Список простых чисел
Это список статей о простых числах . Простое число (или простое число ) — это натуральное число , большее 1, которое не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя. По теореме Евклида существует бесконечное количество простых чисел. Подмножества простых чисел могут быть созданы с помощью различных формул для простых чисел . Ниже перечислены первые 1000 простых чисел, за которыми следуют списки известных типов простых чисел в алфавитном порядке с указанием соответствующих первых членов. 1 не является ни простым, ни составным .
Первые 1000 простых чисел [ править ]
В следующей таблице перечислены первые 1000 простых чисел с 20 столбцами последовательных простых чисел в каждой из 50 строк. [1]
(последовательность A000040 в OEIS ).
сообщает Проект проверки гипотезы Гольдбаха , что он вычислил все простые числа меньше 4 × 10. 18 . [2] Это означает 95 676 260 903 887 607 простых чисел. [3] (около 10 17 ), но они не сохранились. Существуют известные формулы, позволяющие вычислять функцию подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньших заданного значения) быстрее, чем вычисление простых чисел. Это было использовано для вычисления того, что существует 1 925 320 391 606 803 968 923 простых чисел (примерно 2 × 10 21 ) меньше 10 23 . Другое вычисление показало, что существует 18 435 599 767 349 200 867 866 простых чисел (примерно 2 × 10 22 ) меньше 10 24 , если гипотеза Римана верна. [4]
Списки простых чисел по типам [ править ]
Ниже перечислены первые простые числа многих названных форм и типов. Подробности в статье к названию. n — натуральное число (включая 0) в определениях.
Сбалансированные простые числа [ править ]
Простые числа с одинаковыми промежутками между простыми числами, так что они равны среднему арифметическому ближайших простых чисел после и перед.
- 5 , 1907 , 2287 , 2417 , 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637 , . 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 А006562 )
Простые числа Белла [ править ]
Простые числа — это количество разделов набора из n членов.
2 , 5 , 877 , 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Следующий член имеет 6539 цифр. ( ОЭИС : A051131 )
Чен простые числа [ править ]
Где p — простое число, а p +2 — простое или полупростое число .
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 47 , 53 , 59 , 67 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 109 , 113 , 7 , 131 , 137 , 139 , 149 , 157 , 167 , 179 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 269 263 , 281 , , , 3 307 29 , 311 , 317 , 337 , 347 , 353 , 359 , 379 , 389 , 401 , 409 ( OEIS : A109611 )
Круглые простые числа [ править ]
Круговое простое число — это число, которое остается простым при любом циклическом повороте своих цифр (по основанию 10).
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 197 , 199 , 311 , 337 , 373 , 719 , 733 , 919 , 71 , 991 , 1193 , 1931 , 3119 , 3779 , 7793 , 7937 , 9311 , 9377 , 11939 , 19391 , 19937 , 71993 , 39119 , 91193 , 93719 , 331999 , 99371 , 193939 , 199933 , 319993 , , , 391939 , 37199 393919 93 911 , 919393 , 933199 , 939193 , 939391 , 993319 , 999331 ( ОЭИС : A068652 )
В некоторых источниках в каждом цикле перечисляются только наименьшие простые числа, например, в списке 13, но отсутствует 31 ( OEIS действительно называет эту последовательность круговыми простыми числами, а не приведенную выше последовательность):
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 37 , 79 , 113 , 197 , 199 , 337 , 1193 , 3779 , 11939 , 19937 , 111111111 , 193939 , 199933 1111111111 ( , 11111111111111111111111 OEIS : A016114 )
Все простые числа повторения являются круглыми.
Кластерные простые числа [ править ]
Кластерное простое число — это простое число p такое, что каждое четное натуральное число k ≤ p − 3 является разницей двух простых чисел, не превосходящих p .
3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , ... ( OEIS : A038134 )
Все нечетные простые числа от 3 до 89 включительно являются кластерными простыми числами. Первые 10 простых чисел, не являющихся кластерными простыми числами:
2 , 97 , 127 , 149 , 191 , 211 , 223 , 227 , 229 , 251 .
Двоюродные простые числа [ править ]
Где ( p , p + 4) оба простые числа.
( 3 , 7 ), ( 7 , 11 ), ( 13 , 17 ), ( 19 , 23 ), ( 37 , 41 ), ( 43 , 47 ), ( 67 , 71 ), ( 79 , 83 ), ( 97 , 101 ), ( 103 , 107 ), ( 109 , 113 ), ( 127 , 131 ), ( 163 , 167 ), ( 193 , 197 ), ( 223 , 227 ), ( 229 , 233 ), ( 277 , 281 ) ( OEIS : A023200 , OEIS : A046132 )
Кубинские премии [ править ]
По форме где х = у + 1.
7 , 19 , 37 , 61 , 127 , 271 , 331 , 397 , 547 , 631 , 919 , 1657 , 1801 , 1951 , 2269 , 2437 , 2791 , 4219 , 4447 , 5167 , 5419 , , , 6211 7057 , , 3169 3571 7351 , 8269 , 9241 , 10267 , 11719 , 12097 , 13669 , 16651 , 22447 , 19927 , 19441 , 24571 , 25117 , 26227 , 27361 , 33391 , , OEIS 33391 35317 : ( ) A002407 23497
По форме где х = у + 2.
