Функция Дебая

В математике семейство функций Дебая определяется формулой $$D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.$$

Функции названы в честь Питера Дебая , который наткнулся на эту функцию (с n = 3) в 1912 году, когда он аналитически вычислил теплоемкость того, что сейчас называется моделью Дебая .

Математические свойства

Связь с другими функциями

Функции Дебая тесно связаны с полилогарифмом .

Расширение серии

У них есть расширение серии $$D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,$$где $B_{n}$ — n- е число Бернулли .

Предельные значения

$$\lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.$$Если $\Gamma$ и функция гамма - $\zeta$ – дзета-функция Римана , то для $x\gg 0$, $$D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,$$

Производная

Производная подчиняется соотношению $$xD_{n}^{\prime }(x)=n\left(B(x)-D_{n}(x)\right),$$где $B(x)=x/(e^{x}-1)$ – функция Бернулли.

Приложения в физике твердого тела

Модель Дебая

Модель Дебая имеет плотность колебательных состояний $$g_{\text{D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\text{D}}^{3}}}\,,\qquad 0\leq \omega \leq \omega _{\text{D}}$$с дебаевской частотой ω _D .

Внутренняя энергия и теплоемкость

Подставляя g во внутреннюю энергию $$U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )$$с распределением Бозе – Эйнштейна $$n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}.$$получается $$U=3k_{\text{B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\text{D}}/k_{\text{B}}T).$$Теплоемкость является ее производной.

Среднеквадратичное смещение

Интенсивность дифракции рентгеновских лучей или дифракции нейтронов при волновом числе q определяется фактором Дебая-Валлера или фактором Ламба-Мессбауэра .Для изотропных систем оно принимает вид $$\exp(-2W(q))=\exp \left(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle \right).$$В этом выражении среднеквадратичное смещение относится только к одной декартовой компоненте u _x вектора u , которая описывает смещение атомов из их положений равновесия.Принимая гармонию и развиваясь в нормальные режимы, получается $$2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\text{B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}+1\right].$$Подставляя плотность состояний из модели Дебая, получаем $$2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega _{\text{D}}}}\right)D_{1}{\left({\frac {\hbar \omega _{\text{D}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}+{\frac {1}{2}}\right].$$Из приведенного выше в степенной ряд разложения $D_{1}$ следует, что среднеквадратичное смещение при высоких температурах линейно по температуре $$2W(q)={\frac {3k_{\text{B}}Tq^{2}}{M\omega _{\text{D}}^{2}}}.$$Отсутствие $\hbar$ указывает на то, что это классический результат. Потому что $D_{1}(x)$ стремится к нулю для $x\to \infty$ отсюда следует, что для $T=0$$$2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}$$ ( движение нулевой точки ).

Дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 27» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 998. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Запись «Функция Дебая» в MathWorld определяет функции Дебая без префактора n / x. ^н

Реализации

• Нг, ВВ; Девайн, CJ (1970). «О вычислении функций Дебая целых порядков» . Математика. Комп . 24 (110): 405–407. дои : 10.1090/S0025-5718-1970-0272160-6 . МР   0272160 .
• Энгельн, И.; Вобиг, Д. (1983). «Вычисление обобщенных функций Дебая delta (x, y) и D (x, y)». Коллоидная и полимерная наука . 261 : 736–743. дои : 10.1007/BF01410947 . S2CID   98476561 .
• Маклауд, Аллан Дж. (1996). «Алгоритм 757: MISCFUN, пакет программного обеспечения для вычисления необычных специальных функций» . АКМ Транс. Математика. Программное обеспечение . 22 (3): 288–301. дои : 10.1145/232826.232846 . S2CID   37814348 . Код Фортрана 77
• Версия Фортрана 90
• Максимон, Леонард К. (2003). «Функция дилогарифма для комплексного аргумента». Учеб. Р. Сок. А. ​ 459 (2039): 2807–2819. Бибкод : 2003RSPSA.459.2807M . дои : 10.1098/rspa.2003.1156 . S2CID   122271244 .
• Гусейнов, И.И.; Мамедов, Б.А. (2007). «Расчет целых и нецелых n-мерных функций Дебая с использованием биномиальных коэффициентов и неполных гамма-функций». Межд. Дж. Термофиз . 28 (4): 1420–1426. Бибкод : 2007IJT....28.1420G . дои : 10.1007/s10765-007-0256-1 . S2CID   120284032 .
• C-версия научной библиотеки GNU