Номер Иордании – Полии

В математике числа Жордана -Пойа — это числа, которые можно получить путем умножения одного или нескольких факториалов , не обязательно отличающихся друг от друга. Например, $480$ также число Джордана–Пойа, потому что $480=2!\cdot 2!\cdot 5!$ . Каждое дерево имеет ряд симметрий , который представляет собой число Жордана–Пойа, и каждое число Жордана–Пойа возникает таким образом как порядок группы автоморфизмов дерева. Эти числа названы в честь Камиллы Жордана и Джорджа Полиа , которые оба писали о них в контексте симметрии деревьев. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Эти числа растут быстрее, чем полиномы , но медленнее, чем экспоненты . Как и в симметриях деревьев, они возникают как числа транзитивных ориентаций сравнимости графов ^{[ 3 ]} и в проблеме поиска факториалов, которые можно представить как произведения меньших факториалов.

Последовательность и скорость роста

Последовательность : чисел Жордана–Пойа начинается ^{[ 4 ]}

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 192, 216, 240, 256, ... (последовательность A001013 в ОЭИС )

Они образуют наименьшее мультипликативно замкнутое множество, содержащее все факториалы.

The $n$ число Жордана–Пойа растет быстрее, чем любой полином от $n$ , но медленнее, чем любая экспоненциальная функция от $n$ . Точнее, для каждого $\varepsilon >0$ , и каждое достаточно большое $x$ (в зависимости от $\varepsilon$ ), число $J(x)$ чисел Иордана-Пойи до $x$ подчиняется неравенствам ^{[ 5 ]} $\exp {\frac {(2-\varepsilon ){\sqrt {\log x}}}{\log \log x}}<J(x)<\exp {\frac {(4+\varepsilon ){\sqrt {\log x}}\log \log \log x}{\log \log x}}.$

Факториалы, являющиеся произведениями меньших факториалов.

Каждое число Джордана-Пойи $n$ , за исключением 2, обладает тем свойством, что его факториал $n!$ можно записать как произведение меньших факториалов. Это можно сделать, просто расширив $n!=n\cdot (n-1)!$ а затем заменив $n$ в этом произведении путем его представления в виде произведения факториалов. Предполагается , , но не доказано что единственные числа $n$ чей факториал $n!$ равно произведению меньших факториалов, это числа Жордана–Пойа (кроме 2) и два исключительных числа 9 и 10, для которых $9!=2!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 7!$ и $10!=6!\cdot 7!=3!\cdot 5!\cdot 7!$ . Единственное другое известное представление факториала как произведения меньших факториалов, полученное не заменой $n$ в расширении продукта $n!$ , является $16!=2!\cdot 5!\cdot 14!$ , но как $16$ само по себе является числом Жордана–Пойа, оно также имеет представление $16!=2!^{4}\cdot 15!$ . ^{[ 4 ]}^{[ 6 ]}