Серия (математика)

Эта статья о бесконечных суммах. Чтобы узнать о конечных суммах, см. «Суммирование» .

В математике ряд — это, грубо говоря, операция прибавления одной за другой бесконечно многих величин к заданной исходной величине. Изучение рядов является важной частью исчисления и его обобщения, математического анализа . Ряды используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторике ) посредством производящих функций . Помимо повсеместного распространения в математике, бесконечные ряды также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика , информатика , статистика и финансы .

Долгое время идея о том, что такое потенциально бесконечное суммирование может дать конечный результат, считалась парадоксальной . Этот парадокс был разрешен с помощью концепции предела в 17 веке. Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе иллюстрирует это противоречивое свойство бесконечных сумм: Ахиллес бежит за черепахой, но когда он достигает положения черепахи в начале забега, черепаха достигает второй позиции; когда он достигает этой второй позиции, черепаха оказывается в третьей позиции и так далее. Зенон пришел к выводу, что Ахиллес никогда не сможет дотянуться до черепахи и, следовательно, этого движения не существует. Зенон разделил расу на бесконечное количество подрас, каждая из которых требует конечного количества времени, так что общее время, за которое Ахиллес поймает черепаху, определяется рядом. Разрешение парадокса состоит в том, что, хотя ряд имеет бесконечное число членов, он имеет конечную сумму, что дает Ахиллесу время, необходимое для того, чтобы догнать черепаху.

В современной терминологии любая (упорядоченная) бесконечная последовательность $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$терминов или чего-либо еще , (то есть чисел, функций что можно сложить) определяет серию, которая представляет собой операцию добавления a i _одного за другим. Чтобы подчеркнуть, что существует бесконечное число членов, ряд можно назвать бесконечным рядом . Такой ряд представляется (или обозначается) выражением вида

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,$$

или, используя знак суммы ,

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$$

Бесконечная последовательность сложений, подразумеваемая рядом, не может быть эффективно продолжена (по крайней мере, за конечное время). Однако если набор , которому принадлежат члены и их конечные суммы, имеет понятие предела , иногда можно присвоить значение ряду, называемому суммой ряда. Это значение является пределом при n стремлении к бесконечности (если предел существует) конечных сумм n первых членов ряда, которые называются n- ми частичными суммами ряда. То есть,

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$$

Когда этот предел существует, говорят, что ряд сходится или суммируется , или что последовательность $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$является суммируемым . В этом случае предел называется суммой ряда . В противном случае говорят, что ряд расходится .

Обозначения ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$обозначает как ряд (то есть неявный процесс сложения членов один за другим в течение неопределенного времени), так и, если ряд сходится, сумму ряда — результат этого процесса. Это обобщение аналогичного соглашения об обозначении через $a+b$ как сложение (процесс сложения), так и его результат сумма a — и b .

Обычно члены ряда берутся из кольца , часто из поля $\mathbb {R}$ действительных чисел или поля $\mathbb {C}$комплексных чисел . В этом случае множество всех рядов само по себе является кольцом (и даже ассоциативной алгеброй ), в котором сложение состоит из почленного сложения ряда, а умножение — произведение Коши .

Основные свойства

Бесконечная серия или просто серия — это бесконечная сумма, представленная бесконечным выражением вида

$$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,$$

где $(a_{n})$— это любая упорядоченная последовательность термов добавить , таких как числа , функции или что-либо еще, что можно ( абелева группа ). Это выражение, полученное из списка терминов $a_{0},a_{1},\dots$положив их рядом и соединив символом «+». Ряд также может быть представлен с использованием обозначения суммирования , например:

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$$

Если абелева группа термов A имеет понятие предела (например, если это метрическое пространство ), то некоторый ряд, сходящийся ряд , можно интерпретировать как имеющий значение в A , называемое суммой ряда . Сюда входят распространенные случаи из исчисления , в которых группа представляет собой поле действительных чисел или поле комплексных чисел . Учитывая серию ${\textstyle s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$, его k-я частичная сумма равна

$$s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.$$

По определению, сериал ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ сходится к пределу L (или просто суммируется с L ), если последовательность ее частичных сумм имеет L. предел В этом случае обычно пишут

$$L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$$

Ряд называется сходящимся, если он сходится к некоторому пределу, и расходящимся, если этого не происходит. Значение этого предела, если оно существует, является тогда значением ряда.

Сходящийся ряд

Иллюстрация трех геометрических рядов с частичными суммами от 1 до 6 членов. Пунктирная линия представляет предел.

Ряд Σan если _{называется} сходящимся последовательность или сходящимся, ( sk ) _{частичных} конечный сумм имеет предел . Если предел sk _ряд бесконечен или не существует, говорят, что расходится . Когда существует предел частичных сумм, он называется значением (или суммой) ряда

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}.$$

Самый простой способ сходимости бесконечного ряда — это если все n _равны нулю при n достаточно большом . Такой ряд можно отождествить с конечной суммой, поэтому он бесконечен только в тривиальном смысле.

