Газ в коробке

В квантовой механике результаты исследования квантовой частицы в ящике можно использовать для рассмотрения ситуации равновесия квантового идеального газа в ящике , который представляет собой ящик, содержащий большое количество молекул, которые не взаимодействуют друг с другом, за исключением мгновенных мгновений. термализация столкновений. Эту простую модель можно использовать для описания классического идеального газа , а также различных квантовых идеальных газов, таких как идеальный массивный ферми-газ , идеальный массивный бозе-газ, а также излучение черного тела ( фотонный газ ), которое можно рассматривать как безмассовый газ. Бозе-газ, в котором обычно предполагается, что термализация облегчается взаимодействием фотонов с уравновешенной массой.

Используя результаты статистики Максвелла-Больцмана , статистики Бозе-Эйнштейна или статистики Ферми-Дирака и учитывая предел очень большого ящика, приближение Томаса-Ферми (названное в честь Энрико Ферми и Ллевеллина Томаса ) используется для выражения вырождения энергетических состояний как дифференциал, а суммирования по состояниям как интегралы. Это позволяет рассчитывать термодинамические свойства газа с использованием статистической суммы или большой статистической суммы . Эти результаты будут применены как к массивным, так и к безмассовым частицам. Более полные расчеты будут оставлены в отдельных статьях, но несколько простых примеров будут приведены в этой статье.

Приближение Томаса–Ферми для вырождения состояний

Как для массивных, так и для безмассовых частиц в ящике состояния частицы таковы:перечисляется набором квантовых [ n _x , ny _, . n _z ] чисел Величина импульса определяется выражением

$p={\frac {h}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3,\ldots$

где h — постоянная Планка , а L — длина стороны ящика. Каждое возможное состояние частицы можно рассматривать как точку на трехмерной сетке положительных целых чисел. Расстояние от начала координат до любой точки будет

$n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {2Lp}{h}}$

Предположим, что каждый набор квантовых чисел определяет f состояний, где f — количество внутренних степеней свободы частицы, которые могут быть изменены в результате столкновения. Например, вращение 1/2 , по одному = частицы будут иметь f 2 на каждое состояние спина. Для больших значений n количество состояний с величиной импульса меньше или равным p из приведенного выше уравнения приблизительно равно

$g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}$

что всего в f раз превышает объем сферы радиуса n, только октант с положительным n _i деленный на восемь, поскольку рассматривается . Таким образом , используя континуальное приближение, количество состояний с величиной импульса между p и p + dp равно

$dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp$

где V = L ³ это объём коробки. Обратите внимание, что при использовании этого приближения континуума, также известного как приближение Томаса-Ферми , теряется способность характеризовать состояния с низкой энергией, включая основное состояние, где = _ni 1 . В большинстве случаев это не будет проблемой, но при рассмотрении конденсации Бозе-Эйнштейна , в которой большая часть газа находится в основном состоянии или около него , способность иметь дело с состояниями с низкой энергией становится важной.

Без использования каких-либо приближений количество частиц с энергией ε _i определяется выражением

$N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\varepsilon _{i})}}$

где $g_{i}$ – вырождение состояния i и $$\Phi (\varepsilon _{i})={\begin{cases}e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )},&{\text{for particles obeying Maxwell-Boltzmann statistics}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}-1,&{\text{for particles obeying Bose-Einstein statistics}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}+1,&{\text{for particles obeying Fermi-Dirac statistics}}\\\end{cases}}$$ с β = 1/ k _B T , постоянной Больцмана k _B , температурой T и химическим потенциалом   μ . (См. статистику Максвелла-Больцмана , статистику Бозе-Эйнштейна и статистику Ферми-Дирака .)

Используя приближение Томаса-Ферми, количество частиц dN _E с энергией между E и E + dE равно:

$dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}$

где $dg_{E}$ — число состояний с энергией между E и E + dE .

Распределение энергии

Используя результаты, полученные из предыдущих разделов этой статьи, теперь можно определить некоторые распределения газа в ящике. Для системы частиц распределение $P_{A}$ для переменной $A$ определяется через выражение $P_{A}dA$ что представляет собой долю частиц, имеющих значения для $A$ между $A$ и $A+dA$

$P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}$

где

• $dN_{A}$, количество частиц, которые имеют значения для $A$ между $A$ и $A+dA$
• $dg_{A}$, количество состояний, которые имеют значения для $A$ между $A$ и $A+dA$
• $\Phi _{A}^{-1}$, вероятность того, что состояние, имеющее значение $A$ занят частицей
• $N$, общее число частиц.

Отсюда следует, что:

$\int _{A}P_{A}~dA=1$

Для распределения импульса $P_{p}$, доля частиц с величиной импульса между $p$ и $p+dp$ является:

$P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^{3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp$

и для распределения энергии $P_{E}$, доля частиц с энергией между $E$ и $E+dE$ является:

$P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE$

Для частицы в ящике (да и для свободной частицы) связь между энергией $E$ и импульс $p$ различен для массивных и безмассовых частиц. Для массивных частиц

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

а для безмассовых частиц

$E=pc$

где $m$ - масса частицы и $c$ это скорость света.Используя эти отношения,

• Для массивных частиц $${\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}$$ где Λ — тепловая длина волны газа. $$\Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}$$ Это важная величина, поскольку, когда Λ порядка расстояния между частицами $(V/N)^{1/3}$квантовые эффекты начинают доминировать, и газ больше нельзя считать газом Максвелла – Больцмана.
• Для безмассовых частиц $${\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}$$ где Λ теперь является тепловой длиной волны для безмассовых частиц. $$\Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}$$

Конкретные примеры

В следующих разделах приводятся примеры результатов для некоторых конкретных случаев.

