Собственный номер

В теории чисел — собственное число или число Девлали в данной системе счисления. $b$ натуральное число , которое нельзя записать в виде суммы любого другого натурального числа $n$ и отдельные цифры $n$. 20 — это собственное число (в десятичной системе счисления), поскольку такую ​​комбинацию найти невозможно (все $n<15$ дать результат меньше 20; все остальное $n$ дают результат больше 20). 21 нет, потому что его можно записать как 15 + 1 + 5, используя n = 15. Эти числа были впервые описаны в 1949 году индийским математиком Д. Р. Капрекаром .

Определение и свойства

Позволять $n$ быть натуральным числом. Мы определяем $b$- самостоятельная функция для базы $b>1$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ быть следующим:

$F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.$

где $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ это количество цифр числа по основанию $b$, и

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

— значение каждой цифры числа. Натуральное число $n$ это $b$- собственный номер если прообраз , $n$ для $F_{b}$ это пустое множество .

В общем, для четных оснований все нечетные числа ниже базового числа являются собственными числами, поскольку любое число ниже такого нечетного числа также должно быть однозначным числом, которое при добавлении к его цифре приведет к четному числу. Для нечетных оснований все нечетные числа являются собственными числами.

Набор собственных чисел в данной базе $b$ бесконечен и имеет положительную асимптотическую плотность : когда $b$ нечетно, эта плотность равна 1/2.

Рекуррентная формула

Следующее рекуррентное соотношение генерирует некоторые по основанию 10 собственные числа :

$C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8$

(при С ₁ = 9)

И для двоичных чисел:

$C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1\,$

(где j означает количество цифр) мы можем обобщить рекуррентное соотношение для генерации собственных чисел в любой базе b :

$C_{k}=(b-2)b^{k-1}+C_{k-1}+(b-2)\,$

в котором C ₁ = b − 1 для четных оснований и C ₁ = b − 2 для нечетных оснований.

Существование этих рекуррентных соотношений показывает, что для любой базы существует бесконечно много собственных чисел.

Тесты на самооценку

Редукционные тесты

Люк Пибоди показал (октябрь 2006 г.), что можно установить связь между свойством self большого числа n и младшей частью этого числа, скорректированной на суммы цифр:

1. В общем, n является самим собой тогда и только тогда, когда m = R( n )+SOD(R( n ))-SOD( n ) является самим собой.

   Где:

   R( n ) — самая маленькая правая цифра числа n , большая, чем 9.d( n ).

   d( n ) — количество цифр в n

   SOD( x ) — это сумма цифр x , функция S ₁₀ ( x ) сверху.

2. Если $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$, то n является самостоятельным тогда и только тогда, когда оба { m ₁ и m ₂ } отрицательны или самостоятельны.

   Где:

   м ₁ = с - СОД( а )

   м ₂ = СОД( а -1)+9 · b -( с +1)

3. Для простого случая a =1 и c =0 в предыдущей модели (т.е. $n=10^{b}$), то n является самостоятельным тогда и только тогда, когда (9· b -1) является самостоятельным

Эффективный тест

Капрекар продемонстрировал , что:

n является самим собой, если $\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)$

Где:

$\mathrm {DR} ^{*}(n)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {DR} (n)}{2}},&{\text{if }}\mathrm {DR} (n){\text{ is even}}\\{\frac {\mathrm {DR} (n)+9}{2}},&{\text{if }}\mathrm {DR} (n){\text{ is odd}}\end{cases}}$

${\begin{aligned}\mathrm {DR} (n)&{}={\begin{cases}9,&{\text{if }}\mathrm {SOD} (n)\mod 9=0\\\mathrm {SOD} (n)\mod 9,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\&{}=1+[(n-1)\mod 9]\end{aligned}}$

$\mathrm {SOD} (n)$ представляет собой сумму всех цифр числа n .

$d(n)$ количество цифр в n .

Самонумерации в определенных базах

Для с основанием 2 см получения информации о собственных числах . OEIS : A010061 . (записано в системе счисления 10)

Первые несколько чисел по основанию 10:

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 198 , , 211 , 222 , 233 , 244 , 255 , 266 , 277 , 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400 , 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... (последовательность A003052 в OEIS )

В системе счисления 12 собственные числа: (используя A и B для десяти и одиннадцати соответственно)

1, 3, 5, 7, 9, Б, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, А8, В9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1А9, 1БА, 20Б, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2АА, 2ББ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39А, 3АВ, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48А, 49Б, 4В0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57А, 58Б, 5А0, , ...

Самовсасывание

Самопростое число — это собственное число, которое является простым .

Первые несколько самопростых чисел по основанию 10:

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... (последовательность A006378 в OEIS )

Первые несколько самопростых чисел в базе 12:

3, 5, 7, Б, 31, 75, 255, 277, 2АА, 3БА, 435, 457, 58Б, 5Б1,...

В октябре 2006 года Люк Пибоди продемонстрировал, что самое большое известное простое число Мерсенна по основанию 10, которое в то же время является собственным числом, равно 2. ^24036583 −1. На тот момент это самое большое известное самопростое число в десятичной системе счисления по состоянию на 2006 год. .

Расширение для отрицательных целых чисел

Собственные числа можно расширить до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Отрывок из таблицы баз, где 2007 год — самостоятельный

Следующая таблица была рассчитана в 2007 году.

База	Сертификат	Сумма цифр
40	$1959=[1,8,39]_{40}$	48
41	—	—
42	$1967=[1,4,35]_{42}$	40
43	—	—
44	$1971=[1,0,35]_{44}$	36
44	$1928=[43,36]_{44}$	79
45	—	—
46	$1926=[41,40]_{46}$	81
47	—	—
48	—	—
49	—	—
50	$1959=[39,9]_{50}$	48
51	—	—
52	$1947=[37,23]_{52}$	60
53	—	—
54	$1931=[35,41]_{54}$	76
55	—	—
56	$1966=[35,6]_{56}$	41
57	—	—
58	$1944=[33,30]_{58}$	63
59	—	—
60	$1918=[31,58]_{60}$	89

Ссылки

• Капрекар, Д. Р. Математика новых самонумераций Девайали (1963): 19–20.
• Р.Б. Патель (1991). «Некоторые тесты на число k -самостоятелей». Математика. Студент . 56 : 206–210.
• Б. Рекаман (1974). «Проблема E2408». амер. Математика. Ежемесячно . 81 (4): 407. дои : 10.2307/2319017 . JSTOR   2319017 .
• Шандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 32–36. ISBN  1-4020-2546-7 . Збл   1079.11001 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Самонумерация» . Математический мир .