13 , 109 , 193 , 433 , 769 , 1201 , 1453 , 2029 , 3469 , 3889 , 4801 , 10093 , 13873 , 12289 18253 , 20173 , 21169 , 28813 , 89 , 37633 , 43201 , 47629 , 60493 , 63949 , 65713 , 221 , 69313 , 73009 , 76801 , 84673 , 106033 , 108301 , 112909 , 115249 ( OEIS : A002648 )
Каллен простые числа [ править ]
Вида n ×2 н + 1.
3 , 393050634124102232869567034555427371542904833 ( OEIS : A050920 )
Двугранные простые числа [ править ]
Простые числа, которые остаются простыми, если читать их в перевернутом виде или зеркально отображать на семисегментном дисплее .
2 , 5 , 11 , 101 , 181 , 1181 , 1811 , 18181 , 108881 , 110881 , 118081 , 120121 , 121021 , 121151 , 150151 , 151051 , 151121 , 180181 , 180811 , 181081 ( OEIS : A134996 )
числа Эйзенштейна мнимой без Простые части
Целые числа Эйзенштейна , являющиеся неприводимыми и действительными числами (простые числа вида 3 n - 1).
2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 113 , 131 , 137 , 149 , 167 , 173 , 179 , 191 , 197 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 263 , 269 , 281 , 293 , 311 , 317 , 347 , 353 , 359 , 383 , 389 , 401 ( OEIS : A003627 )
Эмиры [ править ]
Простые числа, которые становятся другими простыми числами, когда их десятичные цифры меняются местами. Название «Эмирп» является противоположностью слова «Прайм».
13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 107 , 113 , 167 , 179 , 733 , 199 , 739 311 337 , 347 , 359 , 389 , , , 701 , 709 733 , 739 743 743, 751 , 761 , 769 , 907 , 937 , 941 , 953 , 967 , 971 , 983 , 991 ( OEIS : A006567 )
Евклидовые простые числа [ править ]
Вида p n # + 1 (подмножество первоначальных простых чисел ).
3 , 7 , 31 , 211 , 2311 , 200560490131 ( OEIS : A018239 [5] )
Нерегулярные простые числа Эйлера [ править ]
Премьер которое делит число Эйлера для некоторых .
19 , 31 , 43 , 47 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 137 , 139 , 149 , 193 , 223 , 241 , 263 , 251 , 277 , 307 , 311 , 353 , 359 373 379 , , , , 349 419 , 433 , 461 , 463 , 491 , 509 , 541 , 563 , 571 , 577 , 587 ( OEIS : A120337 )
Эйлер ( p , p − 3) неправильные простые числа [ править ]
Простые числа такой, что является нерегулярной парой Эйлера.
149 , 241 , 2946901 ( OEIS : A198245 )
Факториал простых чисел [ править ]
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 719 , 5039 , 39916801 , 479001599 , 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636 308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 ( OEIS : A088054 )
Простые числа Ферма [ править ]
формы 2 2 н + 1.
3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )
По состоянию на июнь 2024 г. [update]это единственные известные простые числа Ферма и, предположительно, единственные простые числа Ферма. Вероятность существования еще одного простого числа Ферма составляет менее одного на миллиард. [6]
Обобщенные Ферма числа простые
формы а 2 н + 1 для фиксированного целого числа a .
а = 2: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )
а = 8: (не существует)
а = 12:13
а = 14: 197
а = 18:19
а = 20: 401 , 160001
а = 22:23
а = 24: 577 , 331777
Простые числа Фибоначчи [ править ]
Простые числа в последовательности Фибоначчи F 0 = 0, F 1 = 1, F п знак равно F п -1 + F п -2 .
2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 , 1597 , 28657, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169 191347024 00093278081449423917 ( OEIS : A005478 )
Удачные простые числа [ править ]
Счастливые числа , которые являются простыми (предполагалось, что все они таковы).
3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 37 , 47 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 89 , 101 , 103 , 107 , 109 , 127 , 151 , 157 , 163 , 7 , 191 , 197 , 199 , 223 , 229 , 233 , 239 , 271 , 277 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 331 , 353 , 373 , 379 , 383 , 397 ( OEIS : A0460 66 )
Гауссовы простые числа [ править ]
Простые элементы гауссовских целых чисел; эквивалентно, простые числа вида 4 n + 3.
3 , 7 , 11 , 19 , 23 , 31 , 43 , 47 , 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 , 127 , 131 , 139 , 151 , 163 , 167 , 179 , 191 199 , , 211 , 223 , 227 , 239 , 251 , 263 , 271 , 283 , 307 , 311 , 331 , 347 , 359 , 379 , 367 , 383 , 419 , 431 , 439 , 443 , 463 , 46 7 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503 ( ОЭИС : A002145 )
Хорошие простые числа [ править ]
Простые числа p n, для которых p n 2 > p n − i p n + i для всех 1 ≤ i ≤ n −1, где p n — n -е простое число.
5 , 11 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 127 , 149 , 179 , 191 , 223 , 227 , 251 , 257 , 269 , 307 ( ОЭИС : A028388 )
Счастливые простые числа [ править ]
Счастливые числа, которые являются простыми.
