Фотонный газ

В физике фотонный газ — это газообразная совокупность фотонов , которая обладает многими свойствами обычного газа, такого как водород или неон , включая давление, температуру и энтропию. Наиболее распространенным примером фотонного газа в равновесии является излучение черного тела .

Фотоны являются частью семейства частиц, известных как бозоны , частиц, которые подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и имеют целочисленный спин . Газ бозонов, содержащий только один тип частиц, однозначно описывается тремя функциями состояния, такими как температура , объем и число частиц . Однако для абсолютно черного тела распределение энергии устанавливается взаимодействием фотонов с веществом, обычно со стенками контейнера, и число фотонов не сохраняется. В результате химический потенциал фотонного газа черного тела равен нулю в термодинамическом равновесии. Таким образом, количество переменных состояния, необходимых для описания состояния черного тела, сокращается с трех до двух (например, температура и объем).

Термодинамика фотонного газа черного тела

В классическом идеальном газе с массивными частицами энергия частиц распределяется согласно распределению Максвелла-Больцмана . Это распределение устанавливается, когда частицы сталкиваются друг с другом, обмениваясь при этом энергией (и импульсом). В фотонном газе также будет равновесное распределение, но фотоны не сталкиваются друг с другом (за исключением очень экстремальных условий, см. двухфотонную физику ), поэтому равновесное распределение должно быть установлено другими способами. Самый распространенный способ установления равновесного распределения — это взаимодействие фотонов с веществом. ^[1] Если фотоны поглощаются и испускаются стенками системы, содержащей фотонный газ, и стенки имеют определенную температуру, то равновесным распределением фотонов будет распределение черного тела при этой температуре. ^[2]

Очень важное различие между обычным бозе-газом (газом массивных бозонов) и фотонным газом с чернотельным распределением состоит в том, что число фотонов в фотонном газе не сохраняется. Фотон может быть создан при термическом возбуждении атома в стенке в верхнее электронное состояние с последующим испусканием фотона, когда атом возвращается в более низкое энергетическое состояние. Этот тип генерации фотонов называется тепловым излучением. Может иметь место и обратный процесс, в результате которого фотон разрушается и удаляется из газа. Можно показать, что в результате таких процессов нет ограничений на количество фотонов в системе, а химический потенциал фотонов должен быть равен нулю для излучения черного тела.

Термодинамика фотонного газа черного тела может быть получена с использованием квантово-статистических аргументов , при этом поле излучения находится в равновесии с атомами в стенке. В результате вывода получается спектральная плотность энергии u , которая представляет собой энергию поля излучения на единицу объема на единицу частотного интервала, определяемую формулой: ^[3]

u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

.

где h — постоянная Планка , c — скорость света, ν — частота, k — постоянная Больцмана, а T — температура.

Интегрирование по частоте и умножение на объем V дает внутреннюю энергию фотонного газа черного тела:

U=\left({\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15(hc)^{3}}}\right)VT^{4}

. ^[4]

Вывод также дает (ожидаемое) количество фотонов N :

N=\left({\frac {16\pi k^{3}\zeta (3)}{(hc)^{3}}}\right)VT^{3}

,

где $\zeta (n)$ — дзета-функция Римана . Обратите внимание, что для определенной температуры число частиц N изменяется в зависимости от объема фиксированным образом, приспосабливаясь к постоянной плотности фотонов.

Если мы заметим, что уравнение состояния ультрарелятивистского квантового газа (которое по своей сути описывает фотоны) имеет вид

U=3PV

,

то мы можем объединить приведенные выше формулы, чтобы получить уравнение состояния, очень похожее на уравнение состояния идеального газа:

PV={\frac {\zeta (4)}{\zeta (3)}}NkT\approx 0.9\,NkT

.

В следующей таблице суммированы термодинамические функции состояния фотонного газа черного тела. Заметим, что давление можно записать в виде $P=bT^{4}$ , который не зависит от объема ( b — константа).

