постоянная Эйлера

Не путать с Эйлера числом e ≈ 2,71828 , основанием натурального логарифма.

постоянная Эйлера
с 0.57721...
Общая информация
Тип	Неизвестный
Поля	Аналитическая теория чисел
История
Обнаруженный	1734
К	Леонард Эйлер
Первое упоминание	Наблюдения за гармоническими прогрессиями
Назван в честь	Леонард Эйлер Лоренцо Маскерони

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера.

Константа Эйлера (иногда называемая константой Эйлера-Машерони ) — математическая константа , обычно обозначаемая строчной греческой буквой гамма ( γ ), определяемая как предельная разница между гармоническим рядом и натуральным логарифмом , обозначаемым здесь log :

$${\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$$

Здесь ⌊·⌋ представляет функцию пола .

Числовое значение константы Эйлера с точностью до 50 десятичных знаков равно:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ...  

Нерешенная задача по математике :

Иррациональна ли постоянная Эйлера? Если да, то трансцендентно ли оно?

(еще нерешенные задачи по математике)

История

Константа впервые появилась в 1734 году в статье швейцарского математика Леонарда Эйлера под названием «Наблюдения De Progressionibusharmonicis» (Индекс Энестрема 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал обозначения А и а для константы. Обозначение γ нигде не встречается в трудах Эйлера или Маскерони и было выбрано позже, возможно, из-за связи константы с гамма-функцией . Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году: и Огастес Де Морган использовал его в учебнике, опубликованном частями с 1836 по 1842 год.

Появления

Константа Эйлера появляется, среди прочего, в следующих местах (где «*» означает, что эта запись содержит явное уравнение):

• Выражения, включающие экспоненциальный интеграл *
• Преобразование Лапласа * натурального логарифма
• Первый член разложения в ряд Лорана для дзета-функции Римана *, где он является первой из констант Стилтьеса *
• Расчеты дигамма-функции
• Формула произведения гамма-функции
• Асимптотическое разложение гамма -функции для малых аргументов.
• Неравенство для функции Эйлера
• Скорость роста функции делителя
• О размерной регуляризации диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля
• Расчет постоянной Мейселя–Мертенса
• Третья теорема Мертенса *
• Решение второго рода уравнения Бесселя
• При регуляризации/ перенормировке гармонического ряда как конечной величины
• Среднее значение распределения Гамбеля
• Информационная энтропия распределений Вейбулла и Леви и, неявно, распределения хи-квадрат для одной или двух степеней свободы.
• Ответ на задачу коллекционера купонов *
• В некоторых формулировках закона Ципфа
• Определение интеграла косинуса *
• Нижние оценки простого разрыва
• Верхняя граница энтропии Шеннона в квантовой теории информации
• Модель Фишера-Орра генетики адаптации в эволюционной биологии
• Теория сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера ( теория БКШ ), где она выступает в качестве префактора. $2e^{\gamma }/\pi =1.134$ в уравнении БКШ о критической температуре.

Характеристики

число γ не доказано Алгебраическое или трансцендентное . На самом деле неизвестно даже, ли γ является иррациональным . Используя анализ непрерывных дробей , Папаниколау в 1997 году показал, что если γ рационально . , то его знаменатель должен быть больше 10 ²⁴⁴⁶⁶³ . Повсеместное распространение γ , выявленное большим количеством приведенных ниже уравнений, делает иррациональность γ главным открытым вопросом в математике.

Однако определенный прогресс был достигнут. Курт Малер показал в 1968 году, что число ${\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma$ трансцендентально (здесь $J_{\alpha }(x)$ и $Y_{\alpha }(x)$ — функции Бесселя ). В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере одна из констант Эйлера γ и константы Эйлера-Гомпертца δ иррациональна; Танги Ривоал доказал в 2012 году, что по крайней мере один из них трансцендентален. В 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарадха показали, что не более одного из чисел вида

$$\gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)$$

при q ≥ 2 и 1 ≤ a < q является алгебраическим; это семейство включает частный случай γ (2,4) = ⁠ γ / 4 ⁠ . В 2013 году М. Рам Мурти и А. Зайцева нашли другое семейство, содержащее γ , основанное на суммах обратных целых чисел, не делящихся на фиксированный список простых чисел, с тем же свойством.