7 , 13 , 19 , 23 , 31 , 79 , 97 , 103 , 109 , 139 , 167 , 193 , 239 , 263 , 293 , 313 , 331 , 367 , 379 , 383 , 397 , 409 487 563 , 617 , , , 653 , 673 , 683 , 709 , 739 , 761 , 863 , 881 , 937 , 907 , 1009 , 1033 , 1039 , 1093 ( OEIS : A035497 )
Гармонические простые числа [ править ]
Простые числа p , для которых нет решений уравнений H k ≡ 0 (mod p ) и H k ≡ − ω p (mod p ) для 1 ≤ k ≤ p −2, где H k обозначает номер k -й гармоники , а ω p обозначает коэффициент Вольстенхолма . [7]
5 , 13 , 17 , 23 , 41 , 67 , 73 , 79 , 107 , 113 , 139 , 149 , 157 , 179 , 191 , 193 , 223 , 239 , 241 , 263 , 277 , 281 , 293 307 , , , 251 311 , 317 , 331 , 337 , 349 ( ОЭИС : A092101 )
Хиггса квадратов для Простые числа
Простые числа p , для которых p − 1 делит квадрат произведения всех предыдущих членов.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 107 , 127 , 131 , 139 , 1 49 , 151 , 157 , 173 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 223 , 229 , 263 , 269 , 277 , 283 , 311 , 317 , 331 , 347 , 349 ( OEIS : A00 745 9 )
Простые числа с высокой степенью взаимосвязи [ править ]
Простые числа, которые являются коэффициентом чаще, чем любое целое число ниже него, кроме 1.
2 , 23 , 47 , 59 , 83 , 89 , 113 , 167 , 269 , 389 , 419 , 509 , 659 , 839 , 1049 , 1259 , 1889 ( OEIS : A105440 )
Домашние простые числа [ править ]
Для n ≥ 2 запишите простую факторизацию n по основанию 10 и объедините факторы; повторять до тех пор, пока не будет достигнуто простое число.
2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, 31, 241271, 311, 31397, 1129, 71129, 37, 373, 313, 3314192745739, 41, 379, 43, 22815088913, 3411949, 223, 47, 6161791591356884791277 ( OEIS : A037274 )
Неправильные простые числа [ править ]
Нечетные простые числа p , делящие номер класса p - го кругового поля .
37 , 59 , 67 , 101 , 103 , 131 , 149 , 157 , 233 , 257 , 263 , 271 , 283 , 293 , 307 , 311 , 347 , 353 , 379 , 389 , 401 , 409 , 421 433 , , 461 , 463 , 467 , 491 , 523 , 541 , 547 , 557 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 ( OEIS : A000928 )
( p , p − 3) неправильные простые числа [ править ]
(См. простое число Вольстенхолма )
( p , p − 5) неправильные простые числа [ править ]
Простые числа p такие, что ( p , p −5) — неправильная пара. [8]
( p , p − 9) неправильные простые числа [ править ]
Простые числа p такие, что ( p , p − 9) — неправильная пара. [8]
Изолированные простые числа [ править ]
Простые числа p такие, что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми.
2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , 113 , 127 , 131 , 157 , 163 , 167 , 173 , 211 , 223 , 233 , 257 , 63 , 2 277 , 293 251 , , 307 , 317 , 331 , 337 , 353 , 359 , 367 , 373 , 389 , 397 , 439 , 401 , 409 , 443 , 449 , 457 , 467 , 479 7 48 , , 491 , 499 , 503 , 509 , , 541 , 547 , 557 , 563 , 577 , 587 , 593 , 631 , 647 , 653 , 673 743 751 , 677 , 683 , 691 , 701 , 709 , 719 , 727 , 73 , 739 , 3 , , 751 757 , 761 , 769 , 773 , 787 , 797 , 839 , 853 , 863 , 877 , 929 , 919 , 911 , 937 , 941 , 947 , 953 , 967 , 971 , 97 , 7 983 , 991 , 991 997 ( : ОЭИС А007510 )
Простые числа Лейланда [ править ]
формы х и + и Икс , при этом 1 < x < y .
17 593 32993 2097593 8589935681 59604644783353249 523347633027360537213687137 193 ( OEIS : A094133 )
Длинные простые числа [ править ]
Простые числа p , для которых по данному основанию b , дает циклическое число . Их еще называют полными рептендными простыми числами. Простые числа p по основанию 10:
7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 263 , 269 313 337 , , , , 257 367 , 379 , 383 , 389 , 419 , 433 , 461 , 487 , 499 , 503 , 509 , 541 , , 571 , , 577 593 : ( OEIS A001913 ) 491
Лукас editпростые числа
Простые числа в числовой последовательности Люка L 0 = 2, L 1 = 1, L п знак равно L п -1 + L п -2 .
2 , [9] 3 , 7 , 11 , 29 , 47 , 199 , 521 , 3571 , 9349 , 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 56007482938 01, 88846502588399, 32361122672259149 ( OEIS : A005479 )
Счастливые простые числа [ править ]
Счастливые числа, которые являются простыми.
3 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 67 , 73 , 79 , 127 , 193 , 163 , 151 , 211 , 223 , 241 , 283 , 307 , 331 , 349 , 367 , 409 , 2 1 433 , , 463 , 487 , 541 , 577 , 601 , 613 , 619 , 631 , 643 , 673 , 727 , 739 , 769 , 787 , 823 , 883 , 937 , 991 , 997 ( OEIS : A031157 )
Мерсенна [editПростые числа
формы 2 н − 1.
3 , 7 , 31 , 127 , 8191 , 131071 , 524287 , 2147483647 , 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213 363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727 ( OEIS : A000668 )
По состоянию на 2018 год [update], известно 51 простое число Мерсенна. 13-я, 14-я и 51-я имеют соответственно 157, 183 и 24 862 048 цифр.
По состоянию на 2018 год [update], этот класс простых чисел также содержит самое большое известное простое число: M 82589933 , 51-е известное простое число Мерсенна.
