Полусовершенное число

Полусовершенное число

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера совершенства числа 6.
Всего нет. терминов	бесконечность
Первые сроки	6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30
ОЭИС Индекс	А005835 Псевдосовершенные (или полусовершенные) числа.

В теории чисел полусовершенное число или псевдосовершенное число — это натуральное число n , равное сумме всех или некоторых его собственных делителей . Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом .

Первые несколько полусовершенных чисел: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40 , ... (последовательность A005835 в OEIS ).

Свойства

• Каждое кратное полусовершенному числу является полусовершенным. Полусовершенное число, которое не делится ни на какое меньшее полусовершенное число, называется примитивным .
• Каждое число формы 2 ^м p для натурального числа m и нечетного простого числа p такого, что p < 2 ^{м +1} также полусовершенен.
  • В частности, каждое число вида 2 ^м (2 ^{м +1} − 1) полусовершенна и даже совершенна, если 2 ^{м +1} − 1 — простое число Мерсенна .
• Наименьшее нечетное полусовершенное число — 945 (см., например, Фридман, 1993).
• Полусовершенное число обязательно либо совершенное, либо избыточное . Обильное число, которое не является полусовершенным, называется странным числом .
• За исключением 2, все первичные псевдосовершенные числа полусовершенны.
• Каждое практическое число , не являющееся степенью двойки, является полусовершенным.
• Естественная плотность множества . полусовершенных чисел существует

Примитивные полусовершенные числа

Примитивное полусовершенное число (также называемое примитивным псевдосовершенным числом , неприводимым полусовершенным числом или неприводимым псевдосовершенным числом ) — это полусовершенное число, не имеющее полусовершенного собственного делителя.

Первые несколько примитивных полусовершенных чисел — это 6 , 20 , 28 , 88 , 104 , 272, 304, 350, ... (последовательность A006036 в OEIS ).

Таких чисел бесконечно много. Все числа формы 2 ^м p , где p простое число между 2 ^м и 2 ^{м +1} , являются примитивными полусовершенными, но это не единственная форма: например, 770. Существует бесконечно много нечетных примитивных полусовершенных чисел, наименьшее из которых — 945, результат Пола Эрдеша : существует также бесконечно много примитивных полусовершенных чисел, которые не являются числами гармонических делителей .

Каждое полусовершенное число кратно примитивному полусовершенному числу.

См. также

• Полусовершенное число
• Число Эрдеша – Николаса

Ссылки

• Фридман, Чарльз Н. (1993). «Суммы делителей и египетские дроби» . Журнал теории чисел . 44 (3): 328–339. дои : 10.1006/jnth.1993.1057 . МР   1233293 . Збл   0781.11015 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-20860-7 . OCLC   54611248 . Збл   1058.11001 . Раздел Б2.
• Серпинский, Вацлав (1965). «О псевдосовершенных числах». Мачта. Весн . Новая серия (на французском языке). 2 (17): 212–213. МР   0199147 . Збл   0161.04402 .
• Захариу, Андреас; Захариу, Элени (1972). «Совершенные, полусовершенные и числа Оре». Бык. Соц. Математика. Греция . Новая серия. 13 :12–22. МР   0360455 . Збл   0266.10012 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосовершенное число» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Примитивное полусовершенное число» . Математический мир .