Связь с гамма-функцией

γ связана с дигамм-функцией Ψ и, следовательно, с производной гамма -функции Γ , когда обе функции оцениваются как 1. Таким образом:

$$-\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).$$

Это соответствует пределам:

$${\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}$$

Дальнейшие предельные результаты:

$${\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}$$

Предел, связанный с бета-функцией (выраженный через гамма-функции ), равен

$${\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}$$

Связь с дзета-функцией

γ также можно выразить как бесконечную сумму , члены которой включают дзета-функцию Римана, оцениваемую как положительные целые числа:

$${\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}$$ Константа $\gamma$ также может быть выражено через сумму обратных нетривиальных нулей $\rho$ дзета-функции:

$\gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2$

Другие серии, связанные с дзета-функцией, включают:

$${\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}$$

Член ошибки в последнем уравнении является быстро убывающей функцией n . В результате формула хорошо подходит для эффективного вычисления константы с высокой точностью.

Другими интересными пределами, равными константе Эйлера, являются антисимметричные пределы:

$${\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}$$

и следующая формула, установленная в 1898 году де ла Валле-Пуссеном :

$$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)$$

где ⌈ ⌉ — потолочные кронштейны. Эта формула показывает, что при делении любого положительного целого числа n на каждое положительное целое число k, меньшее n , средняя доля, на которую частное n / k не достигает следующего целого числа, стремится к γ (а не к 0,5), поскольку n стремится к бесконечность.

С этим тесно связано выражение рационального дзета-ряда . Взяв отдельно первые несколько членов приведенного выше ряда, можно получить оценку предела классического ряда:

$$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),$$

где ζ ( s , k ) — дзета-функция Гурвица . Сумма в этом уравнении включает в себя номера гармоник H _n . Разложение некоторых членов дзета-функции Гурвица дает:

$$H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,$$ где 0 < ε < ⁠ ​ 1/252 ​ н ⁶ ⁠ .

γ также можно выразить следующим образом, где A — константа Глейшера–Кинкелина :

$$\gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)$$

γ также можно выразить следующим образом, что можно доказать, выразив дзета-функцию в виде ряда Лорана :

$$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)$$

Связь с треугольными числами

Было получено множество формулировок, выражающих $\gamma$ в виде сумм и логарифмов треугольных чисел . Одной из первых из них является формула для $n$ приписываемый номер гармоники, Шринивасе Рамануджану , где $\gamma$ связано с $\textstyle \ln 2T_{k}$ в серии, в которой рассматриваются полномочия $\textstyle {\frac {1}{T_{k}}}$ (более раннее, менее обобщаемое доказательство Эрнесто Чезаро приводит первые два члена ряда с ошибкой):

${\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}$

Из приближения Стирлинга следует аналогичная серия:

$\gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}$

Ряд обратных треугольных чисел также фигурирует в исследовании Базельской задачи. поставлен Пьетро Менголи . Промасливание доказало, что $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1$, результат, который Бернулли позже использовал для оценки стоимости Якоб $\zeta (2)$, поместив его между $1$ и $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2$. Это тождество появляется в формуле, использованной Бернхардом Риманом для вычисления корней дзета-функции : где $\gamma$ выражается через сумму корней $\rho$ плюс разница между расширением Боя и рядом точных долей единицы $\textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}$:

$\gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}$

Интегралы

γ равен значению ряда определенных интегралов :

$${\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}$$ где H _x — дробный номер гармоники , а $\{1/x\}$ это часть дробная $1/x$.

Третью формулу в списке интегралов можно доказать следующим образом:

$${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}$$

Интеграл во второй строке уравнения обозначает функции Дебая значение +∞ , которое равно m ! ζ ( м + 1) .

Определенные интегралы, в которых появляется γ, включают:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}$$

можно выразить, γ используя частный случай формулы Хаджикостаса в виде двойного интеграла. с эквивалентной серией:

$${\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}$$

Интересное сравнение Сондова представляет собой двойной целочисленный и знакопеременный ряд

$${\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}$$

Он показывает этот журнал ⁠ 4 / π ⁠ можно рассматривать как «переменную постоянную Эйлера».

Две константы также связаны парой рядов

$${\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}$$

где N ₁ ( n ) и N ₀ ( n ) — количество единиц и нулей соответственно в по основанию 2 разложении n .

У нас также есть каталонский интеграл 1875 года.

$$\gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.$$

Расширения серии

В общем,

$$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )$$

для любого α > − n . Однако скорость сходимости этого разложения существенно зависит от α . В частности, γ _n (1/2) демонстрирует гораздо более быструю сходимость, чем обычное разложение γ _n (0) . Это потому, что

$${\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},$$

пока

$${\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.$$

Несмотря на это, существуют другие разложения в ряды, которые сходятся быстрее, чем это; некоторые из них обсуждаются ниже.

