Модель Дебая
Эта статья читается как учебник . ( январь 2024 г. ) |
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( январь 2024 г. ) |
Статистическая механика |
---|
В термодинамике и физике твердого тела модель Дебая — это метод, разработанный Питером Дебаем в 1912 году для оценки фононов вклада в удельную теплоемкость ( теплоемкость ) в твердом теле . [2] Он рассматривает колебания атомной решетки (тепло) как фононы в ящике, в отличие от фотоэлектронной модели Эйнштейна , которая рассматривает твердое тело как множество отдельных, невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов . Модель Дебая правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости твердых тел, которая пропорциональна [ нужны разъяснения ] - Дебай Т 3 закон . Подобно модели фотоэлектрона Эйнштейна, она восстанавливает закон Дюлонга – Пти при высоких температурах. Из-за упрощающих допущений его точность страдает при промежуточных температурах. [ нужны разъяснения ] .
Вывод [ править ]
Модель Дебая представляет собой твердотельный эквивалент закона излучения черного тела Планка , который рассматривает электромагнитное излучение как фотонный газ, заключенный в вакуумном пространстве. Соответственно, модель Дебая рассматривает атомные колебания как фононы, заключенные в объеме твердого тела. Большинство шагов расчета идентичны, поскольку оба являются примерами безмассового бозе-газа с линейным законом дисперсии .
Для куба с длиной стороны , резонансные моды звуковых возмущений (на данный момент рассматриваем только те, которые ориентированы по одной оси), рассматриваемые как частицы в ящике , имеют длины волн, заданные как
где является целым числом. Энергия фонона определяется как
где Планка постоянная и - частота фонона. Приближая, что частота обратно пропорциональна длине волны,
в котором — скорость звука внутри твердого тела. В трех измерениях энергию можно обобщить до
в котором - величина трехмерного а импульса фонона, , , и – компоненты резонансной моды по каждой из трёх осей.
Приближение, согласно которому частота длине обратно пропорциональна волны ( что дает постоянную скорость звука ), хорошо для фононов низкой энергии, но не для фононов высокой энергии, что является ограничением модели Дебая. Такое приближение приводит к неверным результатам при промежуточных температурах, тогда как результаты точны в нижнем и высоком температурном пределах.
Полная энергия в ящике, , определяется
где - число фононов в ящике с энергией ; полная энергия равна сумме энергий по всем энергетическим уровням, а энергия на данном уровне находится путем умножения энергетического уровня на количество фононов с этой энергией. В трех измерениях каждая комбинация мод по каждой из трех осей соответствует уровню энергии, что дает полную энергию как:
Модель Дебая и закон излучения черного тела Планка различаются здесь относительно этой суммы. В отличие от электромагнитного фотонного излучения в ящике, существует конечное число фононов энергетических состояний , поскольку фонон не может иметь сколь угодно высокую частоту. Его частота ограничена средой распространения — атомной решеткой твердого тела . На следующей иллюстрации описаны поперечные фононы в кубическом твердом теле на разных частотах:
Разумно предположить, что минимальная длина волны фонона в два раза превышает расстояние между атомами, как показано в самом нижнем примере. С атомов в кубическом твердом теле, каждая ось куба измеряется как атомы длинные. Тогда разделение атомов определяется выражением , а минимальная длина волны равна
создание максимального количества режимов :
Это контрастирует с фотонами, для которых максимальное число мод бесконечно. Это число ограничивает верхний предел тройной суммы энергий
Если это функция , медленно меняющаяся относительно суммы аппроксимировать интегралами : можно
Для вычисления этого интеграла используется функция , число фононов с энергией тоже надо знать. Фононы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , и их распределение задается формулой статистики Бозе-Эйнштейна:
Поскольку фонон имеет три возможных состояния поляризации (одно продольное и два поперечных , которые приблизительно не влияют на его энергию), приведенную выше формулу необходимо умножить на 3:
Рассмотрение всех трех состояний поляризации вместе также означает, что эффективная скорость звука должно быть определено и использовано как значение стандартной скорости звука Температура Дебая определенное ниже, пропорционально ; точнее, , где продольные и поперечные скорости звуковых волн усреднены и взвешены по числу состояний поляризации. Температура Дебая или эффективная скорость звука является мерой твердости кристалла.
Замена в интеграл энергии дает
Эти интегралы легко вычисляются для фотонов , поскольку их частота, по крайней мере полуклассически, не связана. Этого нельзя сказать о фононах, поэтому для аппроксимации этого тройного интеграла Питер Дебай использовал сферические координаты ,
и аппроксимировал куб восьмой сферой ,
где - радиус этой сферы. Поскольку функция энергии не зависит ни от одного из углов, уравнение можно упростить до
Число частиц в исходном кубе и в восьмой сфере должно быть эквивалентным. Объем куба равен элементарных ячеек объемы ,
такой, что радиус должен быть
Замена правильного интеграла по кубу интегрированием по сфере приводит к еще одному источнику неточностей в полученной модели.
После сферической замены и подстановки в функцию , интеграл энергии становится
- .
Изменение переменной интегрирования на ,
Чтобы упростить вид этого выражения, определим температуру Дебая
где - объем кубического ящика с длиной стороны .
Некоторые авторы [3] [4] описывают температуру Дебая как сокращение для некоторых констант и переменных, зависящих от материала. Однако, примерно равна энергии фононов моды с минимальной длиной волны, поэтому мы можем интерпретировать температуру Дебая как температуру, при которой возбуждается мода с самой высокой частотой. Кроме того, поскольку все остальные моды имеют более низкую энергию, чем высокочастотная мода, все моды возбуждаются при этой температуре. [ оригинальное исследование? ]
Из полной энергии можно рассчитать удельную внутреннюю энергию:
где — третья функция Дебая . Дифференцируя эту функцию по дает безразмерную теплоемкость:
Эти формулы учитывают модель Дебая при всех температурах. Более элементарные формулы, приведенные ниже, дают асимптотическое поведение в пределе низких и высоких температур. Существенной причиной точности при низких и высоких энергиях является, соответственно, то, что модель Дебая дает точное дисперсионное соотношение на низких частотах и соответствует точной плотности состояний при высоких температурах относительно количества колебаний на частотный интервал. [ оригинальное исследование? ]
Вывод Дебая [ править ]
Дебай вывел свое уравнение иначе и проще. Используя механику сплошной среды , он обнаружил, что число колебательных состояний с частотой меньше определенного значения асимптотически равно
в котором это объем и - это фактор, который он рассчитал на основе коэффициентов эластичности и плотности. Объединив эту формулу с ожидаемой энергией гармонического осциллятора при температуре (уже использованный Эйнштейном в его модели) дал бы энергию
если бы частоты колебаний продолжались до бесконечности. Эта форма дает поведение, которое является правильным при низких температурах. Но Дебай понял, что ничего большего быть не может. колебательные состояния атомов N. Он сделал предположение, что в атомном теле спектр частот твердом частоты колебательных состояний будет продолжать подчиняться вышеуказанному правилу вплоть до максимальной . выбрано так, чтобы общее число состояний было
Дебай знал, что это предположение не совсем верно (более высокие частоты расположены более близко, чем предполагалось), но оно гарантирует правильное поведение при высокой температуре ( закон Дюлонга-Пти ). Тогда энергия определяется выражением
Замена для ,
где — функция, позже получившая название функции Дебая третьего порядка .
Еще один вывод [ править ]
Сначала распределение частот колебаний получено из Приложения VI к книге Террелла Л. Хилла « Введение в статистическую механику» . [5] Рассмотрим трехмерное изотропное упругое твердое тело с N атомами в форме прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон . Упругая волна будет подчиняться волновому уравнению и будет плоской волной ; рассмотрим волновой вектор и определить , такой, что
( 1 ) |
Решения волнового уравнения :
и с граничными условиями в ,
( 2 ) |
где являются положительными целыми числами . Подставляя ( 2 ) в ( 1 ), а также используя дисперсионное соотношение ,
Приведенное выше уравнение для фиксированной частоты , описывает восьмую часть эллипса в «пространстве мод» (восьмую, потому что положительны). Число мод с частотой менее таким образом, это количество целых точек внутри эллипса, которое в пределе (т.е. для очень большого параллелепипеда) можно аппроксимировать объёмом эллипса. Следовательно, количество режимов с частотой в диапазоне является
( 3 ) |
где - объем параллелепипеда. Скорость волны в продольном направлении отличается от поперечного направления, и волны могут быть поляризованы в одну сторону в продольном направлении и в две стороны в поперечном направлении и могут быть определены как .
Следуя выводам из «Первого курса термодинамики» , [6] определен верхний предел частоты вибрации ; поскольку есть атомы в твердом теле существуют квантовые гармонические генераторы (по 3 для каждого направления x, y, z), колеблющиеся в диапазоне частот . можно определить с помощью
. | ( 4 ) |
Определив , где k — постоянная Больцмана , а h — постоянная Планка , и подставив ( 4 ) в ( 3 ),
( 5 ) |
это определение более стандартно; энергетический вклад всех генераторов, колеблющихся на частоте можно найти. Квантовые гармонические осцилляторы могут иметь энергию где и используя статистику Максвелла-Больцмана , число частиц с энергией является
Энергетический вклад для генераторов с частотой тогда
. | ( 6 ) |
Отметив, что (потому что есть моды, колеблющиеся с частотой ),
Сверху мы можем получить выражение для 1/A; подставив его в ( 6 ),
Интегрирование по ν дает
Температурные пределы [ править ]
Температура дебаевского твердого тела называется низкой, если , что приводит к
Этот определенный интеграл можно вычислить точно:
В низкотемпературном пределе ограничения модели Дебая, упомянутые выше, не применяются, и она дает правильное соотношение между (фононной) теплоемкостью , температурой , коэффициентами упругости и объемом, приходящимся на атом (последние величины содержатся в температура Дебая).
Температура дебаевского твердого тела называется высокой, если . С использованием если приводит к
что при интегрировании дает
Это закон Дюлонга-Пти , и он достаточно точен, хотя и не учитывает ангармонизм , который приводит теплоемкости к дальнейшему росту . Общая теплоемкость твердого тела, если оно является проводником или полупроводником , также может содержать немаловажный вклад электронов.
Дебай Эйнштейна против
Модели Дебая и Эйнштейна близко соответствуют экспериментальным данным, но модель Дебая корректна при низких температурах, а модель Эйнштейна — нет. Чтобы визуализировать разницу между моделями, естественно, можно было бы построить их на одном наборе осей, но это невозможно сразу, поскольку и модель Эйнштейна, и модель Дебая обеспечивают функциональную форму теплоемкости. В качестве моделей им требуются масштабы, чтобы соотнести их с реальными аналогами. Видно, что масштаб модели Эйнштейна определяется выражением :
Масштаб модели Дебая , температура Дебая. Оба обычно находятся путем подгонки моделей к экспериментальным данным. (Температуру Дебая теоретически можно рассчитать, исходя из скорости звука и размеров кристалла.) Поскольку два метода подходят к проблеме с разных направлений и с разной геометрией, масштабы Эйнштейна и Дебая не одинаковы, то есть
а это значит, что строить их на одном и том же наборе осей не имеет смысла. Это две модели одного и того же, но разного масштаба. Если определить температуру конденсации Эйнштейна как
тогда можно сказать
и, чтобы связать эти два фактора, соотношение используется.
