Критическая точка (математика)

В математике критическая точка — это аргумент функции функции , у которой производная равна нулю (или не определена, как указано ниже). Значение функции в критической точке равно критическое значение . ^[1]

Более конкретно, когда речь идет о функциях действительной переменной , критическая точка, также известная как стационарная точка , — это точка в области определения функции, где производная функции равна нулю (или где функция не дифференцируема ). ^[2] Аналогично, при работе с комплексными переменными критическая точка — это точка в области определения функции, где ее производная равна нулю (или функция не является голоморфной ). ^[3]^[4] Аналогично, для функции нескольких действительных переменных критическая точка — это значение в ее области определения, где градиента норма равна нулю (или не определена). ^[5]

Такое определение распространяется на дифференцируемые отображения между $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbb {R} ^{n},$ в критической точкой данном случае является точка, в которой ранг матрицы Якоби не является максимальным. Он распространяется дальше на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями , как точки, в которых ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки еще называют точками бифуркации . В частности, если $C$ — плоская кривая , определяемая неявным уравнением $f (x, y) = 0$ , критическими точками проекции на $ось x$ , параллельной $оси y$ , являются точки, где касательная к $C$ параллельны $оси y$ , то есть точки, в которых ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$ . Другими словами, критическими точками являются те, к которым теорема о неявной функции не применима.

Критическая точка функции одной переменной [ править ]

Критическая точка функции одной переменной f $действительной (x)$ — это значение $x0,$ в области f $f$ где $производная$ не дифференцируема или ее равна 0 (т.е. $f'(x_{0})=0$ ). ^[2]Критическая величина – это изображение $под f$ критической точки . Эти концепции можно визуализировать с помощью графика f $.$ : в критической точке график имеет горизонтальную касательную , если вы вообще можете ее назначить

Обратите внимание, что для функции дифференцируемой критическая точка совпадает с стационарной точкой .

Хотя это легко визуализируется на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки кривой в некотором направлении ( см. Ниже подробное определение ). Если $g (x, y)$ — дифференцируемая функция двух переменных, то $g (x, y) = 0$ — неявное уравнение кривой. Критической точкой такой кривой для проекции, параллельной $оси y$ (отображение $(x, y) \to x$ ), является точка кривой, где ${\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.$ Это означает, что касательная кривой параллельна $оси y$ и что в этой точке g не определяет неявную функцию от $x$ до $y$ (см. теорему о неявной функции ). Если $(x 0, y 0)$ является такой критической точкой, то $x 0$ является соответствующим критическим значением . Такую критическую точку еще называют точкой бифуркации , поскольку, как правило, при $изменении x$ имеются две ветви кривой на стороне $x0 и ноль$ на другой стороне.

Из этих определений следует, что функция $f (x)$ имеет критическую точку $x0 y0$ с критическим значением $дифференцируемая проекции ,$ тогда и только тогда, когда $y0) является (x0, критической ее графика для точкой$ параллельной $x$ -ось, с тем же критическим значением y ₀ . Если $f$ не дифференцируема в точке $из x0$ касательная становится параллельной $оси y$ то $x0 -за того ,$ снова является критической точкой $f$ , но теперь $(x0, что y0,)$ является критической точкой ее графика для проекции параллельно $Y.$ оси

Например, критические точки единичной окружности уравнения $x^{2}+y^{2}-1=0$ равны (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной $оси x$ , и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного оси $y$ . Если рассматривать верхний полукруг как график функции $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$ тогда $x = 0$ является критической точкой с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а $x = \pm1$ являются критическими точками с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена.

Примеры [ править ]

Функция $f(x)=x^{2}+2x+3$ дифференцируема всюду с производной $f'(x)=2x+2.$ Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это уникальное число $x 0$ , для которого $2x+2=0.$ Эта точка является глобальным минимумом $f$ . Соответствующее критическое значение равно $f(-1)=2.$ График $f$ представляет собой вогнутую вверх параболу , критическая точка — это абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение — это ордината вершины и может быть представлено пересечением этой касательной линии и $ось у$ .
Функция $f(x)=x^{2/3}$ определен для всех $x$ и дифференцируем при $x \neq 0$ с производной $f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}.$ Поскольку $f$ не дифференцируема в точке $x = 0$ и $f'(x)\neq 0$ в противном случае это единственная критическая точка. График функции $f$ имеет в этой точке точку возврата с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение равно $f(0)=0.$
Функция абсолютного значения $f(x)=|x|$ дифференцируема всюду, кроме критической точки $x = 0$ , где она имеет глобальную точку минимума с критическим значением 0.
Функция $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ не имеет критических точек. Точка $x = 0$ не является критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции.