Делители Мерсенна [ править ]
Простые числа p , делящие 2 н − 1, для некоторого простого числа n.
3, 7, 23, 31, 47, 89, 127, 167, 223, 233, 263, 359, 383, 431, 439, 479, 503, 719, 839, 863, 887, 983, 1103, 1319, 1367, 1399, 1433, 1439, 1487, 1823, 1913, 2039, 2063, 2089, 2207, 2351, 2383, 2447, 2687, 2767, 2879, 2903, 2999, 3023, 3119, 67, 3343 ( OEIS : A122094 )
Все простые числа Мерсенна по определению являются членами этой последовательности.
показатели Мерсенна Простые
Простые числа p такие, что 2 п − 1 — простое число.
2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 31 , 61 , 89 , 107 , 127 , 521 , 607 , 1279 , 2203 , 2281 , 3217 , 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 , 57885161 ( OEIS : A000043 )
По состоянию на декабрь 2018 г. [update], известно, что в последовательности есть еще три, но неизвестно, являются ли они следующими:
74207281, 77232917, 82589933
Двойные простые числа Мерсенна [ править ]
Подмножество простых чисел Мерсенна вида 2 2 п −1 − 1 для простого числа p .
7 , 127 , 2147483647 , 170141183460469231731687303715884105727 (простые числа в OEIS : A077586 )
Обобщенные простые числа повторения [ править ]
По форме ( а н - 1) / ( a - 1) для фиксированного целого числа a .
Для a = 2 это простые числа Мерсенна, а для a = 10 — простые числа повторения . Для других малых a они приведены ниже:
а = 3: 13 , 1093 , 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 ( OEIS : A07648 1 )
а = 4: 5 (единственное простое число для а = 4)
а = 5: 31 , 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 1469367938527859384960920671527807097273331945965 1094018859396328480215743184089660644531 ( OEIS : A086122 )
а = 6: 7 , 43 , 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371 ( OEIS : A165210 )
а = 7: 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537 320447270457
а = 8:73 = 8 (единственное простое число для а )
а = 9: ничего не существует
и вариации Другие обобщения
Были определены многие обобщения простых чисел Мерсенна. Сюда входит следующее:
- Простые числа формы b н - ( б - 1) н , [10] [11] [12] включая простые числа Мерсенна и кубинские простые числа как особые случаи
- Простые числа Вильямса вида ( b − 1)· b н − 1
Простые числа Миллса [ править ]
В форме ⌊θ 3 н ⌋, где θ — постоянная Миллса. Эта форма является простой для всех положительных целых чисел n .
2 , 11 , 1361 , 2521008887, 16022236204009818131831320183 ( OEIS : A051254 )
Минимальные простые числа [ править ]
Простые числа, для которых нет более короткой подпоследовательности десятичных цифр, образующих простое число. Существует ровно 26 минимальных простых чисел:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409 , 881 9949, 60649, 946669, 60000049, 66000049 , 9001 , 991 , , , 6469, 6949, 9049, 9649 66600049 ( ОЭИС : A071062 )
Ньюмана-Шенкса- числа Простые Вильямса
Простые числа Ньюмана–Шенкса–Вильямса.
7 , 41 , 239 , 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599 ( OEIS : A088165 )
Нещедрые простые числа [ править ]
Простые числа p , для которых наименьший положительный примитивный корень не является примитивным корнем числа p 2 . Известны три таких простых числа; неизвестно, есть ли еще. [13]
2 , 40487, 6692367337 ( ОЭИС : A055578 )
Палиндромные простые числа [ править ]
Простые числа, которые остаются неизменными, если их десятичные цифры читать задом наперед.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 10301, 1, 1 0601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741 ( OEIS : A002385 )
Палиндромные простые числа крыльев [ править ]
Простые числа формы с . [14] Это означает, что все цифры, кроме средней, равны.
101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 11311, 11411, 33533, 77377, 7747, 7, 77977, 1114111, 1117111, 3331333, 3337333 , 7772777, 7774777, 7778777, 111181111, 111191111, 777767777, 77777677777, 99999199999 ( OEIS : A077798 )
Простые числа разделов [ править ]
Значения функции статистической суммы, которые являются простыми.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 17977, 10619863, 6620830889, 80630964769, 228204732751, 1171432692373, 1398341745571, 109637072 05259, 15285151248481, 10657331232548839, 790738119649411319, 18987964267331664557 ( OEIS : A049575 )
Тонкая кожа [ править ]
Простые числа в числовой последовательности Пелля P 0 = 0, P 1 = 1, п п знак равно 2 п п -1 + п п -2 .
2 , 5 , 29 , 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 412563688856254886 8221559797461449 ( OEIS : A086383 )
Перестановочные простые числа [ править ]
Любая перестановка десятичных цифр является простым числом.
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311 , 337 , 733 373 , 919 , 991 , , 1111111 111111111111, 11111111111111111111111 ( OEIS : А003459 )
Перрин editпростые числа
Простые числа в числовой последовательности Перрена P (0) = 3, P (1) = 0, P (2) = 2, п ( п ) = п ( п - 2) + п ( п - 3).
2 , 3 , 5 , 7 , 17 , 29 , 853 , 14197 , 43721 , 1442968193, 79260655396977, 187278659180417234321, 662411604887 8014107157 9864797 ( ОЭИС : A074788 )
Простые числа Пьерпонта [ править ]
формы 2 в 3 v + 1 for some integers u , v ≥ 0.
Это также простые числа класса 1 .
