Номер гармоники

Чтобы узнать о других значениях, см. Номер гармоники (значения) .

Номер гармоники $H_{n}$ с $n=\lfloor x\rfloor$ (красная линия) со своим асимптотическим пределом $\gamma +\ln(x)$ (синяя линия), где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони .

В математике гармоническое n -е число представляет собой сумму обратных величин первым n натуральных чисел :

$$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$$

Начиная с n = 1 , начинается последовательность номеров гармоник:

$$1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots$$

Числа гармоник связаны со средним гармоническим числом в том смысле, что номер n -й гармоники также в n раз превышает среднее гармоническое первых n положительных целых чисел.

Гармонические числа изучаются с древности и играют важную роль в различных разделах теории чисел . Их иногда называют гармоническими рядами , они тесно связаны с дзета-функцией Римана и появляются в выражениях различных специальных функций .

Числа гармоник примерно аппроксимируют функцию натурального логарифма. и, таким образом, связанный с ним гармонический ряд растет безгранично, хотя и медленно. В 1737 году Леонард Эйлер использовал расхождение гармонического ряда , чтобы предоставить новое доказательство бесконечности простых чисел . Его работа была расширена на комплексную плоскость Бернхардом Риманом в 1859 году, что привело непосредственно к знаменитой гипотезе Римана о распределении простых чисел .

Когда стоимость большого количества предметов имеет распределение по закону Ципфа , общая стоимость n наиболее ценных предметов пропорциональна n -му номеру гармоники. Это приводит к множеству удивительных выводов относительно « длинного хвоста» и теории сетевой стоимости .

Теорема Бертрана-Чебышева подразумевает, что, за исключением случая n = 1 , числа гармоник никогда не являются целыми числами.

Первые 40 гармонических чисел показывать

n	Harmonic number, Hn
	expressed as a fraction		decimal	relative size
1	1		1	1
2	3	/2	1.5	1.5
3	11	/6	~1.83333	1.83333
4	25	/12	~2.08333	2.08333
5	137	/60	~2.28333	2.28333
6	49	/20	2.45	2.45
7	363	/140	~2.59286	2.59286
8	761	/280	~2.71786	2.71786
9	7 129	/2 520	~2.82897	2.82897
10	7 381	/2 520	~2.92897	2.92897
11	83 711	/27 720	~3.01988	3.01988
12	86 021	/27 720	~3.10321	3.10321
13	1 145 993	/360 360	~3.18013	3.18013
14	1 171 733	/360 360	~3.25156	3.25156
15	1 195 757	/360 360	~3.31823	3.31823
16	2 436 559	/720 720	~3.38073	3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~3.43955	3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~3.49511	3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~3.54774	3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~3.59774	3.59774
21	18 858 053	/5 173 168	~3.64536	3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~3.69081	3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~3.73429	3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~3.77596	3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~3.81596	3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~3.85442	3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~3.89146	3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~3.92717	3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~3.96165	3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~3.99499	3.99499
31	290 774 257 297 357	/72 201 776 446 800	~4.02725	4.02725
32	586 061 125 622 639	/144 403 552 893 600	~4.05850	4.0585
33	53 676 090 078 349	/13 127 595 717 600	~4.08880	4.0888
34	54 062 195 834 749	/13 127 595 717 600	~4.11821	4.11821
35	54 437 269 998 109	/13 127 595 717 600	~4.14678	4.14678
36	54 801 925 434 709	/13 127 595 717 600	~4.17456	4.17456
37	2 040 798 836 801 833	/485 721 041 551 200	~4.20159	4.20159
38	2 053 580 969 474 233	/485 721 041 551 200	~4.22790	4.2279
39	2 066 035 355 155 033	/485 721 041 551 200	~4.25354	4.25354
40	2 078 178 381 193 813	/485 721 041 551 200	~4.27854	4.27854

включающие номера

По определению числа гармоник удовлетворяют рекуррентному соотношению

$$H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.$$

Гармонические числа связаны с числами Стирлинга первого рода соотношением

$$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].$$

Номера гармоник удовлетворяют тождествам рядов

$$\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n$$

и

$$\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.$$

Эти два результата очень аналогичны соответствующим интегральным результатам.

$$\int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x$$

и

$$\int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.$$

Тождества π

Есть несколько бесконечных суммаций, включающих числа гармоник и степени π :

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}$$

Расчет

Интегральное представление Эйлера является

$$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.$$

Приведенное выше равенство легко вытекает из простого алгебраического тождества

$${\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.$$

Используя замену x = 1 − u , другое выражение для H _n :

$${\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}$$

График, демонстрирующий связь между гармоническими числами и натуральным логарифмом . Номер гармоники H _n можно интерпретировать как сумму Римана интеграла: $\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).$

Номер n- й гармоники примерно равен натуральному логарифму n . Причина в том, что сумма аппроксимируется интегралом

$$\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,$$

значение которого равно ln n .

