Биномиальная теорема

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}$

Биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k}}$ появляется как k -я запись в n -й строке треугольника Паскаля (где вершиной является 0-я строка ${\tbinom {0}{0}}$). Каждая запись представляет собой сумму двух над ней.

В элементарной алгебре биномиальная теорема (или биномиальное разложение алгебраическое разложение степеней бинома . ) описывает Согласно теореме, можно разложить полином ( x + y ) ^н в сумму , включающую члены вида ax ^б и ^с , где показатели b и c — неотрицательные целые числа с b + c = n , а коэффициент a каждого члена — определенное положительное целое число, зависящее от n и b . Например, для n = 4 ,

$$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$$

Коэффициент a в термине ax ^б и ^с известен как биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{b}}$ или ${\tbinom {n}{c}}$(оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения n и b можно расположить в виде треугольника Паскаля . Эти числа также встречаются в комбинаторике , где ${\tbinom {n}{b}}$дает количество различных комбинаций (т.е. подмножеств) b элементов , которые можно выбрать из n -элементного набора . Поэтому ${\tbinom {n}{b}}$ обычно произносится как « n Choose b ».

История

Особые случаи биномиальной теоремы были известны, по крайней мере, с 4 века до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для показателя степени. $n=2$. Греческий математик Диофант возвел в куб различные биномы, в том числе $x-1$. Метод индийского математика Арьябхаты для нахождения кубических корней, разработанный примерно в 510 году нашей эры, предполагает, что он знал биномиальную формулу для показателя степени. $n=3$.

Биномиальные коэффициенты как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это «Чандахшастра» индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. э.), в которой содержится метод ее решения. Комментатор Халаюдха из 10 века нашей эры объясняет этот метод. К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это в виде частного. ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$, и четкое изложение этого правила можно найти в тексте Лилавати» Бхаскары « XII века .

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появляется в работе Аль-Караджи , цитируемой Аль-Самауалом в его «Аль-Бахире». Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов. а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических трудах Ян Хуэя XIII века. а также Чу Ши- Че Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту Цзя Сяня XI века , хотя эти сочинения сейчас также утеряны.

В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как с его помощью выражать $(1+x)^{n}$ с точки зрения $(1+x)^{n-1}$, через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своем «Трактате об арифметике треугольника» . Однако порядок чисел был уже известен европейским математикам позднего Возрождения, в том числе Стифелю, Никколо Фонтана Тарталья и Симону Стевину .

Исааку Ньютону обычно приписывают открытие в 1665 году обобщенной биномиальной теоремы, справедливой для любого действительного показателя. Он был открыт независимо в 1670 году Джеймсом Грегори .

Заявление

Согласно теореме, разложение любой целой неотрицательной степени n бинома x + y представляет собой сумму вида

$$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$$

где каждый ${\tbinom {n}{k}}$ — положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент , определяемый как

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.$$

Эту формулу также называют биномиальной формулой или биномиальным тождеством . Используя обозначение суммирования , это можно записать более кратко как

$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$

Окончательное выражение следует из предыдущего в силу симметричности x и y в первом выражении, а из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична, ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

Простой вариант биномиальной формулы получается путем замены 1 на y , так что она включает только одну переменную . В таком виде формула читается

$${\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}$$

Примеры

Вот первые несколько случаев биномиальной теоремы:

$${\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}$$

В общем случае для разложения ( x + y ) ^н с правой стороны в n- й строке (нумерация так, чтобы верхняя строка была 0-й):

• показатели степени x в терминах равны n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (последний член неявно содержит x ⁰ = 1 );
• показатели степени y в терминах равны 0, 1, 2, ..., n − 1, n (первый член неявно содержит y ⁰ = 1 );
• коэффициенты образуют n-ю строку треугольника Паскаля;
• прежде чем объединить подобные члены, есть 2 ^н условия х ^я и ^дж в расширении (не показано);
• после объединения одинаковых членов получается n + 1 член, а сумма их коэффициентов равна 2. ^н .

Пример, иллюстрирующий два последних пункта:

$${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}$$

с $1+3+3+1=2^{3}$.

Простой пример с конкретным положительным значением y :

$${\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}$$

Простой пример с конкретным отрицательным значением y :

$${\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}$$

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Для положительных значений a и b биномиальная теорема с n = 2 представляет собой геометрически очевидный факт, что квадрат со стороной a + b можно разрезать на квадрат со стороной a , квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a. и б . При n = 3 теорема утверждает, что куб со стороной a + b можно разрезать на куб со стороной a , куб со стороной b , три прямоугольных ящика a × a × b и три a × b × b прямоугольных ящика . .

