Точка равновесия (математика)
В математике , особенно в дифференциальных уравнениях , точка равновесия — это постоянное решение дифференциального уравнения.
Формальное определение
[ редактировать ]Суть является точкой равновесия для дифференциального уравнения
если для всех .
Аналогично, точка является точкой равновесия (или неподвижной точкой ) для разностного уравнения
если для .
Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнений равновесия. Другими словами, оценивая матрицу Якоби в каждой из точек равновесия системы, а затем находя полученные собственные значения, можно классифицировать равновесия. Тогда поведение системы в окрестности каждой точки равновесия можно определить качественно (или в некоторых случаях даже определить количественно), найдя собственный вектор(ы), связанный с каждым собственным значением.
Точка равновесия называется гиперболической , если ни одно из собственных значений не имеет нулевой вещественной части. Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, точка устойчива . Если хотя бы одна из них имеет положительную действительную часть, точка неустойчива . Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой и неустойчиво. Если все собственные значения вещественны и имеют одинаковый знак, то точка называется узлом .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Математика Эгвальда - Линейная алгебра: системы линейных дифференциальных уравнений: анализ линейной устойчивости , по состоянию на 10 октября 2019 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-470-45831-0 .
- Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Спрингер. стр. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7 .