Прайм Хиггса

Простое число Хиггса , названное в честь Дениса Хиггса , представляет собой простое число с тотентом (на единицу меньше, чем простое число), которое равномерно делит квадрат произведения меньших простых чисел Хиггса. (Это можно обобщить на кубы, четвертые степени и т. д.) Говоря алгебраически, для данного показателя a простое число Хиггса Hp _n удовлетворяет условию

\phi (Hp_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ and }}Hp_{n}>Hp_{n-1}

где Φ( x ) — функция тотента Эйлера .

Для квадратов первые несколько простых чисел Хиггса — это 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... (последовательность A007459 в OEIS ). Так, например, 13 — это простое число Хиггса, потому что квадрат произведения меньших простых чисел Хиггса равен 5336100, а разделить на 12 — 444675. Но 17 не является простым числом Хиггса, потому что квадрат произведения меньших простых чисел равен 901800900, что дает остаток 4 при делении на 16.

Из наблюдения за первыми несколькими простыми числами Хиггса для квадратов до седьмых степеней было бы более компактно перечислить те простые числа, которые не являются простыми числами Хиггса:

Экспонента	75-е простое число Хиггса	Не простое число Хиггса ниже 75-го простого числа Хиггса
2	797	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773
3	509	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487
4	409	97, 193, 257, 353, 389
5	389	193, 257
6	383	257
7	383	257

Наблюдение далее показывает, что простое число Ферма $2^{2^{n}}+1$ не может быть простым числом Хиггса в степени a , если a меньше 2 ^н.

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Хиггса для любого показателя степени больше 1. Совсем иная ситуация наблюдается при a = 1. Их всего четыре: 2, 3, 7 и 43 (последовательность подозрительно похожа на последовательность Сильвестра ). Беррис и Ли (1993) обнаружили, что около одной пятой простых чисел меньше миллиона являются простыми числами Хиггса, и пришли к выводу, что даже если последовательность простых чисел Хиггса для квадратов конечна, «компьютерное перебор невозможен».

Ссылки [ править ]

Беррис, С.; Ли, С. (1993). «Школьные идентичности Тарского». амер. Математика. Ежемесячно . 100 (3): 231–236 [с. 233]. дои : 10.1080/00029890.1993.11990393 . JSTOR 2324454 .
Слоан, Н.; Плуфф, С. (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-558630-2 . М0660

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Стерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	Айронстоун прайм Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталанский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупервоклассный Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел