Продукт Коши

В математике , точнее в математическом анализе , произведение Коши представляет собой дискретную свертку двух бесконечных рядов . Оно названо в честь французского математика Огюстена-Луи Коши .

Определения

Произведение Коши может применяться к бесконечным сериям. или степенной ряд. Когда люди применяют это к конечным последовательностям или конечный ряд, который можно рассматривать просто как частный случай произведения ряда с конечным числом ненулевых коэффициентов (см. дискретную свертку ).

Вопросы конвергенции обсуждаются в следующем разделе .

Коши двух

Позволять ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ и ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ быть двумя бесконечными рядами с комплексными членами. Произведение Коши этих двух бесконечных рядов определяется дискретной сверткой следующим образом:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ где $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Коши двух

Рассмотрим следующие два степенных ряда

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$ и $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

с комплексными коэффициентами $\{a_{i}\}$ и $\{b_{j}\}$. Произведение Коши этих двух степенных рядов определяется дискретной сверткой следующим образом:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ где $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Мертенса

Не путать с теоремами Мертенса о распределении простых чисел.

Пусть ( a _n ) _{n ≥0} и ( b _n ) _{n ≥0} — вещественные или комплексные последовательности. доказал Франц Мертенс , что если ряд ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ сходится к A и ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ сходится к B , и хотя бы один из них сходится абсолютно , то их произведение Коши сходится к AB . Теорема по-прежнему справедлива в банаховой алгебре (см. первую строку следующего доказательства).

Недостаточно, чтобы оба ряда сходились; если обе последовательности условно сходятся , произведение Коши не обязательно должно сходиться к произведению двух рядов, как показывает следующий пример:

Пример

Рассмотрим два чередующихся ряда с

$$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$$

которые сходятся лишь условно (расхождение ряда абсолютных величин следует из критерия прямого сравнения и расхождения гармонического ряда ). Условия их произведения Коши имеют вид

$$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$$

для каждого целого числа n ≥ 0 . Поскольку для каждого k ∈ {0, 1, ..., n } выполняются неравенства k + 1 ⩽ n + 1 и n – k + 1 ⩽ n + 1 , то для квадратного корня в знаменателе следует, что √ ( k + 1)( n − k + 1) ⩽ n +1 , следовательно, поскольку имеется n + 1 слагаемых,

$$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$$

для каждого целого числа n ≥ 0 . Следовательно, cn _, не сходится к нулю при n → ∞ ряд ( cn _{, следовательно} ) _{n ≥0} расходится на член test .

Доказательство теоремы Мертенса

Для простоты докажем это для комплексных чисел. Однако доказательство, которое мы собираемся дать, формально идентично для произвольной банаховой алгебры (даже не требуется ни коммутативности, ни ассоциативности).

будем считать Без ограничения общности , что ряд ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ сходится абсолютно.Определите частичные суммы

$$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{and}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}$$

с

$$c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\,.$$

Затем

$$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}$$

путем перестановки, следовательно

$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+A_{n}B\,.$ ( 1 )

Зафиксируйте ε > 0 . С ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$ по абсолютной сходимости, и поскольку B _n сходится к B при n → ∞ , существует целое число N такое, что для всех целых чисел n ≥ N ,

$|B_{n}-B|\leq {\frac {\varepsilon /3}{\sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|+1}}$ ( 2 )

(это единственное место, где используется абсолютная сходимость). Поскольку ряд ( an _{термину} ) _{n ≥0} сходится, индивидуум an _должен сходиться к 0 по test . Следовательно, существует целое число M такое, что для всех целых чисел n ≥ M ,

$|a_{n}|\leq {\frac {\varepsilon }{3N(\max _{i\in \{0,\dots ,N-1\}}|B_{i}-B|+1)}}\,.$ ( 3 )

Кроме того, поскольку An _при сходится к A n → ∞ , существует целое число L такое, что для всех целых чисел n ≥ L ,

$|A_{n}-A|\leq {\frac {\varepsilon /3}{|B|+1}}\,.$ ( 4 )

Затем для всех целых чисел n ≥ max{ L , M + N } используйте представление ( 1 ) для C _n , разделите сумму на две части, используйте неравенство треугольника для абсолютного значения и, наконец, используйте три оценки ( 2 ), ( 3 ) и ( 4 ), чтобы показать, что

$${\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{\biggr |}\\&\leq \sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (2)}}}+{}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (4)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}$$

По определению сходимости ряда , C _n → AB что и требуется.

Теорема Чезаро

В тех случаях, когда две последовательности сходятся, но не абсолютно сходятся, произведение Коши по-прежнему суммируется по Чезаро . Конкретно:

Если ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$, ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ являются реальными последовательностями с ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ и ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$ затем

$${\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB.$$

Это можно обобщить на случай, когда две последовательности не сходятся, а просто суммируются по Чезаро:

Теорема

Для ${\textstyle r>-1}$ и ${\textstyle s>-1}$, предположим, что последовательность ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ является ${\textstyle (C,\;r)}$ суммируемый с суммой A и ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ является ${\textstyle (C,\;s)}$ суммируемая с суммой B . Тогда их произведение Коши будет ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$ суммируемая с суммой AB .