2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487 , 577 , 769 , 1153 , 1459 , 2593 , 2917 3457 3889 , , , , 1297 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537 , 139969, 147457 ( OEIS : A005109 )
Простые числа Пиллаи [ править ]
Простые числа p , для которых существуют n > 0 такие, что p делит n ! + 1 и n не делит p − 1.
23 , 29 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 83 , 109 , 137 , 139 , 149 , 193 , 227 , 233 , 239 , 271 , 257 , 269 , 277 , 293 307 311 , , , , 317 , 251 359 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 419 , 431 , 449 , 461 , 463 , 467 , 479 , 499 ( OEIS : A063980 )
Простые числа формы n 4 + 1 [ править ]
2 , 17 , 257 , 1297 , 65537 , 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 452 ( ОЭИС : A037896 )
Первобытные простые числа [ править ]
Простые числа, для которых существует больше простых перестановок некоторых или всех десятичных цифр, чем для любого меньшего числа.
2 , 13 , 37 , 107 , 113 , 137 , 1013 , 1237 , 1367 , 10079 ( OEIS : A119535 )
Первичные простые числа [ править ]
Вида p n #±1.
3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (союз OEIS : A057705 и OEIS : A018239 [5] )
Простые числа Прота [ править ]
Вида k ×2 н + 1, с нечетным k и k < 2 н .
3 , 5 , 13 , 17 , 41 , 97 , 113 , 193 , 241 , 257 , 577 , 641 2689 2753 , 673 , 769 , 929 , 1153 , 1217 , 1409 , 1601 , , 2113 , , 2689 , 3137 , 3137, 3329 , 3457 , 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 ( OEIS : A080076 )
Пифагоровы простые числа [ править ]
Вида 4 n + 1.
5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 , 149 , 157 , 173 , 181 , 193 , 197 , 229 , 3 , 241 , 257 , 269 , 277 , 281 , 293 , 313 , 317 , 337 , 349 , 353 , 373 , 389 , 397 , 401 , 409 , 421 , 433 , 449 ( OEIS : A002144 )
Простые четверки [ править ]
Где ( p , p +2, p +6, p +8) все простые.
( 5 , 7 , 11 , 13 ), (11, 13, 17 , 19 ), ( 101 , 103 , 107 , 109 ), ( 191 , 193 , 197 , 199 ), ( 821 , 823 , 827 , 829 ), ( 1481 , 1483 , 1487 , 1489 ), ( 1871 , 1873 , 1877 , 1879 ), ( 2081 , 2083 , 2087 , 2089 ), ( 3251 , 3253 , 3257 , 3259 ), ( 3461) , 3463 , 3467 , 3469 ), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439) ( OEIS : A007530 , OEIS : A136720 , OEIS : A136721 , OEIS : A090258 )
Квартанные премии [ править ]
формы х 4 + и 4 , где х , у > 0.
2 , 17 , 97 , 257 , 337 , 641 , 881 ( OEIS : A002645 )
Простые числа Рамануджана [ править ]
Наименьшие целые числа R n , дающие не менее n простых чисел от x /2 до x для всех x ≥ R n (все такие целые числа являются простыми числами).
2 , 11 , 17 , 29 , 41 , 47 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 107 , 149 , 127 , 151 , 167 , 179 , 181 , 227 , 229 , 233 , 239 , 2 41 , 263 , 269 , 281 , 307 , 311 , 347 , 349 , 367 , 373 , 401 , 409 , 419 , 431 , 433 , 439 , 461 , 487 , 491 ( OEIS : A104272 )
Обычные простые числа [ править ]
Простые числа p , не делящие номер класса p - го кругового поля .
3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 43 , 47 , 53 , 61 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 107 , 109 , 113 , 7 , 137 , 139 , 151 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , 239 241 , 251 , 269 , ОЭИС 7 27 , 281 ( A007703 : ) ,
Восстановить простые числа [ править ]
Простые числа, содержащие только десятичную цифру 1.
11 , 1111111111111111111 (19 цифр), 11111111111111111111111 (23 цифры) ( OEIS : A004022 )
Следующие имеют 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 цифры ( OEIS : A004023 ).
Классы вычетов простых чисел [ править ]
В форме an + d для фиксированных целых чисел a и d . Также называются простыми числами, конгруэнтными d по модулю a .
Простые числа вида 2 n +1 — это нечетные простые числа, включая все простые числа, кроме 2. Некоторые последовательности имеют альтернативные названия: 4 n +1 — простые числа Пифагора, 4 n +3 — целые простые числа Гаусса и 6 n +5. являются простыми числами Эйзенштейна (2 опущено). Классы 10 n + d ( d = 1, 3, 7, 9) — это простые числа, оканчивающиеся десятичной цифрой d .
2 n +1: 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 ( OEIS : A065091 )
4 n +1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 ( OEIS : A002144 )
4 n 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 : , ( OEIS +3: 3 , A002145 )
6 n +1: 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127 , 139 ( OEIS : A002476 )
6 n +5: 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113 ( OEIS : A007528 )
8 n +1: 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193 , 233 , 241 , 257 , 281 , 313 , 337 , 353 ( OEIS : A007519 )
8 n +3: 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131 , 139, 163 , 179 , 211 , 227 , 251 ( OEIS : A007520 )
8 n +5: 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 157 , 173 , 181 , , , 197 229 , 269 149 ( OEIS : A007521 )
8 n +7: 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151 , 167 , 191 , 199 , 223 , 239 , 263 ( OEIS : A007522 )
10 n +1: 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, 211, 241, 251, 271 , 281 ( OEIS : A030430 )
10 n +3: 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, 173, 193, 223, 233, 263 ( OEIS : A030431 )
10 n +7: 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, 167, 197, 227, 257, 277 ( OEIS : A030432 )
10 n +9: 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229, 239, 269, 349 , 359 ( OEIS : A030433 )
12 n +1: 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, 241, 277, 313, 337, 349 ( OEIS : A068228 )
12 n +5: 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269 ( OEIS : A040117 )
12 n +7: 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, 163, 199, 211, 223, 271 ( OEIS : A068229 )
12 n +11: 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, 191, 227, 239, 251, 263 ( OEIS : A068231 )
Безопасные простые числа [ править ]
Где p и ( p −1)/2 оба простые.
