Сфеническое число

В теории чисел сфеническое число (от греческого : σφήνα , «клин») — это положительное целое число , которое является произведением трёх различных простых чисел . Поскольку существует бесконечно много простых чисел , существует также бесконечно много сфенических чисел.

Определение

Сфеническое число — это произведение pqr, где p , q и r — три различных простых числа. Другими словами, сфенические числа представляют собой без квадратов 3- почти простые числа .

Примеры

Наименьшее сфеническое число — 30 = 2 × 3 × 5, произведение трёх наименьших простых чисел.Первые несколько сфенических чисел

30 , 42 , 66 , 70 , 78 , 102 , 105 , 110 , 114 , 130 , 138 , 154 , 165 , ... (последовательность A007304 в OEIS )

Наибольшее известное сфеническое число в любой момент времени можно получить путем умножения трех крупнейших известных простых чисел .

Делители

Все сфенические числа имеют ровно восемь делителей. Если мы выразим сфеническое число как $n=p\cdot q\cdot r$, где p , q и r — различные простые числа, то набор делителей n будет:

$\left\{1,\ p,\ q,\ r,\ pq,\ pr,\ qr,\ n\right\}.$

Обратное неверно. Например, 24 не является сфеническим числом, но имеет ровно восемь делителей.

Свойства

Все сфенические числа по определению не содержат квадратов , поскольку простые делители должны быть различны.

Функция Мёбиуса любого сфенического числа равна −1.

Круговые полиномы $\Phi _{n}(x)$, взятая по всем сфеническим числам n , может содержать сколь угодно большие коэффициенты (для n, произведения двух простых чисел, коэффициенты равны $\pm 1$ или 0).

Любое число, кратное сфеническому числу (кроме 1), не является сфеническим. Это легко доказать с помощью процесса умножения, добавив как минимум еще один простой множитель или возведя существующий множитель в более высокую степень.

Последовательные сфенические числа

Первый случай двух последовательных сфенических целых чисел: 230 = 2×5×23 и 231 = 3×7×11. Первый случай из трех — 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131 и 1311 = 3×19×23. Число больше трех не встречается, поскольку каждое четвертое последовательное положительное целое число делится на 4 = 2×2 и, следовательно, не является свободным от квадратов.

Числа 2013 (3×11×61), 2014 (2×19×53) и 2015 (5×13×31) являются сфеническими. Следующие три последовательных сфенических года будут 2665 (5×13×41), 2666 (2×31×43) и 2667 (3×7×127) (последовательность A165936 в OEIS ).

См. также

• Полупростые числа , произведения двух простых чисел .
• Почти премьер