Термодинамические функции состояния фотонного газа черного тела ⁠ $(\hbar =h/2\pi )$ ⁠
	Функция состояния ( T , V )
Внутренняя энергия	$U=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{15c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{4}$
Номер частицы	$N=\left({\frac {2k^{3}\zeta (3)}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}$ ^[5]
Химический потенциал	$\mu =0\,$
Давление	$P={\frac {1}{3}}\,{\frac {U}{V}}=\left({\frac {\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,T^{4}$ ^[4]
Энтропия	$S={\frac {4U}{3T}}=\left({\frac {4\pi ^{2}k^{4}}{45c^{3}\hbar ^{3}}}\right)\,VT^{3}$ ^[4]
Энтальпия	$H={\frac {4}{3}}\,U$ ^[4]
Свободная энергия Гельмгольца	$A=-{\frac {1}{3}}\,U$
Свободная энергия Гиббса	$G=0\,$

Изотермические превращения

В качестве примера термодинамического процесса с участием фотонного газа рассмотрим цилиндр с подвижным поршнем. Внутренние стенки цилиндра «черные», чтобы температуру фотонов можно было поддерживать на определенном уровне. Это означает, что пространство внутри цилиндра будет содержать фотонный газ, распределенный по черному телу. В отличие от массивного газа, этот газ будет существовать без привнесения фотонов извне – стены будут обеспечивать фотоны для газа. Предположим, поршень вдавлен в цилиндр до упора, так что объем остается крайне малым. Фотонный газ внутри объема будет прижиматься к поршню, перемещая его наружу, и для того, чтобы превращение было изотермическим, к поршню придется приложить противодействующую силу почти такой же величины, чтобы движение поршня было равномерным. очень медленно. Эта сила будет равна давлению, умноженному на площадь поперечного сечения ( А ) поршня. Этот процесс можно продолжать при постоянной температуре до тех пор, пока объем фотонного газа не достигнет объема В ₀ . Интегрирование силы по пройденному расстоянию ( x ) дает общую работу, затраченную на создание этого фотонного газа в этом объеме.

W=-\int _{0}^{x_{0}}P(A\mathrm {d} x)

,

соотношение V = Ax где использовалось . Определение

b={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15c^{3}h^{3}}}

. ^[4]

Давление

P(x)={\frac {bT^{4}}{3}}\,

.

Интегрируя, проделанная работа просто

W=-{\frac {bT^{4}Ax_{0}}{3}}=-{\frac {bT^{4}V_{0}}{3}}

.

Количество теплоты, которое необходимо подвести для образования газа, равно

Q=U-W=H_{0}\,

.

где H ₀ - энтальпия в конце превращения. Видно, что энтальпия — это количество энергии, необходимое для создания фотонного газа.

Фотонные газы с перестраиваемым химическим потенциалом

В низкоразмерных системах, например в оптических микрорезонаторах, заполненных раствором красителя, с расстоянием между зеркалами резонатора в диапазоне длин волн, где ситуация становится двумерной, также могут быть реализованы фотонные газы с перестраиваемым химическим потенциалом. Такой фотонный газ во многом ведет себя как газ материальных частиц. Одним из следствий перестраиваемого химического потенциала является то, что при высоких плотностях фазового пространства наблюдается бозе-эйнштейновская конденсация фотонов. ^[6]

См. также

Газ в ящике – вывод функций распределения всех идеальных газов.
Бозе-газ
Ферми-газ
Закон Планка об излучении черного тела - распределение энергий фотонов в зависимости от частоты или длины волны.
Закон Стефана – Больцмана – полный поток, излучаемый черным телом.
Радиационное давление

Ссылки

^
Эйнштейн, А. (1917). «К квантовой теории излучения». Физический журнал . 18 :121-128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E . Переведено на тер Хаар, Д. (1967). «К квантовой теории излучения» . Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . стр. 167–183. LCCN 66029628 . См. также [1] .
- Эйнштейн, А. (1993). Собрание сочинений Альберта Эйнштейна . Том. 3. Английский перевод Бека, издательство А. Принстонского университета . ISBN 978-0-691-10250-4 .
^ Киттель, Чарльз ; Герберт Кремер (15 января 1980 г.). Теплофизика (2-е изд.). У. Х. Фриман.
^ Закон Планка Планк, М. (1900). «К теории закона распределения энергии в нормальном спектре» . Переговоры Немецкого физического общества . 2 :237-245. Переведено на тер Хаар, Д. (1967). «К теории закона распределения энергии нормального спектра» (PDF) . Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . п. 82. LCCN 66029628 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Лефф, Харви С. (12 июля 2002 г.). «Преподавание фотонного газа в вводной физике» . Американский журнал физики . 70 (8): 792–797. Бибкод : 2002AmJPh..70..792L . дои : 10.1119/1.1479743 . ISSN 0002-9505 .
^ Швабль, Франц (13 июня 2006 г.). «4.5 Фотонный газ» . Статистическая механика . Springer Science & Business Media. ISBN 9783540323433 .
^ Дж. Клерс; Дж. Шмитт; Ф. Вевингер и М. Вайц (2010). «Бозе-Эйнштейновская конденсация фотонов в оптическом микрорезонаторе». Природа . 468 : 545–548. arXiv : 1007.4088 . дои : 10.1038/nature09567 . ПМИД 21107426 . S2CID 4349640 .

Дальнейшее чтение

Байерляйн, Ральф (апрель 2001 г.). «Неуловимый химический потенциал» (PDF) . Американский журнал физики . 69 (4): 423–434. Бибкод : 2001AmJPh..69..423B . дои : 10.1119/1.1336839 .
Херрманн, Ф.; Вюрфель, П. (август 2005 г.). «Свет с ненулевым химическим потенциалом» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (8): 717–723. Бибкод : 2005AmJPh..73..717H . дои : 10.1119/1.1904623 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 29 июня 2012 г.

[Einstein1917-1] Эйнштейн, А. (1917). «К квантовой теории излучения». Физический журнал . 18 :121-128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E . Переведено на тер Хаар, Д. (1967). «К квантовой теории излучения» . Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . стр. 167–183. LCCN 66029628 . См. также [1] .
Эйнштейн, А. (1993). Собрание сочинений Альберта Эйнштейна . Том. 3. Английский перевод Бека, издательство А. Принстонского университета . ISBN 978-0-691-10250-4 .

[2] Эйнштейн, А. (1993). Собрание сочинений Альберта Эйнштейна . Том. 3. Английский перевод Бека, издательство А. Принстонского университета . ISBN 978-0-691-10250-4 .

[Kittel:1980-2] Киттель, Чарльз ; Герберт Кремер (15 января 1980 г.). Теплофизика (2-е изд.). У. Х. Фриман.

[Planck1900-3] Закон Планка Планк, М. (1900). «К теории закона распределения энергии в нормальном спектре» . Переговоры Немецкого физического общества . 2 :237-245. Переведено на тер Хаар, Д. (1967). «К теории закона распределения энергии нормального спектра» (PDF) . Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . п. 82. LCCN 66029628 .

[:0-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Лефф, Харви С. (12 июля 2002 г.). «Преподавание фотонного газа в вводной физике» . Американский журнал физики . 70 (8): 792–797. Бибкод : 2002AmJPh..70..792L . дои : 10.1119/1.1479743 . ISSN 0002-9505 .

[5] Швабль, Франц (13 июня 2006 г.). «4.5 Фотонный газ» . Статистическая механика . Springer Science & Business Media. ISBN 9783540323433 .

[Klaers:2010-6] Дж. Клерс; Дж. Шмитт; Ф. Вевингер и М. Вайц (2010). «Бозе-Эйнштейновская конденсация фотонов в оптическом микрорезонаторе». Природа . 468 : 545–548. arXiv : 1007.4088 . дои : 10.1038/nature09567 . ПМИД 21107426 . S2CID 4349640 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]