Формула Фаульхабера

В математике , формула Фаульхабера , названная в честь математика начала 17 века Иоганна Фаульхабера выражает сумму p -ых степеней первых n положительных целых чисел. $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}$$ как многочлен от n . В современных обозначениях формула Фаульхабера имеет вид $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{r=0}^{p}{\binom {p+1}{r}}B_{r}n^{p-r+1}.$$ Здесь, ${\textstyle {\binom {p+1}{r}}}$ — биномиальный коэффициент « p + 1 выбирает r », а B _j — числа Бернулли с соглашением, что ${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$.

Результат: формула Фаульхабера

Формула Фаульхабера касается выражения суммы p -х степеней первых n положительных целых чисел. $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}$$ как функция ( p + 1)-й степени полиномиальная от n .

Первые несколько примеров хорошо известны. Для p = 0 имеем $$\sum _{k=1}^{n}k^{0}=\sum _{k=1}^{n}1=n.$$ При p = 1 имеем треугольные числа $$\sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}(n^{2}+n).$$ При p = 2 мы имеем квадратно-пирамидальные числа $$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {1}{3}}(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n).$$

Коэффициенты формулы Фаульхабера в ее общем виде включают числа Бернулли B _j . Числа Бернулли начинаются $${\begin{aligned}B_{0}&=1&B_{1}&={\tfrac {1}{2}}&B_{2}&={\tfrac {1}{6}}&B_{3}&=0\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{30}}&B_{5}&=0&B_{6}&={\tfrac {1}{42}}&B_{7}&=0,\end{aligned}}$$ где здесь мы используем соглашение, что ${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$. Числа Бернулли имеют различные определения (см. Число Бернулли#Определения ), например, что они являются коэффициентами экспоненциальной производящей функции. $${\frac {t}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}.$$

Тогда формула Фаульхабера такова: $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}n^{p-k+1}.$$ Здесь B _j — числа Бернулли, как указано выше, и $${\binom {p+1}{k}}={\frac {(p+1)!}{(p+1-k)!\,k!}}={\frac {(p+1)p(p-1)\cdots (p-k+3)(p-k+2)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}$$ — биномиальный коэффициент « p + 1 выберите k ».

Примеры

Так, например, для p = 4 имеем : $${\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {1}{5}}\sum _{j=0}^{4}{5 \choose j}B_{j}n^{5-j}\\&={\frac {1}{5}}\left(B_{0}n^{5}+5B_{1}n^{4}+10B_{2}n^{3}+10B_{3}n^{2}+5B_{4}n\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {5}{3}}n^{3}-{\tfrac {1}{6}}n\right).\end{aligned}}$$

Первые семь примеров формулы Фаульхабера: $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\frac {1}{1}}\,{\big (}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\frac {1}{2}}\,{\big (}n^{2}+{\tfrac {2}{2}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\frac {1}{3}}\,{\big (}n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {3}{6}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\frac {1}{4}}\,{\big (}n^{4}+{\tfrac {4}{2}}n^{3}+{\tfrac {6}{6}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&={\frac {1}{5}}\,{\big (}n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {10}{6}}n^{3}+0n^{2}-{\tfrac {5}{30}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {1}{6}}\,{\big (}n^{6}+{\tfrac {6}{2}}n^{5}+{\tfrac {15}{6}}n^{4}+0n^{3}-{\tfrac {15}{30}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\frac {1}{7}}\,{\big (}n^{7}+{\tfrac {7}{2}}n^{6}+{\tfrac {21}{6}}n^{5}+0n^{4}-{\tfrac {35}{30}}n^{3}+0n^{2}+{\tfrac {7}{42}}n{\big )}.\end{aligned}}$$

История

Древний период

История проблемы начинается в древности и совпадает с историей некоторых ее частных случаев. Дело $p=1$ совпадает с вычислением арифметической прогрессии, суммы первых $n$ значения арифметической прогрессии . Эта задача довольно проста, но уже известный в школе Пифагора случай ее связи с треугольными числами исторически интересен :

$1+2+\dots +n={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n,$   Полиномиальный $S_{1,1}^{1}(n)$ вычисление суммы первых $n$ натуральные числа.

Для $m>1,$ Первые случаи, встречающиеся в истории математики, таковы:

$1+3+\dots +2n-1=n^{2},$   Полиномиальный $S_{1,2}^{1}(n)$ вычисление суммы первых $n$ последовательные шансы, образующие квадрат. Свойство, вероятно, хорошо известное самим пифагорейцам, которым при построении своих фигурных чисел приходилось каждый раз прибавлять гномон, состоящий из нечетного числа точек, чтобы получить следующий совершенный квадрат .