Эйлер показал, что следующий бесконечный ряд приближается к γ : $$\gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).$$

Ряд для γ эквивалентен ряду Нильсена, найденному в 1897 году:

$$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.$$

В 1910 году Вакка обнаружил тесно связанную серию.

$${\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}$$

где log ₂ — логарифм по основанию 2 , а ⌊   ⌋ — это нижняя функция .

В 1926 году он нашел вторую серию:

$${\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}$$

Из разложения Мальмстена – Куммера для логарифма гамма-функции мы получаем:

$$\gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.$$

Важное расширение постоянной Эйлера принадлежит Фонтане и Маскерони.

$$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,$$ где Gn _— коэффициенты Грегори . Этот ряд представляет собой частный случай k = 1 разложений

$${\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}$$

сходящийся для k = 1, 2, ...

Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C _n имеет вид

$$\gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots$$

Благушин (2018) нашел интересное обобщение ряда Фонтаны – Маскерони.

$$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1$$

где ψn _— ( a ) полиномы Бернулли второго рода , определяемые производящей функцией

$${\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.$$

Для любого рационального а этот ряд содержит только рациональные члены. Например, при a = 1 это становится

$$\gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots$$ Другие серии с теми же полиномами включают следующие примеры:

$$\gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1$$

и

$$\gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1$$

где Γ( a ) — гамма-функция .

Серия, связанная с алгоритмом Акиямы – Танигавы:

$$\gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots$$

где G _n (2) – коэффициенты Грегори второго порядка.

В виде ряда простых чисел :

$$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).$$

Асимптотические разложения

γ равен следующим асимптотическим формулам (где H _n — номер n- й гармоники ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$ ( Эйлер )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$ ( вести переговоры )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$ ( Чезаро )

Третью формулу еще называют расширением Рамануджана.

Алабдулмохсин вывел замкнутые выражения для сумм ошибок этих аппроксимаций. Он показал, что (теорема A.1):

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}$$

Экспоненциальный

Константа е ^с имеет важное значение в теории чисел. Оно соответствует следующему пределу , где pn _{— n} е - число простое :

$$e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.$$

Это подтверждает третью теорему Мертенса . Числовое значение e ^с является:

1.78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

Другие бесконечные продукты, относящиеся к электронной ^с включать:

$${\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}$$

Эти продукты являются результатом Барнса G -функции .

Кроме того,

$$e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots$$

где n- й множитель — это корень ( n + 1) -й степени из

$$\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.$$

Это бесконечное произведение, впервые открытое Сером в 1926 году, было переоткрыто Сондоу с помощью гипергеометрических функций .

Также утверждается, что

$${\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).$$

Непрерывная дробь

разложение непрерывную дробь γ в Начинается [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...], который не имеет видимой закономерности. Известно, что непрерывная дробь содержит не менее 475 006 членов. и оно имеет бесконечное число членов тогда и только тогда, когда γ иррационально.

Обобщения

abm( x ) знак равно γ _{- x}

Обобщенные константы Эйлера имеют вид

$$\gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),$$

для 0 < α <1 , где γ является частным случаем α = 1 . Это можно далее обобщить на

$$c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)$$

для некоторой произвольной убывающей функции f . Например,

$$f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}$$

порождает константы Стилтьеса , и

$$f_{a}(x)=x^{-a}$$

дает

$$\gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}$$

где опять предел

$$\gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)$$

появляется.

Двумерным предельным обобщением является константа Массера – Грамена .

Константы Эйлера – Лемера задаются суммированием обратных чисел в общем класс по модулю:

$$\gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).$$

Основные свойства:

$${\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}$$

и если наибольший общий делитель НОД( a , q ) = d , то

$$q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.$$

Опубликованные цифры

Эйлер первоначально рассчитал значение константы с точностью до 6 знаков после запятой. В 1781 году он вычислил ее с точностью до 16 знаков после запятой. Маскерони попытался вычислить константу до 32 десятичных знаков, но допустил ошибки в 20–22 и 31–32 знаках после запятой; начиная с 20-й цифры, он вычислил ... 181 12090082 39 , когда правильное значение равно ... 065 12090082 40 .