Значения последовательности H _n − ln n монотонно убывают к пределу

$$\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,$$

где γ ≈ 0,5772156649 — постоянная Эйлера–Машерони . Соответствующее асимптотическое разложение имеет вид

$${\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}$$

где Bk _— числа Бернулли .

Генерирующие функции

для Производящая функция чисел гармоник:

$$\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},$$

где ln( z ) — натуральный логарифм . Экспоненциальная производящая функция – это

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)$$

где Ein( z ) — полный экспоненциальный интеграл . Экспоненциальный интеграл также можно выразить как

$$\operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z$$

где Γ(0, z ) — неполная гамма-функция .

Арифметические свойства

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Хорошо известно, что ${\textstyle H_{n}}$ является целым числом тогда и только тогда, когда ${\textstyle n=1}$, результат, который часто приписывают Тэзингеру. Действительно, используя 2-адическое нормирование , нетрудно доказать, что для ${\textstyle n\geq 2}$ числитель ${\textstyle H_{n}}$ является нечетным числом, а знаменатель ${\textstyle H_{n}}$ это четное число. Точнее,

$$H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$$

с некоторыми нечетными целыми числами ${\textstyle a_{n}}$ и ${\textstyle b_{n}}$.

Как следствие теоремы Вольстенхолма , для любого простого числа $p\geq 5$ числитель $H_{p-1}$делится на ${\textstyle p^{2}}$. Более того, Эйзенштейн доказал, что для всех нечетных простых чисел ${\textstyle p}$ оно держится

$$H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}$$

где ${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$ является фактором Ферма , и следствием этого является то, что ${\textstyle p}$ делит числитель $H_{(p-1)/2}$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle p}$ является простым числом Вифериха .

В 1991 году Ишваратасан и Левин определенный $J_{p}$ как набор всех положительных целых чисел $n$ такой, что числитель $H_{n}$ делится на простое число $p.$ Они доказали, что

$$\{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}$$

для всех простых чисел $p\geq 5,$ и они определили гармонические простые числа как простые числа ${\textstyle p}$ такой, что $J_{p}$ имеет ровно 3 элемента.

Ишваратасан и Левин также предположили, что $J_{p}$ является конечным множеством для всех простых чисел $p,$ и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд проверил, что $J_{p}$ конечно для всех простых чисел до $p=547$ кроме 83, 127 и 397; и он предложил эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел в множестве всех простых чисел должна быть равна $1/e$. Истинный показал, что $J_{p}$ имеет нулевую асимптотическую плотность , а Бин-Лин Ву и Юн-Гао Чен доказал, что количество элементов $J_{p}$ не превышающий $x$ самое большее $3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}$, для всех $x\geq 1$.

Приложения

Номера гармоник появляются в нескольких формулах расчета, таких как дигамма-функция.

$$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .$$

Это соотношение также часто используется для определения расширения чисел гармоник до нецелых чисел n . Числа гармоник также часто используются для определения γ с использованием введенного ранее предела:

$$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},$$

хотя

$$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}$$

сходится быстрее.

В 2002 году Джеффри Лагариас доказал что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что

$$\sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},$$

верно для любого целого числа n ≥ 1 со строгим неравенством, если n > 1 ; здесь σ ( n ) обозначает делителей n . сумму

Собственные значения нелокальной задачи

$$\lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy$$

даны $\lambda =2H_{n}$, где по соглашению $H_{0}=0$, а соответствующие собственные функции задаются полиномами Лежандра $\varphi (x)=P_{n}(x)$.