Выявление свойств сходящихся рядов, даже если бесконечное число членов ненулевых, составляет суть изучения рядов. Рассмотрим пример

$$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots .$$

Можно «визуализировать» ее сходимость на прямой с действительными числами : мы можем представить линию длиной 2 с последовательными сегментами , отмеченными длинами 1, 1/2, 1/4 и т. д. Всегда есть место, чтобы отметить следующий сегмент, потому что количество оставшихся линий всегда такое же, как и у последнего отмеченного сегмента: когда мы отметили 1/2, у нас все еще остается немаркированный кусок длиной 1/2, поэтому мы определенно можем отметить следующую 1/4. . Этот аргумент не доказывает, что сумма равна 2 (хотя это так), но доказывает, что она не превосходит 2. Другими словами, ряд имеет верхнюю границу. Учитывая, что ряд сходится, для доказательства того, что он равен 2, требуется лишь элементарная алгебра . Если ряд обозначить S , то видно, что

$$S/2={\frac {1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .$$

Поэтому,

$$S-S/2=1\Rightarrow S=2.$$

Эту идиому можно распространить на другие, эквивалентные понятия серий. Например, повторяющаяся десятичная дробь , как в

$$x=0.111\dots ,$$

кодирует серию

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}.$$

Поскольку эти ряды всегда сходятся к действительным числам (в силу так называемого свойства полноты действительных чисел), говорить о рядах таким образом — то же самое, что говорить о числах, которые они обозначают. В частности, десятичное расширение 0,111... можно отождествить с 1/9. Это приводит к аргументу, что 9 × 0,111... = 0,999... = 1 , который основан только на том факте, что предельные законы для рядов сохраняют арифметические операции ; подробнее об этом аргументе см. 0,999... .

Примеры числовых рядов

Другие примеры см. в разделах «Список математических рядов» и «Суммы обратных величин § Бесконечно много членов» .

• Геометрическая серия — это такая, в которой каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число (в данном контексте называемое общим отношением). Например:
  $$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.$$

В общем, геометрический ряд

$$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$$

сходится тогда и только тогда, когда ${\textstyle |z|<1}$, и в этом случае он сходится к ${\textstyle {1 \over 1-z}}$.

• Гармонический ряд – это ряд
  $$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$$

Гармонический ряд расходится .

• Перемежающийся ряд – ряд, в котором термины чередуют знаки. Примеры:
  $$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad$$

( чередующийся гармонический ряд ) и

$$-1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}$$

• Телескопическая серия
  $$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$$

сходится, если последовательность bn _{сходится} к пределу L — при стремлении n к бесконечности. Тогда значение ряда равно b ₁ − L .

• Арифметико -геометрический ряд — это обобщение геометрической прогрессии, коэффициенты которого при общем отношении равны членам арифметической последовательности . Пример:
  $$3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.$$
• P - серия
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$$

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1, что можно показать с помощью интегрального критерия, описанного ниже в тестах на сходимость . Как функция от p , сумма этого ряда является дзета-функцией Римана .

• Гипергеометрический ряд :
  $$_{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}$$

и их обобщения (такие как основные гипергеометрические ряды и эллиптические гипергеометрические ряды ) часто появляются в интегрируемых системах и математической физике .

• Существуют некоторые элементарные ряды, сходимость которых еще не известна/доказана. Например, неизвестно, будет ли сериал «Флинт-Хиллз»
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}$$
  сходится или нет. Сближение зависит от того, насколько хорошо $\pi$можно аппроксимировать рациональными числами (что пока неизвестно). Более конкретно, значения n с большим числовым вкладом в сумму являются числителями подходящих дробей цепной дроби. $\pi$, последовательность, начинающаяся с 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (последовательность A046947 в OEIS ). Это целые числа n , близкие к $m\pi$ для некоторого целого числа m , так что $\sin n$ близко к $\sin m\pi =0$ и его обратная величина велика.

Пи

Основные статьи: Базельская проблема и формула Лейбница для π

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi$$

Натуральный логарифм 2

Основная статья: Натуральный логарифм представлений серии 2 §

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i\left(4i^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2$$

Натуральный логарифм по основанию e

Основная статья: е (математическая константа)

$$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}$$

$$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e$$

Исчисление и частичное суммирование как операции над последовательностями

Частичное суммирование принимает на вход последовательность ( an ₍ ) и дает на выходе другую последовательность SN ₎ . Таким образом, это унарная операция над последовательностями. Кроме того, эта функция является линейной и, следовательно, является линейным оператором в векторном пространстве последовательностей, обозначаемым Σ. Обратный оператор — это конечно-разностный оператор, обозначаемый Δ. Они ведут себя как дискретные аналоги интегрирования и дифференцирования , только для рядов (функций натурального числа), а не функций действительной переменной. Например, последовательность (1, 1, 1, ...) имеет ряды (1, 2, 3, 4, ...) в качестве частичного суммирования, что аналогично тому факту, что ${\textstyle \int _{0}^{x}1\,dt=x.}$

В информатике это известно как префиксная сумма .