Твердое тело Эйнштейна состоит из одночастотных квантовых гармонических осцилляторов . . Эта частота, если бы она действительно существовала, была бы связана со скоростью звука в твердом теле. Если представить себе распространение звука как последовательность ударяющихся друг о друга атомов, то частота колебаний должна соответствовать минимальной длине волны, поддерживаемой атомной решеткой: , где
- ,
что делает температуру Эйнштейна и поэтому искомое соотношение равно
Используя это соотношение, обе модели можно построить на одном графике. Это кубический корень из отношения объема одного октанта трехмерной сферы к объему содержащего его куба, что является всего лишь поправочным коэффициентом, использованным Дебаем при аппроксимации интеграла энергии, приведенного выше. Альтернативно, отношение двух температур можно рассматривать как отношение единственной частоты Эйнштейна, на которой колеблются все генераторы, и максимальной частоты Дебая. Тогда единственную частоту Эйнштейна можно рассматривать как среднее значение частот, доступных модели Дебая.
Таблица Дебая температур
Несмотря на то, что модель Дебая не совсем правильна, она дает хорошее приближение к низкотемпературной теплоемкости изолирующих кристаллических твердых тел, где другие вклады (например, высокоподвижные электроны проводимости) незначительны. Для металлов вклад электронов в тепло пропорционален , который при низких температурах доминирует над дебаевским результат для колебаний решетки. В этом случае можно сказать, что модель Дебая лишь аппроксимирует вклад решетки в теплоемкость. В следующей таблице приведены температуры Дебая для нескольких чистых элементов. [3] и сапфир:
|
|
|
|
Соответствие модели Дебая экспериментальным данным часто феноменологически улучшается, если температура Дебая становится зависимой от температуры; [7] например, значение для льда увеличивается примерно с 222 К [8] это 300 тысяч [9] при изменении температуры от абсолютного нуля до примерно 100 К.
Распространение на другие квазичастицы [ править ]
Для других бозонных квазичастиц , например магнонов (квантованных спиновых волн) в ферромагнетиках вместо фононов (квантованных звуковых волн), можно получить аналогичные результаты. В этом случае на низких частотах имеют место другие дисперсионные соотношения импульса и энергии, например: в случае магнонов вместо для фононов (с ). Также имеется разная плотность состояний (например, ). Как следствие, в ферромагнетиках возникает магнонный вклад в теплоемкость: , которая при достаточно низких температурах доминирует над фононным вкладом, . У металлов, напротив, основной низкотемпературный вклад в теплоемкость, , исходит от электронов. Он фермионный и рассчитывается различными методами, начиная с Зоммерфельда электронов модели свободных . [ нужна ссылка ]
Распространение на жидкости [ править ]
Долгое время считалось, что фононная теория не способна объяснить теплоемкость жидкостей, поскольку жидкости поддерживают только продольные, но не поперечные фононы, которые в твердых телах отвечают за 2/3 теплоемкости. Однако по рассеянию Бриллюэна эксперименты с нейтронами и рентгеновскими лучами , подтверждающие интуицию Якова Френкеля , [10] показали, что поперечные фононы действительно существуют в жидкостях, хотя и ограничены частотами выше порога, называемого частотой Френкеля. Поскольку большая часть энергии содержится в этих высокочастотных модах, простой модификации модели Дебая достаточно, чтобы получить хорошее приближение к экспериментальным значениям теплоемкости простых жидкостей. [11] Совсем недавно было показано, что мгновенные нормальные моды, связанные с релаксацией из седловых точек в энергетическом ландшафте жидкости, которые доминируют в частотном спектре жидкостей на низких частотах, могут определять теплоемкость жидкостей как функцию температуры в широком диапазоне. . [12]
Частота Дебая [ править ]
Частота Дебая (обозначение: или ) — это параметр модели Дебая, который относится к граничной угловой частоте волн и , гармонической цепочки масс и используется для описания движения ионов в кристаллической решетке более конкретно, для правильного прогнозирования теплоемкости в такой кристаллов постоянен при высоких температурах (закон Дюлонга – Пти). Впервые эту концепцию представил Питер Дебай в 1912 году. [13]
В этом разделе периодические граничные условия предполагаются .