5 , 7 , 11 , 23 , 47 , 59 , 83 , 107 , 179 , 227 , 263 , 347 , 359 , 383 , 479 , 467 , 503 , 563 , 587 , 719 , 839 , 863 , 887 , 983 , , 167 1019 , 1187 , 1283 , 1307 , 1319 , 1367 , 1439 , 1487 , 1523 , 1619 , 1823 , 1907 ( OEIS : A005385 )
Самовоспламенение по основанию 10 [ править ]
Простые числа, которые не могут быть созданы любым целым числом, добавленным к сумме его десятичных цифр.
3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , 233 , 277 , 367 , 389 , 457 , 479 , 547 , 569 , 613 , 659 , 727 , 839 , 883 , 929 , 1021 , 1087 , 1109 , 1223 , 1289 , 1447 , 1559 , 1627 , 1693 , 1783 , 1873 ( OEIS : A006378 )
Сексуальные простые числа [ править ]
Где ( p , p + 6) оба простые числа.
( 5 , 11 ), ( 7 , 13 ), (11, 17 ), (13, 19 ), (17, 23 ), (23, 29 ), ( 31 , 37 ), (37, 43 ), ( 41 , 47 ), (47, 53 ), (53, 59 ), ( 61 , 67 ), (67, 73 ), (73, 79 ), ( 83 , 89 ), ( 97 , 103 ), ( 101 , 107 ) ), (103, 109 ), (107, 113 ), ( 131 , 137 ), ( 151 , 157 ), (157, 163 ), ( 167 , 173 ), (173, 179 ), ( 191 , 197 ), ( 193 , 199 ) ( OEIS : A023201 , OEIS : A046117 )
Простые числа Смарандаша–Веллина [ править ]
Простые числа, представляющие собой конкатенацию первых n простых чисел, записанных в десятичном формате.
2 , 23 , 2357 ( ОЭИС : A069151 )
Четвертое простое число Смарандаша-Веллина представляет собой 355-значную конкатенацию первых 128 простых чисел, оканчивающихся на 719.
Простые числа Солинаса [ править ]
формы 2 а ± 2 б ± 1, где 0 < b < a .
3 , 5 , 7 , 11 , 13 ( ОЭИС : A165255 )
Софи Жермен Праймы [ править ]
Где p и 2 p + 1 оба простые. Простому числу Софи Жермен соответствует безопасное простое число .
2 , 3 , 5 , 11 , 23 , 29 , 41 , 53 , 83 , 89 , 113 , 131 , 173 , 179 , 191 , 233 , 239 , 251 , 281 , 293 , 359 , 419 , 443 , , 491 , 509 , 593 , 641 , 653 , 659 , 683 , 719 , 743 , 761 , 809 , 911 , 953 ( OEIS : A005384 )
Простые числа Штерна [ править ]
Простые числа, которые не являются суммой меньшего простого числа и удвоенного квадрата ненулевого целого числа.
2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977 , 1187 , 1493 ( OEIS : A042978 )
По состоянию на 2011 год [update], это единственные известные простые числа Штерна и, возможно, единственные существующие.
Суперпростые числа [ править ]
Простые числа с простыми индексами в последовательности простых чисел (2-е, 3-е, 5-е, ... простое число).
3 , 5 , 11 , 17 , 31 , 41 , 59 , 67 , 83 , 109 , 127 , 157 , 179 , 191 , 211 , 241 , , 277 , 283 , 331 , 353 , 367 , 401 4 31 , 461 , 509 , 547 , 563 , 587 , 599 , 617 , 709 , 739 , 773 , 797 , 859 , 877 , 919 , 967 , 991 ( OEIS : A006450 )
Суперсингулярные простые числа [ править ]
Существует ровно пятнадцать суперсингулярных простых чисел:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 47 , 59 , 71 ( OEIS : A002267 )
Это будет первый [ править ]
формы 3×2 н − 1.
2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 191 , 383 , 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 5534023222 1128654847, 226673591177742970257407 ( OEIS : A007505 )
Простые числа вида 3×2 н + 1 связаны.
7 , 13 , 97 , 193 , 769 , 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657 ( OEIS : A039687 )
Простые тройки [ править ]
Где ( p , p +2, p +6) или ( p , p +4, p +6) все простые.
( 5 , 7 , 11 ), (7, 11, 13 ), (11, 13, 17 ), (13, 17, 19 ), (17, 19, 23 ), ( 37 , 41 , 43 ), (41 , 43, 47 ), ( 67 , 71 , 73 ), ( 97 , 101 , 103 ), (101, 103, 107 ), (103, 107, 109 ), (107, 109, 113 ), ( 191 , 193 ). , 197 ), (193, 197, 199 ), ( 223 , 227 , 229 ), (227, 229, 233 ), ( 277 , 281 , 283 ), ( 307 , 311 , 313 ), (311, 313, 317 ), ( 347 , 349 , 353 ) ( OEIS : A007529 , OEIS : A098414 , OEIS : A098415 )
Усекаемое простое число [ править ]
Усекаемый слева [ править ]
Простые числа, которые остаются простыми после последовательного удаления ведущей десятичной цифры.