Свойства серии

Ряды классифицируются не только по тому, сходятся или расходятся они, но и по свойствам членов ап ₍ абсолютная или условная сходимость); тип сходимости ряда (поточечная, равномерная); класс члена _n (действительное ли это число, арифметическая прогрессия, тригонометрическая функция); и т. д.

Неотрицательные термины

Когда n _{является} неотрицательным действительным числом для каждого n , последовательность SN _{частичных сумм} не убывает. что ряд Σan с _{Отсюда следует ,} неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность сумм SN _{частичных} ограничена.

Например, сериал

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$$

сходится, поскольку неравенство

$${\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2,$$

а аргумент телескопической суммы подразумевает, что частичные суммы ограничены цифрой 2. Точное значение исходного ряда - это Базельская проблема .

Группировка

При группировке ряда переупорядочения ряда не происходит, поэтому теорема о рядах Римана не применяется. Частичные суммы нового ряда будут являться подпоследовательностью исходного ряда, а это означает, что если исходный ряд сходится, то же самое происходит и с новым рядом. Но для расходящихся рядов это неверно, например, 1-1+1-1+..., сгруппированные каждые два элемента, создадут 0+0+0+... ряд, который является сходящимся. С другой стороны, расходимость нового ряда означает, что исходный ряд может только расходиться, что иногда полезно, как в доказательстве Орема .

Абсолютная

Основная статья: Абсолютная конвергенция

Набор

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$$

сходится абсолютно , если ряд абсолютных значений

$$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$$

сходится. Этого достаточно, чтобы гарантировать не только сходимость исходного ряда к пределу, но и то, что любое его переупорядочение сходится к тому же пределу.

Условная сходимость

Основная статья: Условная сходимость

Ряд действительных или комплексных чисел называется условно сходящимся (или полусходящимся ), если он сходится, но не абсолютно сходится. Известный пример — чередующийся ряд

$$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,$$

которое сходится (и его сумма равна $\ln 2$), но ряд, образованный путем принятия абсолютного значения каждого члена, является расходящимся гармоническим рядом . Теорема о рядах Римана гласит, что любой условно сходящийся ряд можно переупорядочить, чтобы сделать расходящийся ряд, и более того, если $a_{n}$ реальны и $S$ - любое действительное число, можно найти такое переупорядочение, чтобы переупорядоченный ряд сходился с суммой, равной $S$.

Тест Абеля — важный инструмент для работы с полусходящимися рядами. Если ряд имеет вид

$$\sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}$$

где частичные суммы $B_{n}=b_{0}+\cdots +b_{n}$ ограничены, $\lambda _{n}$ имеет ограниченную вариацию и $\lim \lambda _{n}b_{n}$ существует:

$$\sup _{N}\left|\sum _{n=0}^{N}b_{n}\right|<\infty ,\ \ \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges,}}$$

тогда сериал ${\textstyle \sum a_{n}}$является конвергентным. Это относится к поточечной сходимости многих тригонометрических рядов, как в

$$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}$$

с $0<x<2\pi$. Метод Абеля заключается в написании $b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}$, и при выполнении преобразования, подобного интегрированию по частям (называемого суммированием по частям ), связывающего данный ряд ${\textstyle \sum a_{n}}$ к абсолютно сходящемуся ряду

$$\sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.$$

Оценка ошибок усечения

Оценка ошибок усечения является важной процедурой численного анализа (особенно проверенных числовых значений и компьютерных доказательств ).

Чередование серий

Основная статья: Альтернативные серии

Когда условия испытания знакопеременной серии удовлетворяются ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$, есть точная оценка погрешности. Набор $s_{n}$ быть частичной суммой ${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ данного знакопеременного ряда $S$. Тогда справедливо следующее неравенство:

$$|S-s_{n}|\leq u_{n+1}.$$

Серия Тейлора

Основная статья: серия Тейлора

Теорема Тейлора — это утверждение, которое включает оценку члена ошибки при ряда Тейлора усечении .

Гипергеометрическая серия

Основная статья: Гипергеометрическая серия

Используя соотношение , мы можем получить оценку члена ошибки при гипергеометрического ряда . усечении

Матричная экспонента

Основная статья: Матричная экспонента

Для матричной экспоненты :

$$\exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},$$

имеет место следующая оценка ошибки (метод масштабирования и возведения в квадрат):

$$T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).$$

Тесты сходимости

Основная статья: Тесты сходимости

Существует множество тестов, с помощью которых можно определить, сходятся или расходятся отдельные ряды.