Массивные частицы Максвелла – Больцмана

Для этого случая:

$\Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}$

Интегрирование функции распределения энергии и решение для N дает

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\,\,e^{\beta \mu }$

Подстановка в исходную функцию распределения энергии дает

$P_{E}~dE=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}E}{\pi }}}~e^{-\beta E}~dE$

это те же самые результаты, полученные классически для распределения Максвелла – Больцмана . Дальнейшие результаты можно найти в классическом разделе статьи об идеальном газе .

Массивные частицы Бозе-Эйнштейна

Для этого случая:

$\Phi (E)={\frac {e^{\beta E}}{z}}-1$

где $z=e^{\beta \mu }.$

Интегрирование функции распределения по энергии и решение для N дает число частиц

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)$

где Li _s ( z ) — функция полилогарифма . Член полилогарифма всегда должен быть положительным и действительным, что означает, что его значение будет меняться от 0 до ζ (3/2) при изменении z от 0 до 1. По мере того, как температура падает до нуля, Λ будет становиться все больше и больше, пока, наконец, Λ достигнет критического значения Λ _c , где z = 1 и

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda _{\rm {c}}^{3}}}\right)\zeta (3/2),$

где $\zeta (z)$ обозначает дзета-функцию Римана . Температура, при которой Λ = Λ _c, является критической температурой. Для температур ниже этой критической температуры приведенное выше уравнение для числа частиц не имеет решения. Критическая температура — это температура, при которой начинает образовываться бозе-эйнштейновский конденсат. Проблема, как упоминалось выше, в том, что основное состояние игнорировалось в континуальном приближении. Однако оказывается, что приведенное выше уравнение для числа частиц довольно хорошо выражает число бозонов в возбужденных состояниях и, таким образом:

$N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\operatorname {Li} _{3/2}(z)$

где добавленный член представляет собой количество частиц в основном состоянии. Энергия основного состояния не учитывалась. Это уравнение будет сохраняться до нулевой температуры. Дальнейшие результаты можно найти в статье об идеальном бозе-газе .

Безмассовые частицы Бозе – Эйнштейна (например, излучение черного тела)

В случае безмассовых частиц необходимо использовать безмассовую функцию распределения энергии. Эту функцию удобно преобразовать в функцию распределения частот:

$P_{\nu }~d\nu ={\frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu$

где Λ — тепловая длина волны для безмассовых частиц. Спектральная плотность энергии (энергия на единицу объема на единицу частоты) тогда равна

$U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N\,h\nu }{V}}\right)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu .$

Остальные термодинамические параметры могут быть получены аналогично случаю массивных частиц. Например, интегрирование функции распределения по частотам и решение N дает количество частиц:

$N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /k_{\rm {B}}T}\right).$

Самый распространенный безмассовый бозе-газ — это фотонный газ в черном теле . Принимая «коробку» за полость черного тела, фотоны постоянно поглощаются и переизлучаются стенками. В этом случае число фотонов не сохраняется. При выводе статистики Бозе-Эйнштейна , когда ограничение на количество частиц снимается, это фактически то же самое, что устанавливать химический потенциал ( μ ) равным нулю. Более того, поскольку фотоны имеют два спиновых состояния, значение f равно 2. Тогда спектральная плотность энергии равна

$U_{\nu }~d\nu ={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu$

это просто спектральная плотность энергии для закона Планка об излучении черного тела . Обратите внимание, что распределение Вина восстанавливается, если эту процедуру выполнить для безмассовых частиц Максвелла – Больцмана, что аппроксимирует распределение Планка для высоких температур или низких плотностей.

В определенных ситуациях реакции с участием фотонов приведут к сохранению количества фотонов (например, светодиоды , «белые» полости). В этих случаях функция распределения фотонов будет включать ненулевой химический потенциал. (Германн 2005)

Другой безмассовый бозе-газ определяется моделью Дебая для теплоемкости . Эта модель рассматривает газ фононов в ящике и отличается от разработки для фотонов тем, что скорость фононов меньше скорости света, а для каждой оси ящика существует максимально допустимая длина волны. Это означает, что интегрирование по фазовому пространству не может осуществляться до бесконечности, и вместо того, чтобы выражать результаты в полилогарифмах, они выражаются в соответствующих функциях Дебая .

Массивные частицы Ферми – Дирака (например, электроны в металле)

Для этого случая:

$\Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}+1.\,$

Интегрирование функции распределения энергии дает

$N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]$

где опять-таки Li _s ( z ) — функция полилогарифма, а Λ — тепловая длина волны де Бройля . Дальнейшие результаты можно найти в статье об идеальном ферми-газе . Ферми-газ находит применение в модели свободных электронов , теории белых карликов и в вырожденной материи в целом.

См. также

• Газ в гармонической ловушке

Ссылки

• Херрманн, Ф.; Вюрфель, П. (август 2005 г.). «Свет с ненулевым химическим потенциалом» . Американский журнал физики . 73 (8): 717–723. Бибкод : 2005AmJPh..73..717H . дои : 10.1119/1.1904623 . Проверено 20 ноября 2006 г.
• Хуанг, Керсон (1967). Статистическая механика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
• Исихара, А. (1971). Статистическая физика . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Ландау, Л.Д.; Э. М. Лифшиц (1996). Статистическая физика (3-е издание, часть 1-е изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн.
• Ян, Цзыджун (2000). «Общая тепловая длина волны и ее применение». Евро. Дж. Физ . 21 (6): 625–631. Бибкод : 2000EJPh...21..625Y . дои : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . S2CID   250870934 .
• Ву-Куок, Л., Конфигурационный интеграл (статистическая механика) , 2008. Этот вики-сайт недоступен; см. эту статью в веб-архиве от 28 апреля 2012 года .