Стена–Солнце–Солнце премьер

Стена–Солнце–Солнце премьер

Назван в честь	Дональд Дайнс Уолл , Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун
Год публикации	1992
Количество известных терминов	0
Предполагаемый нет. терминов	бесконечный

В теории чисел простое число Уолла – Солнца – Солнца или простое число Фибоначчи – Вифериха представляет собой определенный вид простого числа , существование которого предположительно существует, хотя ни одно из них не известно.

Определение

Позволять $p$ быть простым числом. Когда каждый член последовательности чисел Фибоначчи $F_{n}$ уменьшается по модулю $p$, результатом является периодическая последовательность . (Минимальная) длина периода этой последовательности называется периодом Пизано и обозначается $\pi (p)$. С $F_{0}=0$, отсюда следует, что p делит $F_{\pi (p)}$. Простое число p такое, что p ² делит $F_{\pi (p)}$ называется простым числом Стены-Солнца-Солнца .

Эквивалентные определения

Если $\alpha (m)$ обозначает ранг явления по модулю $m$ (т.е. $\alpha (m)$ — наименьший положительный индекс такой, что $m$ делит $F_{\alpha (m)}$), то простое число Уолла–Солнца–Солнца можно эквивалентно определить как простое число $p$ такой, что $p^{2}$ делит $F_{\alpha (p)}$.

Для простого числа p ≠ 2, 5 ранг появления $\alpha (p)$ известно, что он делит $p-\left({\tfrac {p}{5}}\right)$, где символ Лежандра $\textstyle \left({\frac {p}{5}}\right)$ имеет ценности

$\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}};\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}$

Это наблюдение приводит к эквивалентной характеристике простых чисел Уолла – Солнца – Солнца как простых чисел. $p$ такой, что $p^{2}$ делит число Фибоначчи $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$.

Премьер $p$ является простым числом Стены–Солнца–Солнца тогда и только тогда, когда $\pi (p^{2})=\pi (p)$.

Премьер $p$ является простым числом Стены–Солнца–Солнца тогда и только тогда, когда $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$, где $L_{p}$ это $p$-е число Лукаса .

Макинтош и Реттгер устанавливают несколько эквивалентных характеристик простых чисел Люка-Вифериха . В частности, пусть $\epsilon =\left({\tfrac {p}{5}}\right)$; то следующие условия эквивалентны:

• $F_{p-\epsilon }\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$
• $L_{p-\epsilon }\equiv 2\epsilon {\pmod {p^{4}}}$
• $L_{p-\epsilon }\equiv 2\epsilon {\pmod {p^{3}}}$
• $F_{p}\equiv \epsilon {\pmod {p^{2}}}$
• $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$

Существование

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли простые числа Стена-Солнце-Солнце? Если да, то существует ли их бесконечное количество?

(еще нерешенные задачи по математике)

В исследовании периода Пизано $k(p)$Дональд Дайнс Уолл определил, что не существует простых чисел Уолл–Солнце–Солнце меньше, чем $10000$. В 1960 году он писал:

Самая сложная проблема, с которой мы столкнулись в этом исследовании, касается гипотезы $k(p^{2})\neq k(p)$. Мы провели тест на цифровом компьютере, который показал, что $k(p^{2})\neq k(p)$ для всех $p$ до $10000$; однако мы не можем доказать, что $k(p^{2})=k(p)$ невозможно. Вопрос тесно связан с другим, «может ли число $x$ у меня такой же мод заказа $p$ и мод $p^{2}$?", на что в редких случаях дают утвердительный ответ (например, $x=3,p=11$; $x=2,p=1093$); следовательно, можно предположить, что равенство может иметь место для некоторых исключительных случаев. $p$.

С тех пор была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Стены-Солнца-Солнца.

В 2007 году Ричард Дж. Макинтош и Эрик Л. Реттгер показали, что если они и существуют, то они должны быть > 2 × 10. ¹⁴ . Дорэ и Клайв расширили этот диапазон до 9,7 × 10. ¹⁴ не найдя такого простого числа.

начал очередной поиск В декабре 2011 года проект PrimeGrid . однако в мае 2017 года оно было приостановлено. В ноябре 2020 года PrimeGrid запустил еще один проект, который одновременно ищет простые числа Вифериха и Стены – Солнца – Солнца. Проект завершился в декабре 2022 года, что определенно доказывает, что любое простое число Стена-Солнце-Солнце должно превышать $2^{64}$ (о $18\cdot 10^{18}$).

История

Простые числа Стена-Солнце-Солнце названы в честь Дональда Дайнса Уолла . Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун ; ZH Sun и ZW Sun показали в 1992 году, что если бы первый случай Великой теоремы Ферма был неверным для определенного простого числа p , то p должно было бы быть простым числом Уолл-Солнце-Солнце. В результате до доказательства Эндрю Уайлсом Великой теоремы Ферма поиск простых чисел Стены-Солнца-Солнца был также поиском потенциального контрпримера этой многовековой гипотезе .

Обобщения

Простое число Трибоначчи–Вифериха — это простое число p, удовлетворяющее условию h ( p ) = h ( p ² ) , где h — наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее [ h _, Th +1 _{, ]} Th +2 _{, 0} ≡ [ T ₂ ] ( T ₁ , T _TH mod m ), а T _n обозначает n -е число трибоначчи . Простого числа Трибоначчи – Вифериха не существует ниже 10. ¹¹ .

Простое число Пелля –Вифериха — это простое число p, удовлетворяющее p ² делит P _{p −1} , когда p конгруэнтно 1 или 7 (по модулю 8), или p ² делит P _{p +1} , когда p конгруэнтно 3 или 5 (по модулю 8), где P _n обозначает n -е число Пелля . Например, 13, 31 и 1546463 являются простыми числами Пелля – Вифериха, и никакие другие числа меньше 10. ⁹ (последовательность A238736 в OEIS ). Фактически простые числа Пелля–Вифериха представляют собой простые числа 2-Wall–Sun–Sun.

Пристеночные – Солнце – Солнце простые числа

Простое число p такое, что $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}$ с небольшим | А | называется пристеночным-солнцем-солнцем . Простые числа около Стены – Солнца – Солнца с A = 0 будут простыми числами Стены – Солнца – Солнца. PrimeGrid зафиксировал случаи с | А | ≤ 1000. Известно с десяток случаев, когда A = ±1 (последовательность A347565 в OEIS ).

Простые числа Стены–Солнца–Солнца с дискриминантом D

Простые числа Стены–Солнца–Солнца можно рассматривать для поля $Q_{\sqrt {D}}$ с дискриминантом Д. ​ Для обычных простых чисел Уолла – Солнца – Солнца D = 5. В общем случае простое число Лукаса – Вифериха p, связанное с ( P , Q ), является простым числом Вифериха с базой Q и простым числом Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D. = П ² – 4 квартал . В этом определении простое число p делить D. должно быть нечетным и не

Предполагается, что для каждого натурального числа D существует бесконечно много простых чисел Уолла–Сан–Сан с D. дискриминантом

Случай $(P,Q)=(k,-1)$ соответствует простым числам k -Wall–Sun–Sun , для которых простые числа Wall–Sun–Sun представляют собой особый случай k = 1. Простые числа k -Wall–Sun–Sun можно явно определить как простые числа p такие, что p ² делит k -число Фибоначчи $F_{k}(\pi _{k}(p))$, где F _k ( n ) = U _n ( k , −1) — последовательность Люка первого рода с дискриминантом D = k ² + 4 и $\pi _{k}(p)$ — период Пизано k -чисел Фибоначчи по модулю p . Для простого числа p ≠ 2 и не делящего D это условие эквивалентно любому из следующих.

• п ² делит $F_{k}\left(p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)\right)$, где $\left({\tfrac {D}{p}}\right)$ — символ Кронекера ;
• V _p ( k , −1) ≡ k (mod p ² ), где V _n ( k , −1) — последовательность Люка второго рода.

Наименьшие простые числа k -Уолла – Солнца – Солнца для k = 2, 3, ... являются

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (последовательность A271782 в OEIS )

См. также

• Виферих простое
• Вольстенхолм прайм
• Уилсон Прайм
• ПраймГрид
• Простые числа Фибоначчи
• Пизанский период
• Таблица сравнений

Дальнейшее чтение

• Крэндалл, Ричард Э.; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива . Спрингер. п. 29 . ISBN  0-387-94777-9 .
• Саха, Арпан; Картик, CS (2011). «Несколько эквивалентов гипотезы Стены – Солнца – Солнца». arXiv : 1102.1636 [ math.NT ].

Внешние ссылки

• Крис Колдуэлл, Главный глоссарий: Прайм Стены – Солнца – Солнца на главных страницах .
• Вайсштейн, Эрик В. «Стена – Солнце – Солнце простое» . Математический мир .
• Ричард Макинтош, Статус поиска простых чисел Стена – Солнце – Солнце (октябрь 2003 г.)
• Последовательность OEIS A000129 (простые числа p, которые делят свои коэффициенты Пелля, где коэффициент Пелла p равен A000129(p - (2/p))/p и (2/p) является символом Якоби)