Расположение критических точек [ править ]

По теореме Гаусса-Люкаса все критические точки полиномиальной функции на комплексной плоскости находятся внутри выпуклой оболочки корней функции . Таким образом, для полиномиальной функции, имеющей только действительные корни, все критические точки вещественны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.

Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичном круге комплексной плоскости, то на единичном расстоянии от любого данного корня существует хотя бы одна критическая точка.

Критические точки неявной кривой [ править ]

Критические точки играют важную роль при изучении плоских кривых , определяемых неявными уравнениями , в частности при их изображении и определении их топологии . Понятие критической точки, используемое в этом разделе, может показаться отличным от понятия из предыдущего раздела. Фактически это специализация на простом случае общего понятия критической точки, приведенного ниже .

Таким образом, мы рассматриваем кривую $C$ , определяемую неявным уравнением $f(x,y)=0$ , где $f$ — дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный полином . Точки кривой — это точки евклидовой плоскости которых , декартовы координаты удовлетворяют уравнению. Есть две стандартные проекции $\pi _{y}$ и $\pi _{x}$ , определяется $\pi _{y}((x,y))=x$ и $\pi _{x}((x,y))=y,$ которые отображают кривую на оси координат . Их называют проекцией, параллельной оси Y , и проекцией, параллельной оси X соответственно.

Точка $С$ является критической для $\pi _{y}$ , если касательная к $C$ существует и параллельна оси y . случае изображения В этом $\pi _{y}$ критическая точка и касательная — это одна и та же точка оси x , называемая критическим значением . Таким образом, точка $C$ является критической для $\pi _{y}$ если его координаты являются решением системы уравнений :

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

Отсюда следует, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое приведено ниже .

Определение критической точки для $\pi _{x}$ похож. Если $C$ — график функции $y=g(x)$ , то $(x, y)$ является критическим для $\pi _{x}$ тогда и только тогда, когда $x$ является критической точкой $g$ и критические значения одинаковы.

Некоторые авторы определяют критические точки C $как точки ,$ критические либо для $\pi _{x}$ или $\pi _{y}$ , хотя они зависят не только от $C$ , но и от выбора осей координат. От авторов зависит также, ли особые точки считать критическими. Фактически особые точки — это точки, которые удовлетворяют

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. Согласно этому более общему определению, критические точки для $\pi _{y}$ являются именно теми точками, к которым теорема о неявной функции не применима.

Использование дискриминанта [ править ]

Когда кривая $C$ является алгебраической, то есть когда она определяется двумерным полиномом $f$ , тогда дискриминант является полезным инструментом для вычисления критических точек.

Здесь мы рассматриваем только проекцию $\pi _{y}$ ; Аналогичные результаты применимы и к $\pi _{x}$ поменяв местами $x$ и $y$ .

Позволять $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ быть дискриминантом f $,$ рассматриваемым как многочлен от $y$ с коэффициентами, которые являются полиномами от $x$ . Таким образом, этот дискриминант представляет собой многочлен от $x$ , который имеет критические значения $\pi _{y}$ среди своих корней.

Точнее, простой корень из $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ является либо критическим значением $\pi _{y}$ такой соответствующей критической точкой является точка, которая не является ни особой, ни точкой перегиба, или $координата x$ асимптоты , которая параллельна оси $y$ и касается «на бесконечности» точки перегиба (асимптота перегиба).

Кратный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам или асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Несколько переменных [ править ]

Для функции нескольких действительных переменных точка $P$ (то есть набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в $\mathbb {R} ^{n}$ ) имеет решающее значение , если это точка, в которой градиент равен нулю или не определен. ^[5] Критические значения — это значения функции в критических точках.

Критическая точка (где функция дифференцируема) может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Если функция по крайней мере дважды непрерывно дифференцируема, различные случаи можно различить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессиана невырождена , называется невырожденной , а знаки собственных значений гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной гессиан — это просто вторая производная , рассматриваемая как матрица размера 1 × 1, которая является невырожденной тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка является локальным максимумом или локальным минимумом в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критическая точка обычно является точкой перегиба , но также может быть точкой волнистости , которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции $n$ переменных число отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен $n$ или, что то же самое, если матрица Гессе отрицательно определена ; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе положительно определена . Для остальных значений индекса невырожденной критической точкой является седловая точка , то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.

Приложение к оптимизации [ править ]

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции встречаются в критических точках. Поэтому для нахождения локальных максимумов и минимумов дифференцируемой функции теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. Для этого требуется решение системы уравнений , что может оказаться сложной задачей. Обычные численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что все экстремумы найдены. В частности, при глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимумом.

Когда минимизируемая функция представляет собой многомерный полином , критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений , а современные алгоритмы решения таких систем предоставляют конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Критическая точка дифференцируемого отображения [ править ]

Учитывая дифференцируемое отображение $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$ критические точки f $являются$ точками $\mathbb {R} ^{m},$ где ранг матрицы Якоби функции $f$ не является максимальным. ^[6]Образ критической точки при $f$ называется критической величиной. Точка в дополнении множества критических значений называется регулярным значением . Теорема Сарда утверждает, что множество критических значений гладкого отображения имеет нулевую меру .

Некоторые авторы ^[7] дайте несколько другое определение: критическая точка f $—$ это точка $\mathbb {R} ^{m}$ где ранг матрицы Якоби функции $f$ меньше $n$ . Согласно этому соглашению, все точки являются критическими, когда $m < n$ .

Эти определения распространяются на дифференциальные отображения между дифференцируемыми многообразиями следующим образом. Позволять $f:V\to W$ быть дифференциальным отображением между двумя многообразиями $V$ и $W$ соответствующих размерностей $m$ и $n$ . В окрестности точки $p$ точки $V$ и $f (p)$ . карты являются диффеоморфизмами $\varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}$ и $\psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.$ Точка $p$ является критической для $f$ , если $\varphi (p)$ имеет решающее значение для $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ Это определение не зависит от выбора карт, поскольку отображения переходов являются диффеоморфизмами, их матрицы якоби обратимы и умножение на них не меняет ранга матрицы якобиана $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ Если $M$ — гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное), а $f$ — вещественнозначная функция, то мы говорим, что $p$ — критическая точка $f$ если $f$ является не субмерсией , в $p$ . ^[8]

Приложение к топологии [ править ]

Критические точки имеют основополагающее значение для изучения и вещественных топологии многообразий алгебраических многообразий . ^[1] В частности, они являются основным инструментом теории Морса и теории катастроф .

Связь между критическими точками и топологией проявляется уже на более низком уровне абстракции. Например, пусть $V$ быть подмногообразием $\mathbb {R} ^{n},$ и $P$ — точка снаружи $V.$ Квадрат расстояния до $P$ точки $V$ является дифференциальным отображением, в котором каждая компонента связности $V$ содержит хотя бы критическую точку, в которой расстояние минимально. Отсюда следует, что число компонент связности $V$ ограничено сверху числом критических точек.

В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить количество компонент связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Проблемы математического анализа Демидовец Борис П., Бараненков Г. Москва(ИС): Москва. 1964. ISBN 0846407612 . OCLC 799468131 . {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталии (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. ISBN 9780495011668 . OCLC 144526840 .
^ Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Белмонт, Калифорния: Брукс/Коул, Cengage Learning. ISBN 9780547167022 . OCLC 319729593 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Роберт А.; Эссекс, Кристофер (2009). Исчисление: Полный курс . Пирсон Прентис Холл . п. 744 . ISBN 978-0-321-54928-0 .
^ Карму, Манфредо Пердиган ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7 .
^ Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-20735-3 . ISBN 978-3-319-20734-6 .
^ Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии, с. 186, дои : 10.1007/978-1-4612-0541-8

[milnor-1] Перейти обратно: ^а ^б Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б Проблемы математического анализа Демидовец Борис П., Бараненков Г. Москва(ИС): Москва. 1964. ISBN 0846407612 . OCLC 799468131 . {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )

[3] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталии (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. ISBN 9780495011668 . OCLC 144526840 .

[4] Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Белмонт, Калифорния: Брукс/Коул, Cengage Learning. ISBN 9780547167022 . OCLC 319729593 .

[:1-5] Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Роберт А.; Эссекс, Кристофер (2009). Исчисление: Полный курс . Пирсон Прентис Холл . п. 744 . ISBN 978-0-321-54928-0 .

[6] Карму, Манфредо Пердиган ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7 .

[7] Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-20735-3 . ISBN 978-3-319-20734-6 .

[8] Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии, с. 186, дои : 10.1007/978-1-4612-0541-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]