Определение [ править ]
Предполагая, что дисперсионное соотношение равно
с скорости звука в кристалле и k волнового вектора, значение дебаевской частоты следующее:
Для одномерной одноатомной цепочки дебаевская частота равна [14]
с как расстояние между двумя соседними атомами в цепи, когда система находится в основном энергетическом состоянии , при этом ни один из атомов не движется относительно друг друга; общее количество атомов в цепи; размер системы, то есть длина цепи; и линейная плотность чисел . Для , , и , отношение держит.
Для двумерной одноатомной квадратной решетки дебаевская частота равна
с - размер (площадь) поверхности, а поверхностная плотность чисел .
Для трехмерного одноатомного примитивного кубического кристалла дебаевская частота равна [15]
с размер системы и объемная плотность числа .
Общая формула для дебаевской частоты как функции , число измерений (гипер)кубической решетки равно
с является гамма-функцией .
Скорость звука в кристалле зависит, среди прочего, от массы атомов, силы их взаимодействия, давления на систему, поляризации спиновой волны (продольной или поперечной). Далее предполагается, что скорость звука одинакова для любой поляризации, хотя это ограничивает применимость результата. [16]
Легко доказать неточность предполагаемого дисперсионного соотношения для одномерной цепочки масс, но в модели Дебая это не оказывается проблематичным. [ нужна ссылка ]
Дебая температурой Связь с
Температура Дебая , еще один параметр модели Дебая, связан с частотой Дебая соотношением где – приведенная постоянная Планка и — постоянная Больцмана .
Вывод Дебая [ править ]
Трехмерный кристалл [ править ]
Дебая При выводе теплоемкости он суммирует все возможные режимы системы, учитывая различные направления и поляризации. Он предположил, что общее число мод на поляризацию равно , количество масс в системе и общее количество, которое будет [16]
с тремя поляризациями на моду. Сумма суммируется по всем модам без дифференциации между различными поляризациями, а затем подсчитывает общее количество комбинаций поляризации и мод. Дебай сделал это предположение, основываясь на предположении классической механики о том, что число мод на поляризацию в цепочке масс всегда должно быть равно числу масс в цепочке.
Левую часть можно сделать явным, чтобы показать, как она зависит от частоты Дебая, введенной сначала как граничная частота, за пределами которой не существует частот. Связав частоту среза с максимальным количеством мод, можно получить выражение для частоты среза.
Прежде всего, полагая будет очень большим( ≫ 1, при этом размер системы в любом из трех направлений) наименьший волновой вектор в любом направлении можно аппроксимировать следующим образом: , с . Меньшие волновые векторы не могут существовать из-за периодических граничных условий . Таким образом, суммирование станет [17]
где ; размер системы; и интеграл (как суммирование) ведется по всем возможным модам, которые считаются конечной областью (ограниченной частотой среза).
Тройной интеграл можно переписать как одиночный по всем возможным значениям абсолютного значения (см. якобиан сферических координат ). Результат
с абсолютное значение волнового вектора, соответствующего дебаевской частоте, поэтому .
Поскольку дисперсионное соотношение , его можно записать в виде интеграла по всем возможным :
После решения интеграла он снова приравнивается к найти
Его можно переставить в
Одномерная цепь в 3D пространстве [ править ]
Тот же вывод можно было бы сделать и для одномерной цепочки атомов. Число мод остается неизменным, поскольку поляризаций по-прежнему три, поэтому
Остальная часть вывода аналогична предыдущему, поэтому левая часть переписана относительно дебаевской частоты:
Последний шаг умножается на два, потому что подынтегральное выражение в первом интеграле четное, а границы интегрирования симметричны относительно начала координат, поэтому интеграл можно переписать как от 0 до после масштабирования в 2 раза. Это также эквивалентно утверждению, что объем одномерного шара в два раза превышает его радиус. Применение изменения замены , наши границы теперь от 0 до , что дает нам самый правый интеграл. Мы продолжаем;
Заключение:
Двумерный кристалл [ править ]
Тот же вывод можно сделать и для двумерного кристалла. Количество мод остается неизменным, поскольку поляризаций по-прежнему три. Вывод аналогичен предыдущим двум. Начнем с того же уравнения,
А затем левая часть переписывается и приравнивается к
где это размер системы.
Его можно переписать как
Поляризационная зависимость [ править ]
В действительности продольные волны часто имеют другую скорость волны, чем поперечные волны. Предположение о том, что скорости равны, упростило окончательный результат, но повторное введение различия повышает точность конечного результата.
Дисперсионное соотношение становится , с , каждый из которых соответствует одной из трех поляризаций. Частота среза , однако, не зависит от . Общее количество мод можно записать как , что снова равно . Здесь суммирование по модам теперь зависит от .
Одномерная цепь в 3D пространстве [ править ]
Переписано суммирование по модам
Результат
Таким образом находится дебаевская частота
Рассчитанная эффективная скорость — среднее гармоническое скоростей для каждой поляризации. Предполагая, что две поперечные поляризации имеют одинаковую фазовую скорость и частоту,
Параметр восстанавливает выражение, полученное ранее в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации.
Двумерный кристалл [ править ]
Тот же вывод можно сделать и для двумерного кристалла, чтобы найти
Рассчитанная эффективная скорость — квадратный корень из среднего гармонического квадратов скоростей. Предполагая, что две поперечные поляризации одинаковы,
Параметр восстанавливает выражение, полученное ранее в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации.
Трехмерный кристалл [ править ]
Тот же вывод можно сделать и для нахождения трехмерного кристалла (вывод аналогичен предыдущим выводам)
Рассчитанная эффективная скорость — кубический корень из среднего гармонического кубов скоростей. Предполагая, что две поперечные поляризации одинаковы,
Параметр восстанавливает выражение, полученное ранее в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации.
фактического Вывод с учетом соотношения дисперсионного
Эту проблему можно было бы сделать более применимой, если ослабить предположение о линейности дисперсионного уравнения. Вместо использования дисперсионного соотношения можно использовать более точное дисперсионное соотношение. В классической механике известно, что для эквидистантной цепочки масс, гармонически взаимодействующих друг с другом, дисперсионное соотношение имеет вид [16]
с масса каждого атома, пружинная константа гармонического генератора и по-прежнему остается расстоянием между атомами в основном состоянии. После построения этого соотношения оценка Дебая длины волны отсечки, основанная на линейном предположении, остается точной, поскольку для каждого волнового числа, превышающего (то есть для меньше, чем ), волновое число меньше, чем можно найти с той же угловой частотой. Это означает, что результирующее физическое проявление моды с большим волновым числом неотличимо от моды с меньшим волновым числом. Поэтому исследование закона дисперсии можно ограничить первой зоной Бриллюэна без потери точности и информации. [18] Это возможно, поскольку система состоит из дискретных точек, как показано на анимированной картинке. Разделив дисперсионное соотношение на и вставка для , находим скорость волны с быть
Просто вставив в исходном дисперсионном уравнении находим
Объединив эти результаты, мы снова получаем тот же результат.
Однако для любой цепи большей сложности, включая двухатомные, соответствующие граничная частота и длина волны не очень точны, поскольку длина волны отсечки в два раза больше, а дисперсионное уравнение состоит из дополнительных ветвей, всего две для двухатомной цепи. цепь. Из этого результата также неясно, была ли для систем более высокой размерности точно предсказана Дебаем частота среза с учетом более точного дисперсионного соотношения.
Альтернативный вывод [ править ]
Для одномерной цепочки формулу для частоты Дебая можно также воспроизвести с помощью теоремы описания наложения спектров . Для этого вывода используется теорема выборки Найквиста -Шеннона , основное отличие состоит в том, что в случае одномерной цепи дискретизация происходит не во времени, а в пространстве.
Частоту среза можно определить по длине волны среза. Из теоремы выборки мы знаем, что для длин волн меньше или удвоенное расстояние выборки, каждая мода является повторением моды с длиной волны больше , поэтому длина волны отсечки должна быть равна . Это снова приводит к , рендеринг
Не имеет значения, какое соотношение дисперсии используется, поскольку будет рассчитана одна и та же частота среза.