$1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n,$   Полиномиальный $S_{1,1}^{2}(n)$ вычисление суммы квадратов последовательных целых чисел. Свойство, которое мы находим продемонстрированным в «Спиралях», работе Архимеда ;

$1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2},$   Полиномиальный $S_{1,1}^{3}(n)$ вычисление суммы кубов последовательных целых чисел. Следствие теоремы Никомаха Герасского ...

Весь $S_{1,1}^{m}(n)$ случаев, к которым принадлежат два предыдущих многочлена, составляет классическую проблему степеней последовательных целых чисел .

Средний период

Со временем этой проблемой заинтересовались многие другие математики, которые внесли различный вклад в ее решение. К ним относятся Арьябхата , Аль-Караджи , Ибн аль-Хайтам , Томас Харриот , Иоганн Фаульхабер , Пьер де Ферма и Блез Паскаль, которые рекурсивно решили проблему суммы степеней последовательных целых чисел, рассматривая тождество, позволяющее получить многочлен степени $m+1$ уже зная предыдущие.

Формулу Фаульхабера еще называют формулой Бернулли . Фаульхабер не знал свойств коэффициентов, открытых позднее Бернулли. Скорее, он знал, по крайней мере, первые 17 случаев, а также существование полиномов Фаульхабера для нечетных степеней, описанных ниже.

Якоба Бернулли Высшие силы , Искусство догадок , 1713 г.

В 1713 году Якоб Бернулли опубликовал под названием Summae Potestatum выражение суммы p степеней n первых целых чисел как ( p + 1 )-й степени полиномиальную функцию от n с коэффициентами, включающими числа B _j , теперь называемую Бернулли. числа :

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+{1 \over p+1}\sum _{j=2}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}.$

Если ввести также первые два числа Бернулли (чего Бернулли не ввел), предыдущая формула примет вид $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},$$ используя число Бернулли второго рода, для которого ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{2}}}$, или $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}^{-}n^{p+1-j},$$ используя число Бернулли первого рода, для которого ${\textstyle B_{1}^{-}=-{\frac {1}{2}}.}$

Строгое доказательство этих формул и утверждение Фаульхабера о том, что такие формулы будут существовать для всех нечетных степеней, потребовались до Карла Якоби ( 1834 ), два столетия спустя. Якоби извлек выгоду из прогресса математического анализа, используя развитие в бесконечных рядах экспоненциальной функции, порождающей числа Бернулли .

Современный период

В 1982 году AWF Эдвардс публикует статью. в котором он показывает, что тождество Паскаля может быть выражено с помощью треугольных матриц, содержащих треугольник Паскаля, лишенный «последнего элемента каждой строки»:

${\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0\\1&3&3&0&0\\1&4&6&4&0\\1&5&10&10&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\end{pmatrix}}$

Пример ограничен выбором матрицы пятого порядка, но его легко расширить до более высоких порядков. Уравнение можно записать как: ${\vec {N}}=A{\vec {S}}$ и умножив две части уравнения слева на $A^{-1}$ , обратную матрице A, получаем $A^{-1}{\vec {N}}={\vec {S}}$ что позволяет напрямую получить коэффициенты полинома без прямого использования чисел Бернулли. Другие авторы после Эдвардса, занимающиеся различными аспектами проблемы суммы степеней, выбирают матричный путь. и изучают аспекты проблемы в своих статьях с помощью таких полезных инструментов, как вектор Вандермонда. Другие исследователи продолжают исследовать традиционным аналитическим путем. и обобщаем задачу суммы последовательных целых чисел на любую геометрическую прогрессию

Доказательство с помощью экспоненциальной производящей функции

Позволять $$S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{p},$$ обозначим рассматриваемую сумму для целого числа $p\geq 0.$

Определите следующую экспоненциальную производящую функцию с (изначально) неопределенной $z$ $$G(z,n)=\sum _{p=0}^{\infty }S_{p}(n){\frac {1}{p!}}z^{p}.$$ Мы находим $${\begin{aligned}G(z,n)=&\sum _{p=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p!}}(kz)^{p}=\sum _{k=1}^{n}e^{kz}=e^{z}\cdot {\frac {1-e^{nz}}{1-e^{z}}},\\=&{\frac {1-e^{nz}}{e^{-z}-1}}.\end{aligned}}$$ Это целая функция в $z$ так что $z$ можно принять любое комплексное число.

