Гипергармонический номер

В математике n - е гипергармоническое число порядка r , обозначаемое через $H_{n}^{(r)}$, рекурсивно определяется соотношениями:

$H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}},$

и

$H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0).$

В частности, $H_{n}=H_{n}^{(1)}$ — номер n- й гармоники .

Гипергармонические числа обсуждались Дж. Х. Конвеем и Р. К. Гаем в их книге «Книга чисел» 1995 года .

включающие гипергармонические

По определению, числа гипергармоник удовлетворяют рекуррентному соотношению

$H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.$

Вместо повторений существует более эффективная формула для расчета этих чисел:

$H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).$

Гипергармонические числа имеют сильное отношение к комбинаторике перестановок. Обобщение идентичности

$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].$

читается как

$H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},$

где $\left[{n \atop r}\right]_{r}$ является r- числом Стирлинга первого рода.

Асимптотика

Приведенное выше выражение с биномиальными коэффициентами легко дает то, что для любого фиксированного порядка r>=2 мы имеем.

$H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),$

то есть частное левой и правой части стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.

Непосредственным следствием является то, что

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty$

когда m>r .

Производящая функция и бесконечный ряд

чисел Производящая функция гипергармоник равна

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.$

Экспоненциальную производящую функцию вывести гораздо сложнее. Это имеет место для всех r=1,2,...

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=e^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\,_{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),$

где ₂ F ₂ — гипергеометрическая функция . Случай r=1 для гармонических чисел является классическим результатом, общий результат был доказан в 2009 году И. Мезё и А. Дил.

Следующее соотношение связывает числа гипергармоник с дзета-функцией Гурвица :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).$

числа

Известно, что номера гармоник никогда не являются целыми числами, за исключением случая n=1 . Тот же вопрос можно задать и относительно гипергармонических чисел: существуют ли целые гипергармонические числа? Иштван Мезо доказал что если r=2 или r=3 , эти числа никогда не являются целыми числами, за исключением тривиального случая, когда n=1 . Он предположил, что это всегда так, а именно, что гипергармонические числа порядка r никогда не являются целыми числами, за исключением случаев, когда n = 1 . Эта гипотеза была обоснована для класса параметров Р. Амраном и Х. Белбаширом. В частности, эти авторы доказали, что $H_{n}^{(4)}$ не является целым для всех r<26 и n=2,3,... Расширение до высоких порядков было сделано Гералом и Сертбашом. Эти авторы также показали, что $H_{n}^{(r)}$ никогда не является целым числом, если n четное или простое число или r нечетное.

Другой результат заключается в следующем. Позволять $S(x)$ — количество нецелых чисел гипергармоник таких, что $(n,x)\in [0,x]\times [0,x]$. Тогда, приняв гипотезу Крамера ,

$S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).$

Обратите внимание, что количество целочисленных точек решетки в $[0,x]\times [0,x]$ является $x^{2}+O(x^{2})$, который показывает, что большинство чисел гипергармоник не могут быть целыми.

Проблема была наконец решена Д.С. Сертбашом, который обнаружил, что существует бесконечно много гипергармонических целых чисел, хотя они довольно огромные. Наименьшее число гипергармоник, являющееся целым числом, найденное на данный момент, равно

$H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.$