Обобщения

числа

Номер n- й обобщенной гармоники порядка m определяется выражением

$$H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.$$

(В некоторых источниках это также может обозначаться как ${\textstyle H_{n}^{(m)}}$ или ${\textstyle H_{m}(n).}$)

Частный случай m = 0 дает $H_{n,0}=n.$ Частный случай m = 1 сводится к обычному номеру гармоники:

$$H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$$

Предел ${\textstyle H_{n,m}}$ при n → ∞ конечно, если m > 1 , с обобщенным гармоническим числом, ограниченным и сходящимся к дзета-функции Римана

$$\lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).$$

Наименьшее натуральное число k такое, что k ^н не делит знаменатель номера обобщенной гармоники H ( k , n ), а знаменатель чередующегося номера обобщенной гармоники H ' ( k , n ) не равен для n = 1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма $\sum _{k=1}^{n}k^{m}$ встречается при изучении чисел Бернулли ; гармонические числа появляются также при изучении чисел Стирлинга .

Некоторые интегралы от чисел обобщенных гармоник:

$$\int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}$$

и

$$\int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},$$

где A — постоянная Апери ζ (3),и

$$\sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.$$

Каждое обобщенное гармоническое число порядка m можно записать как функцию чисел гармоник порядка $m-1$ с использованием

$$H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}$$

например: $H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}$

для Производящая функция чисел обобщенных гармоник:

$$\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},$$

где $\operatorname {Li} _{m}(z)$ — полилогарифм , а | г | < 1 . Приведенная выше производящая функция для m = 1 является частным случаем этой формулы.

Дробный аргумент для обобщенных чисел гармоник можно ввести следующим образом:

Для каждого $p,q>0$ целое число и $m>1$ целое или нет, мы имеем из полигамма-функций:

$$H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}$$

где $\zeta (m)$ — дзета-функция Римана . Соответствующее рекуррентное соотношение

$$H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.$$

Некоторые особые значения

$${\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}$$

где G — константа Каталана . В частном случае, когда $p=1$, мы получаем

$$H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),$$

где $\zeta (m,n)$ – дзета -функция Гурвица . Это соотношение используется для численного расчета номеров гармоник.

Формулы умножения

Теорема умножения применима к гармоническим числам. Используя полигамма -функции, получаем

$${\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}$$

или, в более общем смысле,

$$H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.$$

Для обобщенных чисел гармоник имеем

$${\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}$$

где $\zeta (n)$ — дзета-функция Римана .

Гипергармонические числа

Следующее обобщение обсуждалось Дж. Х. Конвеем и Р. К. Гаем в их книге «Книга чисел» 1995 года . Позволять

$$H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.$$

Тогда n-е гипергармоническое число порядка r ( r>0 ) определяется рекурсивно как

$$H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.$$

В частности, $H_{n}^{(1)}$ это обычный номер гармоники $H_{n}$.

числа

Римские гармонические числа , названные в честь Стивена Романа , были представлены Даниэлем Лебом и Джан-Карло Ротой в контексте обобщения умбрального исчисления с логарифмами. Существует множество возможных определений, но одно из них — $n,k\geq 0$, является

$$c_{n}^{(0)}=1,$$

и

$$c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.$$

Конечно,

$$c_{n}^{(1)}=H_{n}.$$

Если $n\neq 0$, они удовлетворяют

$$c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.$$

Формулы закрытой формы

$$c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),$$

где $s(-n,k)$ - числа Стирлинга первого рода , обобщенные на отрицательный первый аргумент, и

$$c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},$$

который нашел Дональд Кнут .

Фактически, эти числа были определены в более общем виде с использованием римских чисел и римских факториалов , которые включают отрицательные значения для $n$. Это обобщение было полезно в их исследовании по определению гармонических логарифмов .

Гармонические числа для действительных и комплексных значений

Формулы, приведенные выше,

$$H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}$$

являются интегралом и последовательным представлением функции, которая интерполирует гармонические числа и посредством аналитического продолжения расширяет определение на комплексную плоскость, отличную от отрицательных целых чисел x . Интерполирующая функция на самом деле тесно связана с дигамм-функцией.

$$H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,$$

где ψ ( x ) — дигамма-функция, а γ — постоянная Эйлера–Машерони . Процесс интегрирования можно повторить, чтобы получить

$$H_{x,2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{x \choose k}H_{k}.$$

Ряд Тейлора для чисел гармоник равен

$$H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1$$

который получается из ряда Тейлора для дигамма-функции ( $\zeta$ – дзета-функция Римана ).