См. также [ править ]
- Бозе-газ
- Газ в коробке
- Параметры Грюнайзена
- Температура Блоха – Грюнайзена
- Удельное электросопротивление и проводимость # Температурная зависимость
Ссылки [ править ]
- ^ Пол, Р.О.; С любовью, ВФ; Стивенс, РБ (1 августа 1973 г.). Решеточные колебания в некристаллических твердых телах (Доклад). Корнеллский университет, Итака, штат Нью-Йорк (США). Лаб. атомной физики и физики твердого тела.
- ^ Дебай, Питер (1912). «К теории теплоемкости» . Анналы физики (на немецком языке). 39 (4): 789–839. Бибкод : 1912АнП...344..789Д . дои : 10.1002/andp.19123441404 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Киттель, Чарльз (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0471415268 .
- ^ Шредер, Дэниел В. «Введение в теплофизику» Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5
- ^ Хилл, Террелл Л. (1960). Введение в статистическую механику . Ридинг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 9780486652429 .
- ^ Обераи, ММ; Шрикантия, Дж. (1974). Первый курс термодинамики . Нью-Дели, Индия: Prentice-Hall of India Private Limited. ISBN 9780876920183 .
- ^ Паттерсон, Джеймс Д.; Бейли, Бернард К. (2007). Физика твердого тела: Введение в теорию . Спрингер. стр. 96–97. ISBN 978-3-540-34933-4 .
- ^ Шульман, Л.М. (2004). «Теплоемкость водяного льда в межзвездных или межпланетных условиях» . Астрономия и астрофизика . 416 : 187–190. Бибкод : 2004A&A...416..187S . дои : 10.1051/0004-6361:20031746 .
- ^ Флубахер, П.; Ледбеттер, Эй Джей; Моррисон, Дж. А. (1960). «Теплоемкость льда при низких температурах». Журнал химической физики . 33 (6): 1751. Бибкод : 1960JChPh..33.1751F . дои : 10.1063/1.1731497 .
- ^ В своем учебнике «Кинетическая теория жидкостей» (англ. 1947).
- ^ Болматов Д.; Бражкин В.В.; Траченко, К. (2012). «Фононная теория термодинамики жидкости» . Научные отчеты . 2 : 421. arXiv : 1202.0459 . Бибкод : 2012НатСР...2Е.421Б . дои : 10.1038/srep00421 . ПМЦ 3359528 . ПМИД 22639729 .
- ^ Баджоли, М.; Закконе, А. (2021). «Объяснение теплоемкости жидкостей на основе мгновенных нормальных режимов». Физический обзор E . 104 (1): 014103. arXiv : 2101.07585 . Бибкод : 2021PhRvE.104a4103B . дои : 10.1103/PhysRevE.104.014103 . ПМИД 34412350 .
- ^ Дебай, П. (1912). «К теории теплоемкости» . Анналы физики . 344 (14): 789–839. Бибкод : 1912АнП...344..789Д . дои : 10.1002/andp.19123441404 . ISSN 1521-3889 .
- ^ «Одномерное одноатомное твердое тело» (PDF) . Проверено 27 апреля 2018 г.
- ^ Фицпатрик, Ричард (2006). «Удельная теплоемкость твердых тел» . Ричард Фитцпатрик, Техасский университет в Остине . Проверено 27 апреля 2018 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Саймон, Стивен Х. (20 июня 2013 г.). Оксфордские основы твердого тела (первое изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199680764 . OCLC 859577633 .
- ^ «Основы твердого тела Оксфорда» . podcasts.ox.ac.uk . Проверено 12 января 2024 г.
- ^ Шривастава, врач общей практики (16 июля 2019 г.). Физика фононов . Рутледж. ISBN 978-1-351-40955-1 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Справочник CRC по химии и физике , 56-е издание (1975–1976 гг.)
- Шредер, Дэниел В. Введение в теплофизику . Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5.