Квадрат треугольного числа

Чтобы узнать о треугольных числах, которые сами по себе являются квадратными, см . «Квадратно-треугольное число» .

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разбить на квадраты и полуквадраты, площади которых складываются в кубы. Из Галли (2010) . В n-й цветной области изображено n квадратов размером n x n (прямоугольник представляет собой 1 квадрат, разделенный на равные), следовательно, площадь n-й области равна n раз nx n.

В теории чисел сумма первых n кубов равна квадрату числа n- го треугольного . То есть,

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.$

То же уравнение можно записать более компактно, используя математическое обозначение суммирования :

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.$

Это тождество иногда называют теоремой Никомаха в честь Никомаха из Герасы ( ок. 60 – ок. 120 н. э. ).

История

Никомах в конце 20-й главы своего «Введения в арифметику» указывал, что если написать список нечетных чисел, то первое из них будет кубом 1, сумма следующих двух будет кубом 2, сумма следующие три — это куб 3 и так далее. Дальше этого он не идет, но из этого следует, что сумма первых n кубиков равна сумме первых n ( n + 1) / 2 нечетных числа, то есть нечетные числа от 1 до n ( n + 1) − 1 . Среднее значение этих чисел, очевидно, равно n ( n + 1) / 2 , и существуют n ( n + 1) / 2 из них, поэтому их сумма равна ( п ( п + 1) / 2 ) ² .

Многие ранние математики изучали и доказали теорему Никомаха. Струкер (1995) утверждает, что «каждый изучающий теорию чисел наверняка удивлялся этому чудесному факту». Пенгелли (2002) находит упоминания об идентичности не только в работах Никомаха на территории современной Иордании в I веке н. э., но также в произведениях Арьябхаты в Индии в V веке и в произведениях Аль-Караджи ок. 1000 в Персии . Брессуд (2004) упоминает несколько дополнительных ранних математических работ по этой формуле Аль-Кабиси (Аравия 10-го века), Герсонида ( ок. 1300 г. , Франция) и Нилаканты Сомаяджи ( ок. 1500 г. , Индия); он воспроизводит визуальное доказательство Нилаканты.

Числовые значения; геометрическая и вероятностная интерпретация

Все 36 ( = (1 + 2 + 3) ² = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ ) прямоугольников, в том числе 14 ( = 1 ² + 2 ² + 3 ² ) квадраты (красные) в сетке квадратов 3 × 3 (вершины 4 × 4).

Последовательность квадратов треугольных чисел равна

0 , 1 , 9 , 36 , 100 , 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... .

Эти числа можно рассматривать как фигурные числа , четырехмерное гиперпирамидальное обобщение треугольных чисел и квадратно-пирамидальных чисел .

Как заметил Штейн (1971) , эти числа также подсчитывают количество прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, образованных в n × n сетке размера . Например, точки сетки 4 × 4 (или квадрата, состоящего из трех меньших квадратов по сторонам) могут образовывать 36 различных прямоугольников. Количество квадратов в квадратной сетке подсчитывается аналогично квадратным пирамидальным числам.

Тождество допускает также естественную вероятностную интерпретацию следующим образом. Пусть X , Y , Z , W — четыре целых числа, независимо и равномерно выбранных случайным образом между 1 и n . Тогда вероятность того, что W является наибольшим из четырех чисел, равна вероятности того, что не меньше X , а W не меньше Z. Y То есть P [max( X , Y , Z ) ≤ W ] = P [ X ≤ Y ∧ Z ≤ W ] . Для любого конкретного значения W комбинации X , Y и Z , которые делают W наибольшим, образуют куб 1 ≤ X , Y , Z ≤ n, поэтому (добавляя размер этого куба ко всем вариантам выбора W ) количество комбинаций X является , Y , Z , W, для которых W наибольшим, представляет собой сумму кубов, левую часть тождества Никомаха. Множества пар ( X , Y ) с X ⩽ Y и пар ( Z , W ) с Z ⩽ W образуют равнобедренные прямоугольные треугольники, а множество, подсчитываемое правой частью уравнения вероятностей, является декартовым произведением этих два треугольника, поэтому его размер равен квадрату треугольного числа в правой части тождества Никомаха. Сами вероятности представляют собой соответственно левую и правую части тождества Никомаха, нормализованные для получения вероятностей путем деления обеих частей на н ⁴ .

