнее, если функция $f:U\to \mathbb {R}$ бесконечно дифференцируема вокруг точки $x_{0}$, то ряд Тейлора функции f вокруг этой точки определяется выражением

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

согласно конвенции $0^{0}:=1$. Ряд Маклорена f — это ряд Тейлора о $x_{0}=0$.

Лоран серии

Ряд Лорана является обобщением ряда Тейлора, допускающим члены с отрицательными показателями; оно принимает форму ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$ и сходится в кольце . В частности, ряд Лорана можно использовать для изучения поведения комплексной функции вблизи особенности, рассматривая разложение в ряд по кольцу с центром в особенности.

Серия Дирихле

Сходимость и расходимость частичных сумм ряда Дирихле, определяющего дзета-функцию Римана . Здесь желтая линия представляет первые пятьдесят последовательных частичных сумм. ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}n^{-s},}$ пурпурная пунктирная линия представляет ${\tfrac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s),$ и зеленая точка представляет $\zeta (s)$ поскольку s варьируется от -0,5 до 1,5.

Общий — это ряд Дирихле ряд вида ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$ Одним из важных частных случаев является обычный ряд Дирихле. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$ Используется в теории чисел .

ряд Фурье

Ряд Фурье представляет собой разложение периодических функций как сумму многих функций синуса и косинуса . Точнее, ряд Фурье функции $f(t)$ периода $2L$ задается выражением $$a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]$$где коэффициенты заданы формулами $${\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt,\\b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.\end{aligned}}$$

Другая серия

• в акустике Например, основной тон и обертоны вместе образуют пример ряда Фурье.

• Ньютоновский ряд

• Полиномы Лежандра : используются в физике для описания произвольного электрического поля как суперпозиции дипольного . поля, квадрупольного поля, октупольного поля и т. д

• Полиномы Цернике : используются в оптике для расчета аберраций оптических систем. Каждый термин в этой серии описывает определенный тип аберрации.

Относительная ошибка в усеченном ряду Стирлинга в зависимости от n для членов от 0 до 5. Изломы кривых соответствуют точкам совпадения усеченного ряда с $\Gamma (n+1).$

• « Стирлинг» Серия $${\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}$$является приближением логарифмической гамма-функции .

Примеры

Ниже приводится Тейлора ряд $e^{x}$: $$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...$$

Ряд Дирихле дзета-функции Римана равен $$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots$$