Далее напомним экспоненциальную производящую функцию для полиномов Бернулли $B_{j}(x)$ $${\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}(x){\frac {z^{j}}{j!}},$$ где $B_{j}=B_{j}(0)$ обозначает число Бернулли с соглашением $B_{1}=-{\frac {1}{2}}$. Это можно преобразовать в производящую функцию с соглашением $B_{1}^{+}={\frac {1}{2}}$ путем добавления $j$ к коэффициенту $x^{j-1}$ в каждом $B_{j}(x)$ ( $B_{0}$ менять не обязательно): $${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}^{+}(x){\frac {z^{j}}{j!}}=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }jx^{j-1}{\frac {z^{j}}{j!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }x^{j-1}{\frac {z^{j}}{(j-1)!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+ze^{zx}\\=&{\frac {ze^{zx}+ze^{z}e^{zx}-ze^{zx}}{e^{z}-1}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{1-e^{-z}}}\end{aligned}}$$ Отсюда сразу следует, что $$S_{p}(n)={\frac {B_{p+1}^{+}(n)-B_{p+1}^{+}(0)}{p+1}}$$ для всех $p$.

Полиномы Фаульхабера

Термин «полиномы Фаульхабера» используется некоторыми авторами для обозначения другой полиномиальной последовательности, связанной с приведенной выше.

Писать $$a=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.$$ Фаульхабер заметил, что если p нечетно, то ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}}$ является полиномиальной функцией от a .

Доказательство без слов для p = 3

При p = 1 ясно, что $$\sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}=a.$$ Для p = 3 результат, что $$\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=a^{2}$$ известна как теорема Никомаха .

Далее, мы имеем $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {4a^{3}-a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{7}&={\frac {6a^{4}-4a^{3}+a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{9}&={\frac {16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2}}{5}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{11}&={\frac {16a^{6}-32a^{5}+34a^{4}-20a^{3}+5a^{2}}{3}}\end{aligned}}$$ (см. OEIS : A000537 , OEIS : A000539 , OEIS : A000541 , OEIS : A007487 , OEIS : A123095 ).

В более общем смысле, $$\sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}={\frac {1}{2^{2m+2}(2m+2)}}\sum _{q=0}^{m}{\binom {2m+2}{2q}}(2-2^{2q})~B_{2q}~\left[(8a+1)^{m+1-q}-1\right].$$

Некоторые авторы называют многочлены от a в правых частях этих тождеств полиномами Фаульхабера . Эти многочлены делятся на ² потому что число Бернулли B _j равно 0 для нечетного j > 1 .

И наоборот, писать для простоты $s_{j}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j}$, у нас есть $${\begin{aligned}4a^{3}&=3s_{5}+s_{3}\\8a^{4}&=4s_{7}+4s_{5}\\16a^{5}&=5s_{9}+10s_{7}+s_{5}\end{aligned}}$$ и вообще $$2^{m-1}a^{m}=\sum _{j>0}{\binom {m}{2j-1}}s_{2m-2j+1}.$$

Фаульхабер также знал, что если сумма для нечетной степени равна $$\sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}=c_{1}a^{2}+c_{2}a^{3}+\cdots +c_{m}a^{m+1}$$ тогда сумма для четной степени ниже определяется выражением $$\sum _{k=1}^{n}k^{2m}={\frac {n+{\frac {1}{2}}}{2m+1}}(2c_{1}a+3c_{2}a^{2}+\cdots +(m+1)c_{m}a^{m}).$$ Обратите внимание, что полином в скобках является производной приведенного выше полинома по a .

Поскольку a = n ( n + 1)/2, эти формулы показывают, что для нечетной степени (больше 1) сумма представляет собой многочлен от n, имеющий множители n ² и ( п + 1) ² , а для четной степени полином имеет множители n , n + 1/2 и n + 1.