Альтернативная

При попытке аппроксимировать H _x для комплексного числа   x эффективно сначала вычислить H _m для некоторого большого целого числа m . Используйте это как приближение значения H _{m + x} . Затем используйте рекурсивное соотношение H _n = H _{n −1} + 1/ n назад m раз, чтобы развернуть его до приближения для H _x . Более того, это приближение является точным в пределе, когда m стремится к бесконечности.

В частности, для фиксированного целого числа n это тот случай, когда

$$\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.$$

Если n не является целым числом, невозможно сказать, верно ли это уравнение, поскольку мы еще (в этом разделе) не определили числа гармоник для нецелых чисел. Однако мы получаем уникальное расширение гармонических чисел до нецелых чисел, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число n заменяется произвольным комплексным числом x ,

$$\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.$$

Поменяв местами порядок двух частей этого уравнения и затем вычитая их из H _x, получим

$${\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}$$

Этот бесконечный ряд сходится для всех комплексных чисел x , за исключением целых отрицательных чисел, что не удается, поскольку попытка использовать рекурсивное соотношение H _n = H _{n −1} + 1/ n в обратном направлении через значение n = 0 включает деление на ноль. Согласно этой конструкции, функция, определяющая номер гармоники для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет условиям (1) H ₀ = 0 , (2) H _x = H _{x −1} + 1/ x для всех комплексных чисел x, кроме неположительные целые числа и (3) lim _{m →+∞} ( H _{m + x} − H _m ) = 0 для всех комплексных значений x .

Эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что

$$\int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,$$

где γ — константа Эйлера–Машерони или, в более общем смысле, для каждого n имеем:

$$\int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).$$

Специальные значения для дробных аргументов

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов от 0 до 1, определяемые интегралом

$$H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.$$

Дополнительные значения могут быть сгенерированы из рекуррентного отношения.

$$H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,$$

или из отношения отражения

$$H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.$$

Например:

$${\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}$$

Они вычисляются с помощью дигамм-теоремы Гаусса , которая, по сути, утверждает, что для натуральных чисел p и q с p < q

$$H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)$$

функцией

Некоторые производные дробных чисел гармоник имеют вид

$${\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}$$

А используя ряд Маклорена , мы имеем для x < 1, что

$${\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}$$

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для a > 1,

$${\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}$$

См. также

• Оценщик Уоттерсона
• Д Тадзимы
• Проблема коллекционера купонов
• Проблема с джипом
• Задача 100 заключенных
• Дзета-функция Римана
• Список сумм обратных величин
• Частота ложных открытий #Процедура Бенджамини – Йекутиэли
• Проблема с укладкой блоков

Ссылки

• Артур Т. Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). «Встреча Стерлинга с гармоническими числами» (PDF) . Журнал «Математика» . 75 (2): 95–103. CiteSeerX   10.1.1.383.722 . дои : 10.2307/3219141 . JSTOR   3219141 . Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2009 г. Проверено 8 августа 2005 г.
• Дональд Кнут (1997). «Раздел 1.2.7: Гармонические числа». Искусство компьютерного программирования . Том. 1: Фундаментальные алгоритмы (Третье изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 75–79. ISBN  978-0-201-89683-1 .
• Эд Сандифер, Как это сделал Эйлер — оценка Базельской задачи. Архивировано 13 мая 2005 г. в Wayback Machine (2003).
• Пол, Питер ; Шнайдер, Карстен (2003). «Компьютерные доказательства нового семейства гармонических числовых тождеств» (PDF) . Адв. Прил. Математика . 31 (2): 359–378. дои : 10.1016/s0196-8858(03)00016-2 .
• Вэньчан Чу (2004). «Тождественность биномиального коэффициента, связанная с гипотезой Бойкерса о числах Апери» (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . 11 : N15. дои : 10.37236/1856 .
• Айхан Дил; Иштван Мезё (2008). «Симметричный алгоритм для гипергармонических чисел и чисел Фибоначчи». Прикладная математика и вычислительная техника . 206 (2): 942–951. arXiv : 0803.4388 . дои : 10.1016/j.amc.2008.10.013 . S2CID   12130670 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число» . Математический мир .

Эта статья включает в себя материал из числа Harmonic на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .