Jump to content

Точка равновесия (математика)

(Перенаправлено из Равновесного решения )
Диаграмма устойчивости, классифицирующая карты Пуанкаре линейной автономной системы как стабильные или нестабильные в зависимости от их особенностей. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. [1] Некоторые сток, источник или узел являются точками равновесия.

В математике , особенно в дифференциальных уравнениях , точка равновесия — это постоянное решение дифференциального уравнения.

Формальное определение

[ редактировать ]

Суть является точкой равновесия для дифференциального уравнения

если для всех .

Аналогично, точка является точкой равновесия (или неподвижной точкой ) для разностного уравнения

если для .


Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнений равновесия. Другими словами, оценивая матрицу Якоби в каждой из точек равновесия системы, а затем находя полученные собственные значения, можно классифицировать равновесия. Тогда поведение системы в окрестности каждой точки равновесия можно определить качественно (или в некоторых случаях даже определить количественно), найдя собственный вектор(ы), связанный с каждым собственным значением.

Точка равновесия называется гиперболической , если ни одно из собственных значений не имеет нулевой вещественной части. Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, точка устойчива . Если хотя бы одна из них имеет положительную действительную часть, точка неустойчива . Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой и неустойчиво. Если все собственные значения вещественны и имеют одинаковый знак, то точка называется узлом .

См. также

[ редактировать ]

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-470-45831-0 .
  • Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Спрингер. стр. 102–104. ISBN  1-4613-0003-7 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: bc3c73b97a607eb797bb3bcb7e64bc9a__1701377520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/bc/9a/bc3c73b97a607eb797bb3bcb7e64bc9a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Equilibrium point (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)