Выражение произведений сумм степеней в виде линейных комбинаций сумм степеней

Произведения двух (и, следовательно, нескольких) сумм степеней $s_{j_{r}}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j_{r}}$ можно записать как линейные комбинации сумм степеней либо со всеми четными, либо со всеми нечетными степенями, в зависимости от общей степени произведения в виде полинома от $n$, например $30s_{2}s_{4}=-s_{3}+15s_{5}+16s_{7}$. Заметим, что суммы коэффициентов должны быть равны с обеих сторон, в чем можно убедиться, положив $n=1$, что делает все $s_{j}$ равно 1. Некоторые общие формулы включают: $${\begin{aligned}(m+1)s_{m}^{2}&=2\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m+1-2j}.\\m(m+1)s_{m}s_{m-1}&=m(m+1)B_{m}s_{m}+\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m-1}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m-2j}.\\2^{m-1}s_{1}^{m}&=\sum _{j=1}^{\lfloor {\frac {m+1}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2j-1}}s_{2m+1-2j}.\end{aligned}}$$ Заметим, что во второй формуле для четных $m$ термин, соответствующий $j={\dfrac {m}{2}}$ отличается от остальных членов суммы, а для нечетных $m$, этот дополнительный член исчезает из-за $B_{m}=0$.

Матричная форма

Формулу Фаульхабера можно также записать в виде, использующем умножение матриц .

Возьмите первые семь примеров $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\phantom {-}}1n\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{6}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\phantom {-}}0n+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n^{3}+{\tfrac {1}{4}}n^{4}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&=-{\tfrac {1}{30}}n+0n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}+{\tfrac {1}{2}}n^{4}+{\tfrac {1}{5}}n^{5}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\phantom {-}}0n-{\tfrac {1}{12}}n^{2}+0n^{3}+{\tfrac {5}{12}}n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{6}}n^{6}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{42}}n+0n^{2}-{\tfrac {1}{6}}n^{3}+0n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{2}}n^{6}+{\tfrac {1}{7}}n^{7}.\end{aligned}}$$ Запись этих полиномов в виде произведения матриц дает $${\begin{pmatrix}\sum k^{0}\\\sum k^{1}\\\sum k^{2}\\\sum k^{3}\\\sum k^{4}\\\sum k^{5}\\\sum k^{6}\end{pmatrix}}=G_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\end{pmatrix}},$$ где $$G_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}.$$

Удивительно, но обращение матрицы полиномиальных коэффициентов дает нечто более знакомое: $$G_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}={\overline {A}}_{7}$$

В перевернутой матрице можно узнать треугольник Паскаля без последнего элемента каждой строки и с чередующимися знаками.

Позволять $A_{7}$ быть матрицей, полученной из ${\overline {A}}_{7}$ изменив знаки элементов в нечетных диагоналях, т. е. заменив $a_{i,j}$ к $(-1)^{i+j}a_{i,j}$, позволять ${\overline {G}}_{7}$ быть матрицей, полученной из $G_{7}$ с аналогичным преобразованием, то $$A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0&0\\1&4&6&4&0&0&0\\1&5&10&10&5&0&0\\1&6&15&20&15&6&0\\1&7&21&35&35&21&7\\\end{pmatrix}}$$ и $$A_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&-{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&-{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&-{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&-{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}.$$ Также $${\begin{pmatrix}\sum _{k=0}^{n-1}k^{0}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{5}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{6}\\\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\\\end{pmatrix}}$$ Это потому, что очевидно, что ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}-\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=n^{m}}$ и поэтому полиномы степени $m+1$ формы ${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$ вычли мономиальную разность $n^{m}$ они становятся ${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}-{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$.

Это верно для любого порядка, то есть для каждого положительного целого числа m имеется $G_{m}^{-1}={\overline {A}}_{m}$ и ${\overline {G}}_{m}^{-1}=A_{m}.$ Таким образом, можно получить коэффициенты многочленов от сумм степеней последовательных целых чисел, не прибегая к числам Бернулли, а обратив матрицу, легко получаемую из треугольника Паскаля.

Вариации

• Замена $k$ с $p-k$, находим альтернативное выражение: $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{p \choose k}B_{p-k}n^{k+1}.$$
• Вычитание $n^{p}$ с обеих сторон исходной формулы и увеличивая $n$ к $1$, мы получаем $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}B_{k}(n+1)^{p-k+1}\\&=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{\binom {p}{k}}(-1)^{p-k}B_{p-k}(n+1)^{k+1},\end{aligned}}$$

где $(-1)^{k}B_{k}=B_{k}^{-}$ можно интерпретировать как «отрицательные» числа Бернулли с $B_{1}^{-}=-{\tfrac {1}{2}}$.