В исчислении эта картина также дает геометрическое доказательство производной $(x^{n})'=nx^{n-1}:$ если установить $a=x$ и $b=\Delta x,$ интерпретируя b как бесконечно малое изменение a , то на этом рисунке показано бесконечно малое изменение объема n -мерного гиперкуба , $(x+\Delta x)^{n},$ где коэффициент при линейном члене (в $\Delta x$) является $nx^{n-1},$ площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n - 1 :

$$(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .$$

Подстановка этого в определение производной через разностный коэффициент и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, $(\Delta x)^{2}$ и выше, становятся пренебрежимо малыми и дают формулу $(x^{n})'=nx^{n-1},$ интерпретируется как

«Биконечно малая скорость изменения объема n -куба при изменении длины стороны равна площади n его ( n - 1) -мерных граней».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению фундаментальной теоремы исчисления , можно получить квадратурную формулу Кавальери , интеграл $\textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}$ см. в доказательстве квадратурной формулы Кавальери . - подробности

Биномиальные

Основная статья: Биномиальный коэффициент

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Обычно они пишутся ${\tbinom {n}{k}},$ и произносится как « н, выбирай к ».

Formulas

Коэффициент х ^{п - к} и ^к определяется формулой

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},$$

которая определяется через факториал- функцию n ! . Эквивалентно эту формулу можно записать

$${\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}$$

с k множителями как в числителе, так и в знаменателе дроби . Хотя в этой формуле используется дробь, биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k}}$ на самом деле является целым числом .

Комбинаторная

Биномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k}}$можно интерпретировать как количество способов выбрать k элементов из n -элементного множества. Это относится к биномам по следующей причине: если мы напишем ( x + y ) ^н как продукт

$$(x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),$$

тогда, согласно закону распределения , в разложении будет один член для каждого выбора x или y из каждого бинома произведения. Например, будет только один термин x. ^н , соответствующий выбору x из каждого бинома. Однако будет несколько членов вида x ^{п -2} и ² , по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, вносящих вклад в y . Следовательно, после объединения подобных членов коэффициент при x ^{п -2} и ² будет равно числу способов выбрать ровно 2 элемента из n -элементного множества.

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Расширение ( x + y ) ^н дает сумму 2 ^н продукты вида e ₁ e ₂ ... e _n , где каждый e _i равен x или y . Перестановка коэффициентов показывает, что каждый продукт равен x. ^{п - к} и ^к для некоторого k между 0 и n . Для данного k последовательно доказывается равенство следующих условий:

• количество слагаемых, равное x ^{п - к} и ^к в расширении
• количество n -символьных x , y строк , содержащих y ровно в k позициях
• количество k -элементных подмножеств {1, 2, ..., n }
• ${\tbinom {n}{k}},$ либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного рассуждения, если кто-то определяет ${\tbinom {n}{k}}$ как ${\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.$

Это доказывает биномиальную теорему.

Пример

Коэффициент ху ² в

$${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}$$

равно ${\tbinom {3}{2}}=3$ потому что есть три строки x , y длины 3 с ровно двумя y , а именно,

$$xyy,\;yxy,\;yyx,$$

соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3} , а именно,

$$\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},$$

где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.

Индуктивное

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе части равны 1 , поскольку x ⁰ = 1 и ${\tbinom {0}{0}}=1.$Теперь предположим, что равенство справедливо для данного n ; мы докажем это для n + 1 . Для j , k ≥ 0 , пусть [ f ( x , y )] _{j , k} обозначает коэффициент при x ^дж и ^к в полиноме f ( x , y ) . По индуктивному предположению ( x + y ) ^н – многочлен от x и y такой, что [( x + y ) ^н ] _{j , k} это ${\tbinom {n}{k}}$если j + k = n и 0 в противном случае. Личность

$$(x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}$$

показывает, что ( x + y ) ^{п +1} также является полиномом от x и y , и

$$[(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},$$

поскольку если j + k = n + 1 , то ( j − 1) + k = n и j + ( k − 1) = n . Теперь правая часть

$${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},$$

по личности Паскаля . С другой стороны, если j + k ≠ n + 1 , то ( j – 1) + k ≠ n и j + ( k – 1) ≠ n , поэтому мы получаем 0 + 0 = 0 . Таким образом

$$(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},$$

что является индуктивной гипотезой с + 1 заменой n на n и, таким образом, завершает индуктивный шаг.

Обобщения

Ньютона

Основная статья: Биномиальный ряд

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, разрешив действительные показатели степени, отличные от неотрицательных целых чисел. (То же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Для этого необходимо придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, чего нельзя сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить

$${r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$$

где $(\cdot )_{k}$— это символ Поххаммера , обозначающий здесь падающий факториал . Это согласуется с обычными определениями, когда r — неотрицательное целое число. Тогда, если x и y — действительные числа с | х | > | й | , и r - любое комплексное число, есть

$${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$$

Когда r — неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечное количество ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

$${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .$$

При r = −1 обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрического ряда , справедливую для | х | < 1 :

$$(1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .$$

В более общем смысле, при r = − s мы имеем для | х | < 1 :

$${\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.$$

Так, например, когда s = 1/2 ,

$${\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$$

Замена x на -x дает:

$${\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.$$

Так, например, когда s = 1/2 , мы имеем | х | < 1 :

$${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$$

обобщения

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда x и y — комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить | х | > | й | и определим степени x + y и x , используя голоморфную ветвь журнала , определенную на открытом диске радиуса | х | с центром в x . Обобщенная биномиальная теорема справедлива также для элементов x и y банаховой алгебры, пока xy = yx , x обратима и ‖ y / x ‖ < 1 .