2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 23 , 37 , 43 , 47 , 53 , 67 , 73 , 83 , 97 , 113 , 137 , 167 , 173 , 197 , 223 , 283 , 313 , 337 , , 347 , 353 , 367 , 373 , 383 , 397 , 443 , 467 , 523 , 547 , 613 , 617 , 643 , 647 , 653 , 673 , 683 ( OEIS : A024785 )
Усекаемый вправо [ править ]
Простые числа, которые остаются простыми после последовательного удаления младшей десятичной цифры.
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 29 , 31 , 37 , 53 , 59 , 71 , 73 , 79 , 233 , 239 , 293 , 311 , 313 , 317 , 373 , 379 , 593 , 599 , 7 19 , 733 , 739 , 797 , 2333 , 2339 , 2393 , 2399 , 2939 , 3119 , 3137 , 3733 , 3739 , 3793 , 3797 ( OEIS : A024770 )
Двусторонний [ править ]
Простые числа, усекаемые как слева, так и справа. Существует ровно пятнадцать двусторонних простых чисел:
2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 37 , 53 , 73 , 313 , 317 , 373 , 797 , 3137 , 3797 , 739397 ( OEIS : A020994 )
Простые числа-близнецы [ править ]
Где ( p , p +2) оба простые числа.
( 3 , 5 ), (5, 7 ), ( 11 , 13 ), ( 17 , 19 ), ( 29 , 31 ), ( 41 , 43 ), ( 59 , 61 ), ( 71 , 73 ), ( 101 ) , 103 ), ( 107 , 109 ), ( 137 , 139 ), ( 149 , 151 ), ( 179 , 181 ), ( 191 , 193 ), ( 197 , 199 ), ( 227 , 229 ), ( 239 , 241 ), ( 269 , 271 ), ( 281 , 283 ), ( 311 , 313 ), ( 347 , 349 ), ( 419 , 421 ), ( 431 , 433 ), ( 461 , 463 ) ( OEIS : A001359 , OEIS : А006512 )
Уникальные простые числа [ править ]
Список простых чисел p , для которых длина периода десятичного разложения 1/ p уникальна (никакое другое простое число не дает такого же периода).
3 , 11 , 37 , 101 , 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111, 111 1111111111111111111, 900900900900990990990991 ( OEIS : A040017 )
Простые числа Вагстаффа [ править ]
По форме (2 н + 1) / 3.
3 , 11 , 43 , 683 , 2731 , 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243 ( OEIS : A000979 )
Значения n :
3, 5 , 7 , 11, 17 13, , 19 , 23 , 31 , 43, 61 , 79 , 101 , 127 , 167 , 191 , 199 , 313 , 347 , 701 , 1709 , 2617 , 3539 , 5807 , 10501 , 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321 ( OEIS : A000978 )
Простые числа Стена-Солнце-Солнце [ править ]
Простое число p > 5, если p 2 делит число Фибоначчи , где символ Лежандра определяется как
По состоянию на 2018 год [update], простые числа Стена-Солнце-Солнце неизвестны.
Слабо простые числа [ править ]
Простые числа, замена любой из цифр (по основанию 10) на любое другое значение всегда приводит к составному числу.
Простые числа Вифериха [ править ]
Простые числа p такие, что a п - 1 ≡ 1 (против p 2 ) для фиксированного целого числа a > 1.
2 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 1093 , 3511 ( OEIS : A001220 )
3 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 11 , 1006003 ( OEIS : A014127 ) [17] [18] [19]
4 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 1093 , 3511
5 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 ( OEIS : A123692 )
6 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 66161, 534851, 3152573 ( OEIS : A212583 )
7 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 5 , 491531 ( OEIS : A123693 )
8 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 3 , 1093 , 3511
9 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2 , 11 , 1006003
10 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 3 , 487 , 56598313 ( OEIS : A045616 )
11 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 71 [20]
12 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2693 , 123653 ( OEIS : A111027 )
13 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2 , 863 , 1747591 ( OEIS : A128667 ) [20]
14 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 29 , 353 , 7596952219 ( OEIS : A234810 )
15 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 29131, 119327070011 ( OEIS : A242741 )
16 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 1093 , 3511
17 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2 , 3 , 46021, 48947 ( OEIS : A128668 ) [20]
18 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 5 , 7 , 37 , 331 , 33923, 1284043 ( OEIS : A244260 )
19 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 3 , 7 , 13 , 43 , 137 , 63061489 ( OEIS : A090968 ) [20]
20 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 281 , 46457, 9377747, 122959073 ( OEIS : A242982 )
21 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2
22 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 13 , 673 , 1595813, 492366587, 9809862296159 ( OEIS : A298951 )
23 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 13 , 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 ( OEIS : A128669 )
24 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 5 , 25633
25 п - 1 ≡ 1 (против p 2 ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
По состоянию на 2018 год [update], это все известные простые числа Вифериха с a ≤ 25.
Простые числа Вильсона [ править ]
Простые числа p , для которых p 2 делит ( p −1)! + 1.
5 , 13 , 563 ( ОЭИС : A007540 )
По состоянию на 2018 год [update], это единственные известные простые числа Вильсона.
Простые числа Вольстенхолма [ править ]
Простые числа p , для которых биномиальный коэффициент
16843 , 2124679 ( ОЭИС : A088164 )
По состоянию на 2018 год [update], это единственные известные простые числа Вольстенхолма.
Простые числа Вудала [ править ]
Вида n ×2 н − 1.
См. также [ править ]
- Недопустимое простое число — число, представляющее незаконную информацию.
- Самое большое известное простое число
- Список крупнейших известных простых и вероятных простых чисел
- Список чисел - Известные числа
- Простой разрыв - разница между двумя последовательными простыми числами.
- Теорема о простых числах - Характеристика того, сколько целых чисел являются простыми
- Вероятное простое число – число, удовлетворяющее некоторым требованиям к простым числам.
- Псевдопростое число - вероятное простое число, составное.
- Сильный прайм
- Таблица простых коэффициентов
- пара Виферих
Ссылки [ править ]
- ^ Лемер, Д.Н. (1982). Список простых чисел от 1 до 10 006 721 . Том. 165. Вашингтон, округ Колумбия: Институт Карнеги в Вашингтоне. ОЛ 16553580М . ОЛ16553580М.
- ^ Томас Оливейра и Силва, Проверка гипотезы Гольдбаха. Архивировано 24 мая 2011 года в Wayback Machine . Проверено 16 июля 2013 г.
- ^ (последовательность A080127 в OEIS )
- ^ Йенс Франке (29 июля 2010 г.). «Условное вычисление числа пи(10 24 )" . Архивировано 24 августа 2014 года . Проверено 17 мая 2011 года .
- ^ Перейти обратно: а б OEIS : A018239 включает 2 = пустое произведение первых 0 простых чисел плюс 1, но 2 исключено из этого списка.
- ^ Боклан, Кент Д.; Конвей, Джон Х. (2016). «Ожидайте не более одной миллиардной части нового числа Ферма!». arXiv : 1605.01371 [ math.NT ].
- ^ Бойд, Д.В. (1994). « Радическое исследование частичных сумм гармонического ряда» . Экспериментальная математика . 3 (4): 287–302. дои : 10.1080/10586458.1994.10504298 . Збл 0838.11015 . CiteSeerX : 10.1.1.56.7026 . Архивировано из оригинала 27 января 2016 года.
- ^ Перейти обратно: а б Джонсон, В. (1975). «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты» . Математика вычислений . 29 (129). АМС : 113–120. дои : 10.2307/2005468 . JSTOR 2005468 .
- ^ Это зависит от того, ли L 0 = 2 в числа Люка. включено
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121091 (Наименьшее простое число в форме n^p - (n-1)^p, где p — нечетное простое число)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121616 (Простые числа формы (n+1)^5 - n^5)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121618 (простые числа Nexus порядка 7 или простые числа вида n^7 - (n-1)^7)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Пашкевич, Анджей (2009). «Новый премьер для которого наименее примитивный корень и наименее примитивный корень не равны» (PDF) . Math. Comp . 78 (266). Американское математическое общество: 1193–1195. Бибкод : 2009MaCom..78.1193P . doi : 10.1090/S0025-5718-08-02090-5 .
- ^ Колдуэлл, К. ; Дубнер, Х. (1996–97). «Ближайшие простые числа повторений , особенно ". Журнал развлекательной математики . 28 (1): 1–9.
- ^ Лал, М. (1967). «Простые числа формы n 4 + 1" (PDF) . Математика вычислений . 21. . AMS : 245–247. doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222007-9 ISSN 1088-6842 . Архивировано ( PDF) из оригинала 13 января 2015 г.
- ^ Бохман, Дж. (1973). «Новые простые числа вида n 4 + 1". BIT Numerical Mathematics . 13 (3). Springer: 370–372. doi : 10.1007/BF01951947 . ISSN 1572-9125 . S2CID 123070671 .
- ^ Рибенбойм, П. (22 февраля 1996 г.). Новая книга рекордов простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 347. ИСБН 0-387-94457-5 .
- ^ «Сравнение Мириманова: другие сравнения» . Проверено 26 января 2011 г.
- ^ Галло, Ю.; Мори, П.; Зудилин, В. (2011). «Уравнение Эрдеша-Мозера к + 2 к +...+ (м−1) к = м к пересмотрено с использованием цепных дробей» . Mathematics of Computation . 80. American Mathematical Society: 1221–1237. arXiv : 0907.1356 . doi : 10.1090/S0025-5718-2010-02439-1 . S2CID 16305654 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Рибенбойм, П. (2006). Мир простых чисел (PDF) . Берлин: Шпрингер. п. 240. ИСБН 3-540-34283-4 .
Внешние ссылки [ править ]
- Списки простых чисел на главных страницах.
- N-я простая страница. N-е простое число до n=10^12, от pi(x) до x=3*10^13, случайное простое число в том же диапазоне.
- Список простых чисел Полный список простых чисел до 10 000 000 000, частичный список до 400 цифр.
- Интерфейс к списку первых 98 миллионов простых чисел (простые числа менее 2 000 000 000)
- Вайсштейн, Эрик В. «Последовательности простых чисел» . Математический мир .
- Избранные последовательности, связанные с простыми числами, в OEIS .
- Фишер, Р. Тема: Фактор Ферма B^(P−1) == 1 (mod P^2) (на немецком языке) (перечисляет простые числа Вифериха по всем основаниям до 1052)
- Падилья, Тони. «Новое самое большое известное простое число» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 2 ноября 2021 года.