Пагубное число

В теории чисел пагубное число — это такое положительное целое число, что вес Хэмминга его двоичного представления является простым , то есть существует простое число, равное единицам, когда оно записано в виде двоичного числа.

Примеры

Первое губительное число — 3, поскольку 3 = 11 ₂ и 1 + 1 = 2, что является простым числом. Следующее губительное число — 5, поскольку 5 = 101 ₂ , за ним следуют 6 (110 ₂ ), 7 (111 ₂ ) и 9 (1001 ₂ ). Последовательность губительных чисел начинается

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, ... (последовательность A052294 в OEIS ).

Свойства

Никакая степень двойки не является губительным числом. Это тривиально верно, поскольку степени двойки в двоичной форме представлены как единица, за которой следуют нули. Таким образом, каждая степень двойки имеет вес Хэмминга, равный единице, и единица не считается простым числом . С другой стороны, каждое число вида $2^{n}+1$ с $n>1$, включая все числа Ферма , является пагубным числом. Это потому, что сумма цифр в двоичной форме равна 2, что является простым числом.

Число Мерсенна $2^{n}-1$ имеет двоичное представление, состоящее из $n$ и губительны, когда $n$ является простым. Каждое простое число Мерсенна является числом Мерсенна для простого числа. $n$, и поэтому является губительным. По теореме Евклида–Эйлера четные совершенные числа принимают вид $2^{n-1}(2^{n}-1)$ для простого числа Мерсенна $2^{n}-1$; двоичное представление такого числа состоит из простого числа $n$ из них, за которыми следует $n-1$ нули. Следовательно, всякое четное совершенное число губительно.

Связанные номера

• Одиозные числа — это числа с нечетным числом единиц в двоичном представлении ( OEIS : A000069 ).
• Злые числа — это числа с четным числом единиц в двоичном представлении ( OEIS : A001969 ).