• тест n-го термина : если ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$, то ряд расходится; если ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$, то тест не дает результатов.
• Сравнительный тест 1 (см. Прямой сравнительный тест ): Если ${\textstyle \sum b_{n}}$ — абсолютно сходящийся ряд такой, что $\left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert$ на какое-то число $C$ и для достаточно больших $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$сходится абсолютно также. Если ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ расходится, и $\left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert$ для всех достаточно больших $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$ также не может сходиться абсолютно (хотя условно сходящимся все же может быть, например, если $a_{n}$ чередуются по знаку).
• Сравнительный тест 2 (см. Сравнительный тест с пределами ): Если ${\textstyle \sum b_{n}}$ — абсолютно сходящийся ряд такой, что $\left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert$ для достаточно большого $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$сходится абсолютно также. Если ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ расходится, и $\left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert$ для всех достаточно больших $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$ также не может сходиться абсолютно (хотя условно сходящимся все же может быть, например, если $a_{n}$ чередуются по знаку).
• Проверка соотношения : если существует константа $C<1$ такой, что $\left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C$ для всех достаточно больших $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$сходится абсолютно. Когда соотношение меньше $1$, но не менее чем на константу менее $1$, сходимость возможна, но этот тест ее не устанавливает.
• Корневой тест : существует ли константа $C<1$ такой, что $\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac {1}{n}}\leq C$ для всех достаточно больших $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$ сходится абсолютно.
• Интегральный тест : если $f(x)$ – положительная монотонно убывающая функция, определенная на отрезке $[1,\infty )$ с $f(n)=a_{n}$ для всех $n$, затем ${\textstyle \sum a_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда интеграл ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$ конечно.
• Конденсационный тест Коши : Если $a_{n}$ неотрицательна и не возрастает, то два ряда ${\textstyle \sum a_{n}}$ и ${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$ имеют одну и ту же природу: оба сходятся или оба расходятся.
• Тест чередующихся серий : Серия формы ${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ (с $a_{n}>0$) называется переменным . Такой ряд сходится, если последовательность $a_{n}$ и монотонно убывает сходится к $0$. Обратное, вообще говоря, неверно.
• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье есть тест Дини .

Серия функций

Основная статья: Функциональный ряд

Ряд вещественных или комплексных функций

$$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$$

сходится поточечно на множестве E , если ряд сходится для каждого x из E как обычный ряд действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, частичные суммы

$$s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)$$

сходятся к ƒ ( x ) при N → ∞ для каждого x ∈ E .

Более сильное понятие сходимости ряда функций — это равномерная сходимость . Ряд сходится равномерно, если он сходится поточечно к функции ƒ ( x ), а ошибка аппроксимации предела N-й частичной суммой

$$|s_{N}(x)-f(x)|$$

можно сделать минимальным независимо от x выбрав достаточно большое N. ,

Для ряда желательна равномерная сходимость, поскольку в этом случае многие свойства членов ряда сохраняются в пределе. Например, если ряд непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция также непрерывна. Аналогично, если ƒ _n интегрируемы на замкнутом и ограниченном интервале I и сходятся равномерно, то ряд также интегрируем на I и может быть проинтегрирован почленно. Тесты на равномерную сходимость включают М-критерий Вейерштрасса , тест равномерной сходимости Абеля , тест Дини и критерий Коши .

Могут быть определены и более сложные типы сходимости ряда функций. Например, в теории меры ряд функций сходится почти всюду, если он сходится поточечно, за исключением определенного множества нулевой меры . Другие способы сходимости зависят от другой структуры метрического пространства в пространстве рассматриваемых функций. Например, ряд функций сходится в среднем на множестве E к предельной функции ƒ при условии, что

$$\int _{E}\left|s_{N}(x)-f(x)\right|^{2}\,dx\to 0$$

при N → ∞.

Серия Power

Основная статья: Серия Power

Степенной ряд – это ряд вида

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.$$

в Ряд Тейлора точке c функции — это степенной ряд, который во многих случаях сходится к функции в окрестности точки c . Например, сериал

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$$

представляет собой ряд Тейлора $e^{x}$ в начале координат и сходится к нему для каждого x .

Если он не сходится только в точке x = c , такой ряд сходится на некотором открытом круге сходимости с центром в точке c на комплексной плоскости, а также может сходиться в некоторых точках границы диска. Радиус этого диска известен как радиус сходимости определен из асимптотики коэффициентов n _{и в принципе может быть} . Сходимость равномерна на замкнутых и ограниченных (т. е. компактных ) подмножествах внутренности круга сходимости, а именно, она равномерно сходится на компактах .

Исторически такие математики, как Леонард Эйлер, свободно оперировали бесконечными рядами, даже если они не сходились. Когда в девятнадцатом веке исчисление было поставлено на прочную и правильную основу, всегда требовались строгие доказательства сходимости рядов.

степенной

Основная статья: Формальный степенной ряд

Хотя во многих случаях использования степенных рядов используются их суммы, также можно рассматривать степенные ряды как формальные суммы , что означает, что на самом деле не выполняются никакие операции сложения, а символ «+» является абстрактным символом соединения, который не обязательно интерпретируется как соответствующий сложению. В этом случае интерес представляет сама последовательность коэффициентов, а не сходимость ряда. Формальные степенные ряды используются в комбинаторике для описания и изучения последовательностей , с которыми иначе трудно справиться, например, методом производящих функций . Ряд Гильберта –Пуанкаре — формальный степенной ряд, используемый для изучения градуированных алгебр .

Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если термины поддерживают соответствующую структуру, тогда можно определить такие операции, как сложение , умножение , производная , первообразная для степенного ряда «формально», рассматривая символ «+» как если бы он соответствовало дополнению. В наиболее распространенном случае члены происходят из коммутативного кольца , так что формальный степенной ряд можно складывать почленно и умножать через произведение Коши . В этом случае алгебра формальных степенных рядов представляет собой алгебру моноида полную натуральных чисел над лежащим в основе термокольцом. Если базовое кольцо терминов является дифференциальной алгеброй , то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй, при этом дифференцирование выполняется почленно.

Лорановский сериал

Основная статья: серия Лорана

Ряды Лорана обобщают степенные ряды, допуская в ряд члены как с отрицательными, так и с положительными показателями. Таким образом, ряд Лорана — это любой ряд вида

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.$$

Если такой ряд сходится, то, вообще говоря, это происходит не в в кольце диске, а и, возможно, в некоторых граничных точках. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутри кольца сходимости.

Серия Дирихле

Основная статья: Серия Дирихле

Ряд Дирихле – это одна из форм

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},$$

где s — комплексное число . Например, если все n _. равны 1, то ряд Дирихле представляет собой дзета-функцию Римана

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$$

Как и дзета-функция, ряды Дирихле в целом играют важную роль в аналитической теории чисел . Обычно ряд Дирихле сходится, если действительная часть s больше числа, называемого абсциссой сходимости. Во многих случаях ряд Дирихле можно расширить до аналитической функции вне области сходимости путем аналитического продолжения . Например, ряд Дирихле для дзета-функции абсолютно сходится, когда Re( s ) > 1, но дзета-функция может быть расширена до голоморфной функции, определенной на $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ с простым шестом на 1.

Этот ряд можно непосредственно обобщить до общего ряда Дирихле .

Тригонометрический ряд

Основная статья: Тригонометрический ряд

Ряд функций, членами которого являются тригонометрические функции , называется тригонометрическим рядом :

$${\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).$$

Наиболее важным примером тригонометрического ряда является ряд Фурье функции.

История теории бесконечных рядов

Развитие бесконечных серий

Греческий математик Архимед произвел первое известное суммирование бесконечного ряда с метод, который до сих пор используется в области исчисления. Он использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда и дал удивительно точное приближение π .

Математики школы Кералы изучали бесконечные ряды c. 1350 год нашей эры .

В 17 веке Джеймс Грегори работал в новой десятичной системе над бесконечными рядами и опубликовал несколько рядов Маклорена . В 1715 году общий метод построения рядов Тейлора для всех функций, для которых они существуют, был предложен Бруком Тейлором . Леонард Эйлер в 18 веке разработал теорию гипергеометрических рядов и q-рядов .

Критерии конвергенции

Считается, что исследование справедливости бесконечных рядов началось с Гаусса в 19 веке. Эйлер уже рассматривал гипергеометрический ряд

$$1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots$$

по которому Гаусс опубликовал мемуары в 1812 году. В нем установлены более простые критерии сходимости, а также вопросы остатков и диапазона сходимости.

Коши (1821) настаивал на строгих критериях сходимости; он показал, что если два ряда сходятся, их произведение не обязательно сходится, и с него начинается открытие эффективных критериев. Термины «конвергенция» и «дивергенция» были введены задолго до этого Григорием (1668). Леонард Эйлер и Гаусс предложили различные критерии, а Колен Маклорен предвосхитил некоторые открытия Коши. Коши развил теорию степенных рядов , разложив сложную функцию в такой форме.

Абель (1826) в своих мемуарах о биномиальном ряду

$$1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots$$

исправил некоторые выводы Коши и дал вполне научное суммирование ряда комплексных значений $m$ и $x$. Он показал необходимость рассмотрения темы преемственности в вопросах конвергенции.

Методы Коши привели к выработке специальных, а не общих критериев, и то же самое можно сказать и о Раабе (1832 г.), который провел первое тщательное исследование этого предмета, и о Де Моргане (с 1842 г.), чей логарифмический критерий Дюбуа-Реймонда (1873 г.) и Прингсгейма (1889 г.) показано, что они терпят неудачу в определенном регионе; Бертрана (1842 г. ), Бонне (1843 г.), Мальмстен (1846, 1847 г., последний без интеграции); Стоукс (1847 г.), Паукер (1852 г.), Чебышев (1852 г.) и Арндт. (1853).

Общие критерии начались с Куммера (1835 г.) и были изучены Эйзенштейном (1847 г.), Вейерштрассом в его различных вклад в теорию функций, Дини (1867), Дюбуа-Реймон (1873 г.) и многие другие. Мемуары Прингсгейма (1889) представляют наиболее полную общую теорию.

конвергенция

Теорию равномерной сходимости рассматривал Коши (1821), на его ограничения указывал Абель, но он первым подверг ее критике. успешно действовали Зейдель и Стоукс (1847–48). Коши взял на себя снова проблему (1853 г.), признав критику Абеля и достигнув те же выводы, к которым уже пришел Стоукс. Томаэ использовал доктрину (1866 г.), но признание важности различия между единообразными и неоднородными было с большой задержкой. сходимости, вопреки требованиям теории функций.

Полуконвергенция

Ряд называется полусходящимся (или условно сходящимся), если он сходится, но не является абсолютно сходящимся .

Полусходящиеся ряды изучал Пуассон (1823), который также дал общий вид остальной части формулы Маклорена. Однако наиболее важное решение проблемы принадлежит Якоби (1834), который подошёл к вопросу об остатке с другой точки зрения и пришёл к другой формуле. Это выражение было также разработано и дано Мальмстеном ( 1847). Шлёмильх ( Zeitschrift , Vol.I, стр. 192, 1856) также улучшил остаток Якоби и показал связь между остатком и функцией Бернулли.

$$F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.$$

Генокки (1852) внес дальнейший вклад в эту теорию.

Среди первых писателей был Вронский , чье «loi suprême» (1815) почти не признавалось, пока Кэли (1873) не ввел его в понятие. известность.

Ряд Фурье

Ряды Фурье исследовались в результате физических соображений, в то же время, что Гаусс, Абель и Коши разрабатывали теорию бесконечности. ряд. Серия для разложения синусов и косинусов кратных дуги в степенях синуса и косинуса дуги рассматривались Якоб Бернулли (1702 г.) и его брат Иоганн Бернулли (1701 г.) и до сих пор ранее от Vieta . Эйлер и Лагранж упростили тему. как и Пуансо , Шретер , Глейшер и Куммер .

Фурье (1807) поставил перед собой другую задачу: разложить заданную функцию x через синусы или косинусы кратны x - проблема, которую он воплотил в своей «Аналитической теории» (1822). Эйлер уже дал формулы для определения коэффициентов ряда; Фурье был первым, кто утверждал и пытался доказать общее положение. теорема. Пуассон (1820–1823 гг.) также подошёл к этой проблеме с другой стороны. другая точка зрения. Однако Фурье не решил вопроса. Сходимости его рядов, вопрос о сходимости его ряда был предоставлен Коши (1826 г.). попытка и для Дирихле (1829) тщательно обработать научным способом (см. сходимость рядов Фурье ). Трактовка Дирихле ( Crelle , 1829) тригонометрических рядов была предметом критики и усовершенствования со стороны Риман (1854), Гейне, Липшиц , Шлефли и дю Буа-Реймон . Среди других выдающихся авторов теории тригонометрические ряды и ряды Фурье — Дини , Эрмита , Халфена , Краузе, Байерли и Аппель .

Обобщения

Асимптотический

Асимптотические ряды , иначе асимптотические разложения , представляют собой бесконечные ряды, частичные суммы которых становятся хорошими приближениями в пределе некоторой точки области. В общем, они не сходятся, но полезны как последовательности аппроксимаций, каждая из которых дает значение, близкое к желаемому ответу, для конечного числа членов. Разница в том, что асимптотический ряд не может дать столь точный ответ, как хотелось бы, в отличие от сходящегося ряда. Фактически, после определенного числа членов типичный асимптотический ряд достигает своего наилучшего приближения; если включено больше терминов, большинство таких рядов дадут худшие ответы.

Дивергентный сериал

Основная статья: Серия «Дивергент»

Во многих случаях желательно приписать предел ряду, который не сходится в обычном смысле. Метод суммируемости - это такое присвоение предела подмножеству множества расходящихся рядов, которое правильно расширяет классическое понятие сходимости. Методы суммирования включают суммирование Чезаро , суммирование ( C , k ), суммирование Абеля и суммирование Бореля в возрастающем порядке общности (и, следовательно, применимое ко все более расходящимся рядам).

Известны различные общие результаты, касающиеся возможных методов суммирования. Теорема Сильвермана -Теплица характеризует методы матричного суммирования , которые представляют собой методы суммирования расходящегося ряда путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Самый общий метод суммирования расходящегося ряда неконструктивен и касается банаховых пределов .

Суммирование по произвольным наборам индексов

Могут быть даны определения сумм по произвольному набору индексов. $I.$ Есть два основных отличия от обычного понятия серии: во-первых, в наборе нет определенного порядка. $I$; во-вторых, этот набор $I$может быть неисчислимым. Понятие конвергенции необходимо усилить, поскольку концепция условной сходимости зависит от порядка набора индексов.