• Мы также можем расширить $G(z,n)$ в терминах полиномов Бернулли найти $${\begin{aligned}G(z,n)&={\frac {e^{(n+1)z}}{e^{z}-1}}-{\frac {e^{z}}{e^{z}-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(B_{j}(n+1)-(-1)^{j}B_{j}\right){\frac {z^{j-1}}{j!}},\end{aligned}}$$ что подразумевает $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-(-1)^{p+1}B_{p+1}\right)={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)\right).$$ С $B_{n}=0$ в любое время $n>1$ странно, фактор $(-1)^{p+1}$ может быть удалено, когда $p>0$.
• Это также можно выразить через числа Стирлинга второго рода и падающие факториалы как $$\sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}\left\{{p \atop k}\right\}{\frac {(n+1)_{k+1}}{k+1}},$$ $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=1}^{p+1}\left\{{p+1 \atop k}\right\}{\frac {(n)_{k}}{k}}.$$ Это связано с определением чисел Стирлинга второго рода как монономов в терминах падающих факториалов и поведением падающих факториалов при неопределенной сумме .

Интерпретируя числа Стирлинга второго рода, $\left\{{p+1 \atop k}\right\}$, как количество заданных разделов $\lbrack p+1\rbrack$ в $k$ частей, то тождество имеет прямое комбинаторное доказательство, поскольку обе стороны подсчитывают количество функций $f:\lbrack p+1\rbrack \to \lbrack n\rbrack$ с $f(1)$ максимальный. Индекс суммирования в левой части представляет собой $k=f(1)$, а индекс в правой части представляет количество элементов в изображении f.

• Существует также похожее (но как-то более простое) выражение: используя идею телескопирования и биномиальную теорему , получаем Паскаля тождество :

$${\begin{aligned}(n+1)^{k+1}-1&=\sum _{m=1}^{n}\left((m+1)^{k+1}-m^{k+1}\right)\\&=\sum _{p=0}^{k}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}$$

Это, в частности, дает приведенные ниже примеры — например, возьмем k = 1, чтобы получить первый пример. Аналогичным образом мы также находим

$${\begin{aligned}n^{k+1}=\sum _{m=1}^{n}\left(m^{k+1}-(m-1)^{k+1}\right)=\sum _{p=0}^{k}(-1)^{k+p}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}$$

• Обобщенное выражение, включающее числа Эйлера. $A_{n}(x)$ является

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{k}x^{n}={\frac {x}{(1-x)^{k+1}}}A_{k}(x)$.

• Формула Фаульхабера была обобщена Го и Цзэном до q -аналога .

Связь с дзета-функцией Римана

С использованием $B_{k}=-k\zeta (1-k)$, можно написать $$\sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}-\sum \limits _{j=0}^{p-1}{p \choose j}\zeta (-j)n^{p-j}.$$

Если рассмотреть производящую функцию $G(z,n)$ в большом $n$ лимит на $\Re (z)<0$, то находим $$\lim _{n\rightarrow \infty }G(z,n)={\frac {1}{e^{-z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j-1}B_{j}{\frac {z^{j-1}}{j!}}$$ Эвристически это означает, что $$\sum _{k=1}^{\infty }k^{p}={\frac {(-1)^{p}B_{p+1}}{p+1}}.$$ Этот результат согласуется со значением дзета-функции Римана ${\textstyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ для отрицательных целых чисел $s=-p<0$ на надлежащем аналитическом продолжении $\zeta (s)$.

Тёмная форма

В умбральном исчислении рассматриваются числа Бернулли. ${\textstyle B^{0}=1}$, ${\textstyle B^{1}={\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle B^{2}={\frac {1}{6}}}$, ... как если бы индекс j в ${\textstyle B^{j}}$ на самом деле были показателем степени, и поэтому числа Бернулли были степенями некоторого объекта B .

Используя эти обозначения, формулу Фаульхабера можно записать как $$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}{\big (}(B+n)^{p+1}-B^{p+1}{\big )}.$$ Здесь выражение справа следует понимать путем расширения, чтобы получить члены ${\textstyle B^{j}}$ тогда это можно интерпретировать как числа Бернулли. В частности, используя биномиальную теорему , мы получаем $${\begin{aligned}{\frac {1}{p+1}}{\big (}(B+n)^{p+1}-B^{p+1}{\big )}&={1 \over p+1}\left(\sum _{k=0}^{p+1}{\binom {p+1}{k}}B^{k}n^{p+1-k}-B^{p+1}\right)\\&={1 \over p+1}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{j}}B^{k}n^{p+1-k}.\end{aligned}}$$

Вывод формулы Фаульхабера с использованием теневой формы доступен в «Книге чисел» Джона Хортона Конвея и Ричарда К. Гая .