Примеры

• Для некоторых ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$, позволять ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ и ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$. Затем
  $$c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}$$
  по определению и биномиальной формуле . Поскольку формально ​ ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ и ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$, мы показали, что ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$. Поскольку предел произведения Коши двух абсолютно сходящихся рядов равен произведению пределов этих рядов, мы доказали формулу ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ для всех ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$.
• В качестве второго примера пусть ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ для всех ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$. Затем ${\textstyle c_{n}=n+1}$ для всех $n\in \mathbb {N}$ поэтому произведение Коши
  $$\sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$$
  не сходится.

Обобщения

Все вышесказанное относится к последовательностям в ${\textstyle \mathbb {C} }$ ( комплексные числа ). Произведение Коши можно определить для рядов в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ пространства ( евклидовы пространства ), где умножение является скалярным произведением . В этом случае мы имеем результат: если два ряда абсолютно сходятся, то их произведение Коши абсолютно сходится к скалярному произведению пределов.

Произведения конечного числа бесконечных серий

Позволять $n\in \mathbb {N}$ такой, что $n\geq 2$ (на самом деле следующее справедливо и для $n=1$ но в этом случае утверждение становится тривиальным) и пусть ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ бесконечные ряды с комплексными коэффициентами, из которых все, кроме $n$абсолютно сходятся, а $n$тот сходится. Тогда предел

$$\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$$

существует, и мы имеем:

$$\prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$$

Доказательство

Потому что

$$\forall N\in \mathbb {N} :\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}=\sum _{k_{1}=0}^{N}\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$$

утверждение можно доказать индукцией по $n$: Дело в $n=2$ идентично заявлению о продукте Коши. Это наша вводная база.

Шаг индукции выглядит следующим образом: пусть утверждение верно для $n\in \mathbb {N}$ такой, что $n\geq 2$, и пусть ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ бесконечные ряды с комплексными коэффициентами, из которых все, кроме $n+1$абсолютно сходятся, а $n+1$-й сходится. Сначала применим предположение индукции к ряду ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$. Получаем, что ряд

$$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|$$

сходится, а значит, в силу неравенства треугольника и сэндвич-критерия ряд

$$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|$$

сходится, а значит, ряд

$$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$$

сходится абсолютно. Следовательно, по предположению индукции, что доказал Мертенс, и переименованию переменных имеем:

$${\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{2}}} ^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{k_{1}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }b_{k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\left(\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\right)\left(\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\end{aligned}}$$

Следовательно, формула справедлива и для $n+1$.

Отношение к свертке функций

Конечную последовательность можно рассматривать как бесконечную последовательность только с конечным числом ненулевых членов или, другими словами, как функцию $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ с конечной поддержкой. Для любых комплексных функций f , g на $\mathbb {N}$ с конечной поддержкой можно взять их свертку :

$$(f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j).$$

Затем ${\textstyle \sum (f*g)(n)}$ это то же самое, что произведение Коши ${\textstyle \sum f(n)}$ и ${\textstyle \sum g(n)}$.

В более общем смысле, учитывая моноид S , можно сформировать полугрупповую алгебру $\mathbb {C} [S]$ S . с умножением, заданным сверткой Если взять, например, $S=\mathbb {N} ^{d}$, то умножение на $\mathbb {C} [S]$ является обобщением произведения Коши на более высокие измерения.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Аддисон Уэсли, с. 204, ISBN  978-0-201-00288-1 .

• Блох, Итан Д. (2011), Реальные числа и реальный анализ , Springer , ISBN  9780387721767 .

• Кануто, Клавдий; Табакко, Анита (2015), Математический анализ II (2-е изд.), Springer .

• Фридман, Менахем; Кандел, Авраам (2011), Calculus Light , Springer , ISBN  9783642178481 .

• Горпаде, Судхир Р.; Лимай, Балмохан В. (2006), Курс исчисления и реального анализа , Springer .

• Харди, GH (1949), Divergent Series , Oxford University Press , стр. 227–229 .

• Хиджаб, Омар (2011), Введение в исчисление и классический анализ (3-е изд.), Springer .

• Монтесинос, Висенте; Зизлер, Питер; Зизлер, Вацлав (2015), Введение в современный анализ , Springer .

• Обергуггенбергер, Майкл; Остерманн, Александр (2011), Анализ для компьютерщиков , Springer .

• Педерсен, Стин (2015), От исчисления к анализу , Springer , doi : 10.1007/978-3-319-13641-7 , ISBN  978-3-319-13640-0 .

• Поннусами, С. (2012), Основы математического анализа , Биркхойзер , ISBN  9780817682927 .

• Пью, Чарльз К. (2015), Реальный математический анализ (2-е изд.), Springer .

• Сохраб, Хоушанг Х. (2014), Базовый реальный анализ (2-е изд.), Birkhäuser .

Внешние ссылки

• Матонлин. «Продукт Коши серии Power» . .
• Вайсштейн, Эрик В., «Продукт Коши», Из MathWorld – веб-ресурс Wolfram .