Если $a:I\mapsto G$ это функция из набора индексов $I$ в набор $G,$ тогда «серия», связанная с $a$ есть формальная сумма элементов $a(x)\in G$ над элементами индекса $x\in I$ обозначается

$$\sum _{x\in I}a(x).$$

Когда набор индексов представляет собой натуральные числа $I=\mathbb {N} ,$ функция $a:\mathbb {N} \mapsto G$ представляет собой последовательность , обозначаемую $a(n)=a_{n}.$ Ряд, индексированный по натуральным числам, представляет собой упорядоченную формальную сумму, поэтому мы перепишем ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ как ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$чтобы подчеркнуть порядок, вызванный натуральными числами. Таким образом, мы получаем общепринятые обозначения для ряда, индексированного натуральными числами

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .$$

Семейства неотрицательных чисел

При подведении семьи $\left\{a_{i}:i\in I\right\}$ неотрицательных действительных чисел, определите

$$\sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}\right\}\in [0,+\infty ].$$

Если верхняя грань конечна, то множество $i\in I$ такой, что $a_{i}>0$является счетным. Действительно, для каждого $n\geq 1,$ мощность ​ $\left|A_{n}\right|$ из набора $A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}$ конечно, потому что

$${\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .$$

Если $I$ счетно бесконечен и обозначается как $I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}$ то определенная выше сумма удовлетворяет

$$\sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},$$

предоставил ценность $\infty$ допускается для суммы ряда.

Любую сумму по неотрицательным действительным числам можно понимать как интеграл от неотрицательной функции по считающей мере , что объясняет множество сходств между двумя конструкциями.

топологические

Позволять $a:I\to X$ быть картой, также обозначаемой $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ из некоторого непустого множества $I$ в хаусдорфову абелеву топологическую группу $X.$ Позволять $\operatorname {Finite} (I)$ быть совокупностью конечных подмножеств всех $I,$ с $\operatorname {Finite} (I)$ рассматривается как направленный набор , упорядоченный по включению $\,\subseteq \,$с объединением в качестве соединения . Семья $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ называется безусловно суммируемым, если следующий предел , который обозначается $\sum _{i\in I}a_{i}$ называется суммой и $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ существует в $X:$

$$\sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}$$

Говоря, что сумма $S:=\sum _{i\in I}a_{i}$ является пределом конечных частичных сумм, означает, что для каждой окрестности $V$ происхождения в $X,$ существует конечное подмножество $A_{0}$ из $I$ такой, что

$$S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.$$

Потому что $\operatorname {Finite} (I)$ не является полностью упорядоченным , это не предел последовательности частичных сумм, а скорее сети .

Для каждого района $W$ происхождения в $X,$ есть район поменьше $V$ такой, что $V-V\subseteq W.$ Отсюда следует, что конечные частичные суммы безусловно суммируемого семейства $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ образуют сеть Коши , т. е. для каждой окрестности $W$ происхождения в $X,$ существует конечное подмножество $A_{0}$ из $I$ такой, что

$$\sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},$$

что подразумевает, что $a_{i}\in W$ для каждого $i\in I\setminus A_{0}$ (принимая $A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}$ и $A_{2}:=A_{0}$).

Когда $X$ полноценная ​ семья $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ безусловно суммируема в $X$тогда и только тогда, когда конечные суммы удовлетворяют последнему условию сети Коши. Когда $X$ является полным и $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ безусловно суммируема в $X,$ тогда для каждого подмножества $J\subseteq I,$ соответствующее подсемейство $\left(a_{j}\right)_{j\in J},$ также безусловно суммируемо в $X.$

Когда сумма семейства неотрицательных чисел в определенном ранее расширенном смысле конечна, то она совпадает с суммой в топологической группе $X=\mathbb {R} .$

Если семья $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ безусловно суммируема, то для каждой окрестности $W$ происхождения в $X,$ существует конечное подмножество $A_{0}\subseteq I$ такой, что $a_{i}\in W$ для каждого индекса $i$ не в $A_{0}.$ Если $X$ является пространством первого счёта , то отсюда следует, что множество $i\in I$ такой, что $a_{i}\neq 0$является счетным. Это не обязательно должно быть верно в общей абелевой топологической группе (см. примеры ниже).

Безусловно сходящийся ряд

Предположим, что $I=\mathbb {N} .$ Если семья $a_{n},n\in \mathbb {N} ,$ безусловно суммируема в хаусдорфовой абелевой топологической группе $X,$ то ряд в обычном смысле сходится и имеет ту же сумму,

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.$$

По своей природе определение безусловной суммируемости нечувствительно к порядку суммирования. Когда $\sum a_{n}$ безусловно суммируем, то ряд остается сходящимся после любой перестановки $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ из набора $\mathbb {N}$ индексов с одинаковой суммой,

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$$

Обратно, если каждая перестановка ряда $\sum a_{n}$сходится, то ряд сходится безусловно. Когда $X$является полным , то безусловная сходимость также эквивалентна сходимости всех подрядов; если $X$ является банаховым пространством , это эквивалентно тому, что для любой последовательности знаков $\varepsilon _{n}=\pm 1$, сериал

$$\sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}$$

сходится в $X.$

Ряды в топологических векторных пространствах

Если $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) и $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ (возможно, неисчислимое ) семейство в $X$ тогда это семейство суммируемо если предел $\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}$ сети ​ $\left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}$ существует в $X,$ где $\operatorname {Finite} (I)$ — направленное множество всех конечных подмножеств $I$ направляется включением $\,\subseteq \,$ и ${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

Она называется абсолютно суммируемой , если, кроме того, для любой непрерывной полунормы $p$ на $X,$ семья $\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$является суммируемым. Если $X$ является нормируемым пространством, и если $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ является абсолютно суммируемым семейством в $X,$ тогда обязательно все, кроме счетного набора $x_{i}$равны нулю. Следовательно, в нормированных пространствах обычно необходимо рассматривать только ряды со счетным числом членов.

Суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

в банаховых и

Понятие ряда легко распространить на случай полунормированного пространства . Если $x_{n}$ представляет собой последовательность элементов нормированного пространства $X$ и если $x\in X$ тогда сериал $\sum x_{n}$ сходится к $x$ в $X$ если последовательность частичных сумм ряда ${\textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty }}$ сходится к $x$ в $X$; а именно,

$$\left\|x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right\|\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .$$

В более общем смысле сходимость рядов может быть определена в любой абелевой Хаусдорфа топологической группе . Конкретно в этом случае $\sum x_{n}$ сходится к $x$ если последовательность частичных сумм сходится к $x.$

Если $(X,|\cdot |)$является полунормированным пространством , то понятие абсолютной сходимости принимает вид: Набор ${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ векторов в $X$ сходится абсолютно , если

$$\sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty$$

в этом случае все, кроме не более чем счетного числа значений $\left|x_{i}\right|$ обязательно равны нулю.

Если счетный ряд векторов в банаховом пространстве сходится абсолютно, то он сходится безусловно, но обратное справедливо только в конечномерных банаховых пространствах (теорема Дворецкого и Роджерса (1950) ).

Хорошо упорядоченные суммы

Условно сходящийся ряд можно рассматривать, если $I$ представляет собой упорядоченный набор, например, порядковый номер $\alpha _{0}.$ В этом случае определите трансфинитную рекурсию :

$$\sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }$$

и для предельного ординала $\alpha ,$

$$\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }$$

если этот предел существует. Если все пределы существуют до $\alpha _{0},$ то ряд сходится.

Примеры

1. Дана функция $f:X\to Y$ в абелеву топологическую группу $Y,$ определить для каждого $a\in X,$
   $$f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}$$

функция, поддержка которой является синглтоном $\{a\}.$ Затем

$$f=\sum _{a\in X}f_{a}$$

в топологии поточечной сходимости (т. е. сумма берется в бесконечной группе произведений $Y^{X}$).

1. При определении разбиений единицы строятся суммы функций по произвольному набору индексов. $I,$
   $$\sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.$$

Хотя формально для этого требуется понятие сумм несчетных рядов, по построению для каждого данного числа существуют $x,$в сумме лишь конечное число ненулевых членов, поэтому вопросов о сходимости таких сумм не возникает. На самом деле обычно предполагается большее: семейство функций локально конечно , т. е. для любого $x$ есть окрестности $x$в котором все функции, кроме конечного числа, обращаются в нуль. Любое свойство регулярности $\varphi _{i},$ такие как непрерывность, дифференцируемость, сохраняющаяся при конечных суммах, сохранится и для суммы любого поднабора этого семейства функций.

1. По первому неисчисляемому ординалу $\omega _{1}$ рассматриваемый как топологическое пространство в топологии порядка , постоянная функция $f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]$ данный $f(\alpha )=1$ удовлетворяет
   $$\sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}$$

(другими словами, $\omega _{1}$ копий 1 есть $\omega _{1}$) только в том случае, если взять предел по всем счетным частичным суммам, а не по конечным частичным суммам. Это пространство неразделимо.

См. также

• Непрерывная дробь
• Тесты сходимости
• Конвергентный ряд
• Дивергентная серия
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Бесконечное выражение
• Бесконечный продукт
• Итерированная бинарная операция
• Список математических рядов
• Префиксная сумма
• Преобразование последовательности
• Расширение серии

Библиография

• Бромвич, Т.Дж. Введение в теорию бесконечных рядов MacMillan & Co., 1908 г., исправлено в 1926 г., переиздано в 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965 гг.
• Дворецкий, Арье; Роджерс, К. Эмброуз (1950). «Абсолютная и безусловная сходимость в линейных нормированных пространствах» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 36 (3): 192–197. Бибкод : 1950PNAS...36..192D . дои : 10.1073/pnas.36.3.192 . ПМЦ   1063182 . ПМИД   16588972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN  978-0-87150-341-1
• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Publishing. ISBN  0-387-05644-0 . OCLC   539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN  0-521-29882-2 . OCLC   589250 .
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1 . ОСЛК   48092184 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .

МИСТЕР 0033975

Внешние ссылки

• «Серия» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие по бесконечной серии
• «Серия-Основы» . Интернет-заметки Пола по математике.
• «Коллекция сериалов Show-Me» (PDF) . Лесли Грин.