Доказательства

Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, разлагая каждый куб суммы на набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с указания личности

$$n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.$$

Это тождество связано с треугольными числами T _n следующим образом:

$$n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),$$

и, таким образом, слагаемые, образующие n ³ начните сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения 1 ³ до ( n − 1) ³ . Применение этого свойства вместе с другим известным тождеством:

$$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),$$

производит следующий вывод:

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}$$

Роу (1893) получил другое доказательство, суммируя числа в квадратной таблице умножения двумя разными способами. Сумма i -й строки равна i- кратному треугольному числу, откуда следует, что сумма всех строк равна квадрату треугольного числа. В качестве альтернативы можно разложить таблицу на последовательность вложенных гномонов , каждый из которых состоит из продуктов, в которых больший из двух членов имеет некоторое фиксированное значение. Сумма внутри каждого гмонона представляет собой куб, поэтому сумма всей таблицы представляет собой сумму кубов.

Наглядная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубов.

В более поздней математической литературе Эдмондс (1957) приводит доказательство с использованием суммирования по частям . Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел, основанную на подсчете прямоугольников, для формирования геометрического доказательства тождества (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это также можно легко (но неинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Тёплиц (1963) предоставляет «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Обобщения

Результат, аналогичный теореме Никомаха, справедлив для всех сумм степеней , а именно, что суммы нечетных степеней (суммы нечетных степеней) представляют собой многочлены от треугольных чисел.Они называются полиномами Фаульхабера , из которых сумма кубов является самым простым и элегантным примером.Однако ни в каком другом случае одна сумма степеней не является квадратом другой.

Струкер (1995) изучает более общие условия, при которых сумма последовательной последовательности кубов образует квадрат. Гарретт и Хаммел (2004) и Варнаар (2004) изучают полиномиальные аналоги формулы квадратно-треугольного числа, в которой ряды полиномов добавляются к квадрату другого многочлена.

Ссылки

• Бенджамин, Артур Т .; Оррисон, МЭ (2002), «Два быстрых комбинаторных доказательства $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$ 10.2307 / (PDF) , College Mathematics Journal , 33 (5): 406–408, doi : 1559017 , JSTOR   1559017 .
• Бенджамин, Артур Т .; Куинн, Дженнифер Дж .; Вурц, Калисса (2006), «Суммирование кубов путем подсчета прямоугольников» (PDF) , College Mathematics Journal , 37 (5): 387–389, doi : 10.2307/27646391 , JSTOR   27646391 .
• Брессуд, Дэвид (2004), Исчисление до Ньютона и Лейбница, Часть III (PDF) , AP Central .
• Эдмондс, Шейла М. (1957), «Суммы степеней натуральных чисел», The Mathematical Gazette , 41 (337): 187–188, doi : 10.2307/3609189 , JSTOR   3609189 , MR   0096615 , S2CID   126165678
• Гарретт, Кристина С.; Хаммел, Кристен (2004), «Комбинаторное доказательство суммы q -кубов» , Электронный журнал комбинаторики , 11 (1), Research Paper 9, doi : 10.37236/1762 , MR   2034423 .
• Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха , Matlab Central .
• Каним, Кэтрин (2004), «Доказательства без слов: сумма кубов — расширение суммы квадратов Архимеда», Mathematics Magazine , 77 (4): 298–299, doi : 10.2307/3219288 , JSTOR   3219288 .
• Нельсен, Роджер Б. (1993), Доказательства без слов , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-88385-700-7 .
• Пенгелли, Дэвид (2002), «Мост между непрерывным и дискретным через первоисточники», Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , Национальный центр математического образования, Univ. Гетеборга, Швеция .
• Роу, Т. Сундара (1893), Геометрические упражнения по складыванию бумаги , Мадрас: Аддисон, стр. 47–48 .
• Штейн, Роберт Г. (1971), «Комбинаторное доказательство того, что $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$", Журнал Mathematics Magazine , 44 (3): 161–162, doi : 10.2307/2688231 , JSTOR   2688231 .
• Струкер, Р.Дж. (1995), «О сумме последовательных кубов, представляющей собой идеальный квадрат» , Compositio Mathematica , 97 (1–2): 295–307, MR   1355130 .
• Теплиц, Отто (1963), Исчисление, генетический подход , University of Chicago Press, ISBN  978-0-226-80667-9 .
• Варнаар, С. Оле (2004), «О q -аналоге суммы кубов» , Электронный журнал комбинаторики , 11 (1), примечание 13, doi : 10.37236/1854 , MR   2114194 .
• Уитстон, К. (1854), «О формировании степеней из арифметических прогрессий» , Proceedings of the Royal Society of London , 7 : 145–151, Bibcode : 1854RSPS....7..145W , doi : 10.1098/rspl .1854.0036 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Теорема Никомаха» , MathWorld
• Визуальное доказательство теоремы Никомаха. Архивировано 19 октября 2019 г. в Wayback Machine.