Классически эта теневая форма считалась удобством обозначения. С другой стороны, в современном теневом исчислении этому дается формальное математическое обоснование. Рассматривается линейный функционал T в векторном пространстве многочленов от переменной b, заданной формулой ${\textstyle T(b^{j})=B_{j}.}$ Тогда можно сказать $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}\\&={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}\\&={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)\\&=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).\end{aligned}}$$

Общая формула

Серия $1^{m}+2^{m}+3^{m}+..n^{m}$ как функция m часто сокращается как $S_{m}$. Бердон (см. Внешние ссылки) опубликовал формулы для степеней $S_{m}$. Например, Beardon 1996 сформулировал эту общую формулу для степеней $S_{1}:\;\;\;S_{1}^{\;N}={\frac {1}{2^{N}}}\sum _{r=0}^{N}{N \choose r}S_{N+r}(1-(-1)^{N-r})$, что показывает, что $S_{1}$ возведенный в степень N, можно записать как линейную сумму слагаемых $S_{3},\;\;S_{5},\;\;S_{7}$... Например, приняв в формуле Бердона N равным 2, затем 3, а затем 4, мы получаем тождества $S_{1}^{\;2}=S_{3},\;\;S_{1}^{\;3}={\frac {1}{4}}S_{3}+{\frac {3}{4}}S_{5},\;\;S_{1}^{\;4}={\frac {1}{2}}S_{5}+{\frac {1}{2}}S_{7}$. Другие формулы, например $S_{2}^{\;2}={\frac {1}{3}}S_{4}+{\frac {2}{3}}S_{5}$ и $S_{2}^{\;3}={\frac {1}{12}}S_{4}+{\frac {7}{12}}S_{6}+{\frac {1}{3}}S_{8}$ известны, но нет общей формулы для $S_{m}^{\;N}$, где m, N — положительные целые числа, на сегодняшний день опубликовано. В неопубликованной статье Дерби (2019) была сформулирована и доказана следующая формула:

$S_{m}^{\;N}=\sum _{k=1}^{N}(-1)^{k-1}{N \choose k}\sum _{r=1}^{n}r^{mk}S_{m}^{\;\;N-k}(r)$.

Это можно рассчитать в матричной форме, как описано выше. В случае m = 1 это повторяет формулу Бердона для $S_{1}^{\;N}$. Когда m = 2 и N = 2 или 3, он генерирует заданные формулы для $S_{2}^{\;\;2}$ и $S_{2}^{\;3}$ . Примеры расчетов для более высоких индексов: $S_{2}^{\;4}={\frac {1}{54}}S_{5}+{\frac {5}{18}}S_{7}+{\frac {5}{9}}S_{9}+{\frac {4}{27}}S_{11}$ и $S_{6}^{\;3}={\frac {1}{588}}S_{8}-{\frac {1}{42}}S_{10}+{\frac {13}{84}}S_{12}-{\frac {47}{98}}S_{14}+{\frac {17}{28}}S_{16}+{\frac {19}{28}}S_{18}+{\frac {3}{49}}S_{20}$.

См. также

• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий

Внешние ссылки

• Якоби, Карл (1834). «De usu legitimo Formulas summatoriae Maclaurinianae». Журнал чистой и прикладной математики . Том 12. С. 263–72. дои : 10.1515/crll.1834.12.263 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Фаульхабера» . Математический мир .
• Иоганн Фаульхабер (1631 г.). самыми высокими затратами Academia Algebrae - В которой чудесные изобретения продолжаются и приносят пользу с . Очень редкая книга, но Кнут поместил ее фотокопию в Стэнфордскую библиотеку, позвоните по номеру QA154.8 F3 1631a f MATH. ( онлайн-копия в Google Книгах )
• Бердон, А.Ф. (1996). «Суммы степеней целых чисел» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 103 (3): 201–213. дои : 10.1080/00029890.1996.12004725 . Проверено 23 октября 2011 г. (Обладатель премии Лестера Р. Форда )
• Шумахер, Рафаэль (2016). «Расширенная версия формулы Фаульхабера» . Журнал целочисленных последовательностей . Том. 19, нет. 16.4.2.

• Ороси, Грег (2018). «Простой вывод формулы Фаульхабера» (PDF) . Электронные заметки по прикладной математике . Том. 18. стр. 124–126.
• Наглядное доказательство суммы квадратов и кубов .