Версия биномиальной теоремы справедлива для следующего символьно-подобного семейства полиномов Похгаммера : для данной действительной константы c определите $x^{(0)}=1$ и

$$x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]$$

для $n>0.$ Затем

$$(a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.$$

Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле последовательность $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ многочленов называется биномиальным типом , если

• $\deg p_{n}=n$ для всех $n$,
• $p_{0}(0)=1$, и
• $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$ для всех $x$, $y$, и $n$.

Оператор $Q$ в пространстве полиномов называется базисным оператором последовательности $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ если $Qp_{0}=0$ и $Qp_{n}=np_{n-1}$ для всех $n\geqslant 1$. Последовательность $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ является биномиальным тогда и только тогда, когда его базисный оператор является дельта-оператором . Письмо $E^{a}$ для смены на $a$ оператор Дельта-операторы, соответствующие вышеупомянутым семействам полиномов «Поххаммера», представляют собой обратную разность $I-E^{-c}$ для $c>0$, обычная производная для $c=0$, и прямая разница $E^{-c}-I$ для $c<0$.

Полиномиальная

Основная статья: Полиномиальная теорема

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм, содержащих более двух членов. Общая версия такая

$$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},$$

где суммирование производится по всем последовательностям неотрицательных целых индексов от k ₁ до km _, таких что сумма всех k _i равна n . (Для каждого члена разложения показатели степени должны составлять в сумме n ). Коэффициенты ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$ известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле

$${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.$$

Комбинаторно полиномиальный коэффициент ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$ подсчитывает количество различных способов разбить набор элементов n на непересекающиеся подмножества размеров k ₁ , ..., km _. из

Мультибиномиальная

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

$$(x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.$$

Это можно записать более кратко, с помощью мультииндексной записи , как

$$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$$

Общее правило Лейбница

Основная статья: Правило генерала Лейбница

Общее правило Лейбница дает n- ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:

$$(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).$$

Здесь верхний индекс ( n ) указывает на n- ю производную функции, $f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$. Если установить f ( x ) = e ^топор и г ( Икс ) знак равно е ^бх , сокращая общий делитель e ^{( а + б ) х} из каждого члена дает обычную биномиальную теорему.

Приложения

Многоугольные идентичности

Для комплексных чисел биномиальная теорема может быть объединена с формулой де Муавра, чтобы получить формулы кратных углов для синуса и косинуса . По формуле Муавра:

$$\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.$$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos( nx ) и sin( nx ) . Например, поскольку

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),$$

Но формула Де Муавра отождествляет левую часть с $(\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)$, так

$$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,$$

которые представляют собой обычные двуугольные тождества. Аналогично, поскольку

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,$$

Формула Де Муавра дает

$$\cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.$$

В общем,

$$\cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x$$

и

$$\sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.$$

Существуют также аналогичные формулы с использованием полиномов Чебышева .

Серия для е

Число e часто определяют по формуле

$$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e . В частности:

$$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.$$

k -й член этой суммы равен

$${n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}$$

При n → ∞ рациональное выражение справа приближается к 1 , и, следовательно,

$$\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.$$

Это указывает на то, что e можно записать в виде ряда:

$$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .$$

Действительно, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией от n рядов следует , из теоремы о монотонной сходимости , что сумма этого бесконечного ряда равна e .

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли. $\{X_{t}\}_{t\in S}$ с вероятностью успеха $p\in [0,1]$ все, что не происходит, это

$P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.$

Верхняя граница этой величины равна $e^{-p|S|}.$

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема справедлива в более общем смысле для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце при условии, что xy = yx . Например, это справедливо для двух матриц размера n × n при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно для вычисления мощности матрицы.

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, x , x ² , Икс ³ , ...} имеет биномиальный тип .

В популярной культуре

• Биномиальная теорема упоминается в «Песне генерал-майора» комической оперы «Пираты Пензанса» .
• профессора Мориарти Шерлок Холмс описывает как написавшего трактат по биномиальной теореме .
• The Portuguese poet Fernando Pessoa, using the heteronym Álvaro de Campos, wrote that "Newton's Binomial is as beautiful as the Venus de Milo. The truth is that few people notice it."
• In the 2014 film The Imitation Game, Alan Turing makes reference to Isaac Newton's work on the binomial theorem during his first meeting with Commander Denniston at Bletchley Park.

See also

• Binomial approximation
• Binomial distribution
• Биномиальная обратная теорема
• Приближение Стирлинга
• Теорема Таннери
• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий
• q-биномиальная теорема

Дальнейшее чтение

• Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийская историческая наука . 1 (1): 68–74.
• Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 100-1 153 –256. ISBN  978-0-201-55802-9 . OCLC   17649857 .

Внешние ссылки

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Бином Ньютона» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Биномиальная теорема Стивена Вольфрама и «Биномиальная теорема (шаг за шагом)» Брюса Коллетти и Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Эта статья включает в себя материал из индуктивного доказательства биномиальной теоремы на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .