Дружественный номер

Не путать с Дружеским номером .

В теории чисел дружественные числа — это два или более натуральных числа с общим индексом изобилия — отношением суммы делителей числа к самому числу. Два числа с одинаковым «обилием» образуют дружественную пару ; n чисел с одинаковым «изобилием» образуют дружественный n -кортеж .

Взаимная дружелюбие является отношением эквивалентности и, таким образом, вызывает разделение положительных натуральных чисел на клубы ( классы эквивалентности ) взаимно «дружественных чисел».

Число, не входящее ни в одну дружественную пару, называется одиночным .

Индекс «изобилия» числа n — это рациональное число σ( n )/ n , в котором σ обозначает сумму функции делителей . Число n является «дружественным числом», если существует m ≠ n такое, что σ( m )/ m = σ( n )/ n . «Изобилие» — это не то же самое, что изобилие , которое определяется как σ( n ) − 2 n .

«Изобилие» можно также выразить как $\sigma _{-1}(n)$ где $\sigma _{k}$ обозначает функцию делителя с $\sigma _{k}(n)$ равен сумме k -ых степеней делителей числа n .

Все цифры от 1 до 5 одиночные. Наименьшее «дружественное число» — 6, образующее, например, «дружественную» пару 6 и 28 с «изобилием» σ(6)/6 = (1+2+3+6)/6 = 2, то же, что и σ. (28)/28 = (1+2+4+7+14+28)/28 = 2. Общее значение 2 в этом случае является целым числом, но не во многих других случаях. Числа с «изобилием» 2 также известны как совершенные числа . Есть несколько нерешенных проблем, связанных с «дружественными номерами».

Несмотря на сходство названий, между дружественными числами и дружественными числами или общительными числами не существует конкретной связи , хотя определения последних двух также включают функцию делителя.

Примеры

Другой пример: 30 и 140 образуют дружественную пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковое «изобилие»:

${\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}$

${\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.$

Числа 2480, 6200 и 40640 также являются членами этого клуба, так как каждое из них имеет «изобилие», равное 12/5.

В качестве примера нечетных дружественных чисел рассмотрим 135 и 819 («изобилие» 16/9 ( недостаток )). Встречаются также случаи «дружественности» четности к нечетным, например 42, 3472, 56896, ... (последовательность A347169 в OEIS ) и 544635 («изобилие» 16/7). Нечетный «друг» может быть меньше четного, как в 84729645 и 155315394 («изобилие» 896/351), или в 6517665, 14705145 и 2746713837618 («изобилие» 64/27).

Квадратное число может быть дружественным, например, как 693479556 (квадрат 26334), так и 8640 имеют «изобилие» 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).

Статус для маленьких n

В таблице ниже синие числа являются дружественными (последовательность A074902 в OEIS ), красные числа — одиночными (последовательность A095739 в OEIS ), числа n такие, что n и $\sigma (n)$являются взаимно простыми (последовательность A014567 в OEIS ), остаются неокрашенными, хотя известно, что они одиночные. Остальные номера имеют неизвестный статус и имеют желтый цвет.

Сумма уникальных коэффициентов целого числа до n=2000.

Дружественный индекс целых чисел до 2000, вычисляемый путем вычисления суммы его уникальных коэффициентов и деления на n. Помимо видимого шума, начинают появляться отчетливые линии.

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
1	1	1
2	3	3/2
3	4	4/3
4	7	7/4
5	6	6/5
6	12	2
7	8	8/7
8	15	15/8
9	13	13/9
10	18	9/5
11	12	12/11
12	28	7/3
13	14	14/13
14	24	12/7
15	24	8/5
16	31	31/16
17	18	18/17
18	39	13/6
19	20	20/19
20	42	21/10
21	32	32/21
22	36	18/11
23	24	24/23
24	60	5/2
25	31	31/25
26	42	21/13
27	40	40/27
28	56	2
29	30	30/29
30	72	12/5
31	32	32/31
32	63	63/32
33	48	16/11
34	54	27/17
35	48	48/35
36	91	91/36

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
37	38	38/37
38	60	30/19
39	56	56/39
40	90	9/4
41	42	42/41
42	96	16/7
43	44	44/43
44	84	21/11
45	78	26/15
46	72	36/23
47	48	48/47
48	124	31/12
49	57	57/49
50	93	93/50
51	72	24/17
52	98	49/26
53	54	54/53
54	120	20/9
55	72	72/55
56	120	15/7
57	80	80/57
58	90	45/29
59	60	60/59
60	168	14/5
61	62	62/61
62	96	48/31
63	104	104/63
64	127	127/64
65	84	84/65
66	144	24/11
67	68	68/67
68	126	63/34
69	96	32/23
70	144	72/35
71	72	72/71
72	195	65/24

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
73	74	74/73
74	114	57/37
75	124	124/75
76	140	35/19
77	96	96/77
78	168	28/13
79	80	80/79
80	186	93/40
81	121	121/81
82	126	63/41
83	84	84/83
84	224	8/3
85	108	108/85
86	132	66/43
87	120	40/29
88	180	45/22
89	90	90/89
90	234	13/5
91	112	16/13
92	168	42/23
93	128	128/93
94	144	72/47
95	120	24/19
96	252	21/8
97	98	98/97
98	171	171/98
99	156	52/33
100	217	217/100
101	102	102/101
102	216	36/17
103	104	104/103
104	210	105/52
105	192	64/35
106	162	81/53
107	108	108/107
108	280	70/27

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
109	110	110/109
110	216	108/55
111	152	152/111
112	248	31/14
113	114	114/113
114	240	40/19
115	144	144/115
116	210	105/58
117	182	14/9
118	180	90/59
119	144	144/119
120	360	3
121	133	133/121
122	186	93/61
123	168	56/41
124	224	56/31
125	156	156/125
126	312	52/21
127	128	128/127
128	255	255/128
129	176	176/129
130	252	126/65
131	132	132/131
132	336	28/11
133	160	160/133
134	204	102/67
135	240	16/9
136	270	135/68
137	138	138/137
138	288	48/23
139	140	140/139
140	336	12/5
141	192	64/47
142	216	108/71
143	168	168/143
144	403	403/144

Одиночные числа

Номер, принадлежащий одному клубу, поскольку ни один другой номер не является с ним «дружественным», является одиночным номером. Известно, что все простые числа одиночные, как и степени простых чисел. В более общем смысле, если числа n и σ( n ) взаимно просты – это означает, что наибольший общий делитель этих чисел равен 1, так что σ( n )/ n – несократимая дробь – тогда число n является одиночным (последовательность A014567 в ОЭИС ) . Для простого числа p имеем σ( p ) = p + 1, которое взаимно просто с p .

Неизвестен общий метод определения того, является ли число «дружественным» или одиночным. Наименьшее число, классификация которого неизвестна, — 10; предполагается, что он одиночный. Если это не так, то его самый маленький друг, по крайней мере, $10^{30}$. .Небольшие числа с относительно большим наименьшим другом действительно существуют: например, число 24 является «дружественным», а его наименьший друг — 91 963 648.

Большие клубы

Существуют ли бесконечно большие клубы взаимно «дружественных» чисел — открытый вопрос. Совершенные числа образуют клуб, и предполагается, что совершенных чисел бесконечно много (по крайней мере, столько же, сколько простых чисел Мерсенна ), но доказательство не известно. По состоянию на декабрь 2022 г. , 51 perfect numbers are known, the largest of which has more than 49 million digits in decimal notation. There are clubs with more known members: in particular, those formed by multiply perfect numbers, which are numbers whose "abundancy" is an integer. As of December 2022, клуб «дружественных» чисел с «обилием», равным 9, насчитывает 2130 известных членов. Хотя известно, что некоторые из них довольно велики, предполагается, что клубы кратно совершенных чисел (исключая сами совершенные числа) конечны.

плотность

Каждая пара a , b дружественных чисел дает положительную долю всех натуральных чисел, которые являются дружественными (но в разных клубах), если рассматривать пары na , nb для множителей n с НОД ( n , ab ) = 1. Например, «Примитивная» дружественная пара 6 и 28 порождает дружественные пары 6 n и 28 n для всех n , которые конгруэнтны 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 или 41 по модулю. 42.

Это показывает, что естественная плотность дружественных чисел (если она существует) положительна.

Андерсон и Хикерсон предположили, что плотность на самом деле должна быть равна 1 (или, что то же самое, что плотность одиночных чисел должна быть равна 0). Согласно статье MathWorld об одиночном числе (см. раздел «Ссылки» ниже), эта гипотеза не была решена, хотя Померанс в какой-то момент думал, что опроверг ее.

Ссылки

• Грайм, Джеймс. Видео про число 10 . Числофил .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дружественный номер» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дружная пара» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Одинокий номер» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изобилие» . Математический мир .