Опубликованные десятичные разложения γ

Дата	Десятичные цифры	Автор	Источники
1734	5	Леонард Эйлер
1735	15	Леонард Эйлер
1781	16	Леонард Эйлер
1790	32	Лоренцо Маскерони с ошибкой 20–22 и 31–32.
1809	22	Иоганн Г. фон Зольднер
1811	22	Карл Фридрих Гаусс
1812	40	Фридрих Бернхард Готфрид Николаи
1857	34	Кристиан Фредрик Линдман
1861	41	Людвиг Эттингер
1867	49	Уильям Шэнкс
1871	99	Джеймс В.Л. Глейшер
1871	101	Уильям Шэнкс
1877	262	Джей Си Адамс
1952	328	Джон Уильям Ренч мл.
1961	1 050	Хельмут Фишер и Карл Целлер
1962	1 271	Дональд Кнут
1962	3 566	Дура В. Суини
1973	4 879	Уильям А. Бейер и Майкл С. Уотерман
1977	20 700	Ричард П. Брент
1980	30 100	Ричард П. Брент и Эдвин М. Макмиллан
1993	172 000	Джонатан Борвейн
1999	108 000 000	Патрик Демишель и Ксавье Гурдон
13 марта 2009 г.	29 844 489 545	Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан
22 декабря 2013 г.	119 377 958 182	Александр Дж. Йи
15 марта 2016 г.	160 000 000 000	Питер Труб
18 мая 2016 г.	250 000 000 000	Рон Уоткинс
23 августа 2017 г.	477 511 832 674	Рон Уоткинс
26 мая 2020 г.	600 000 000 100	Сынмин Ким и Ян Катресс
13 мая 2023 г.	700 000 000 000	Джордан Ранус и Кевин О'Брайен
7 сентября 2023 г.	1 337 000 000 000	Эндрю Сан

Ссылки

• Бретшнайдер, Карл Антон (1837) [1835]. «Новые особенности теории интегрального логарифма» . Журнал Крелля (на латыни). 17 : 257–285.
• Хэвил, Джулиан (2003). Гамма: изучение постоянной Эйлера . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-09983-5 .
• Лагариас, Джеффри К. (2013). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x . S2CID   119612431 .

Дальнейшее чтение

• Борвейн, Джонатан М.; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 121 (1–2): 11. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B . дои : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 . Выводит γ как сумму по дзета-функциям Римана.
• Финч, Стивен Р. (2003). Математические константы . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 94. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-81805-2 .
• Герст, И. (1969). «Некоторые ряды для постоянной Эйлера». амер. Математика. Ежемесячно . 76 (3): 237–275. дои : 10.2307/2316370 . JSTOR   2316370 .
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1872). «К истории постоянной Эйлера». Вестник математики . 1 : 25–30. ЖФМ   03.0130.01 .
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2002). «Сборник формул для постоянной Эйлера γ » .
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2004). «Константа Эйлера: γ » .
• Карацуба, Э.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм . 27 (44): 339–360.
• Карацуба, Э.А. (2000). «О вычислении постоянной Эйлера γ ». Журнал числовых алгоритмов . 24 (1–2): 83–97. дои : 10.1023/A:1019137125281 . S2CID   21545868 .
• Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования, Том. 1 (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 75, 107, 114, 619–620. ISBN  0-201-89683-4 .
• Лемер, Д.Х. (1975). «Константы Эйлера для арифметических прогрессий» (PDF) . Акта Арит . 27 (1): 125–142. дои : 10.4064/aa-27-1-125-142 .
• Лерх, М. (1897). «Новые выражения константы д'Эйлера». Материалы заседаний Королевского Богемского общества наук . 42 :5.
• Маскерони, Лоренцо (1790). Заметки об интегральном исчислении Эйлера, в которых решены некоторые задачи, предложенные Эйлером . Галеати, Тичини.
• Сондоу, Джонатан (2002). «Гипергеометрический подход через линейные формы, включающие логарифмы, к критериям иррациональности постоянной Эйлера». Математика Словакия . 59 : 307–314. arXiv : math.NT/0211075 . Бибкод : 2002math.....11075S . дои : 10.2478/s12175-009-0127-2 . S2CID   16340929 . с приложением Сергея Злобина

Внешние ссылки

• «Постоянная Эйлера» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Эйлера – Маскерони» . Математический мир .
• Джонатан Сондоу.
• Быстрые алгоритмы и метод FEE , Е.А. Карацуба (2005)
• Дополнительные формулы, в которых используется константа: Gourdon and Sebah (2004).