Теория бифуркации

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узла.

Теория бифуркаций — математическое исследование изменений качественной или топологической структуры данного семейства кривых , например интегральных кривых семейства векторных полей и решений семейства дифференциальных уравнений . наиболее часто применяемая к математическому исследованию динамических систем , Бифуркация, возникает, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение в ее поведении. ^[1] Бифуркации происходят как в непрерывных системах (описываемых обыкновенными уравнениями , уравнениями с запаздыванием или в частных производных), так и в дискретных системах (описываемых отображениями).

Название «бифуркация» было впервые введено Анри Пуанкаре в 1885 году в первой математической статье, показывающей такое поведение. ^[2]

Типы бифуркаций

Полезно разделить бифуркации на два основных класса:

Локальные бифуркации, которые можно полностью анализировать через изменения свойств локальной устойчивости равновесий , периодических орбит или других инвариантных множеств, когда параметры пересекают критические пороги; и
Глобальные бифуркации, которые часто возникают, когда более крупные инвариантные множества системы «столкаются» друг с другом или с состояниями равновесия системы. Их нельзя обнаружить только путем анализа устойчивости равновесий (неподвижных точек).

Локальные бифуркации

Бифуркации сокращения периода вдвое (L), ведущие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), ведущие к хаосу.

Локальная бифуркация возникает, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через ноль. В дискретных системах (описываемых отображениями) это соответствует неподвижной точке, имеющей множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие негиперболическое в точке бифуркации .Топологические изменения фазового портрета системы можно ограничить сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, переместив параметр бифуркации близко к точке бифуркации (следовательно, «локально»).

С технической точки зрения рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). ${\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.$ происходит локальная бифуркация $(x_{0},\lambda _{0})$ если Якобиана матрица ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ имеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является бифуркацией установившегося состояния, но если собственное значение ненулевое, но чисто мнимое, это бифуркация Хопфа .

Для дискретных динамических систем рассмотрим систему $x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.$ Тогда происходит локальная бифуркация $(x_{0},\lambda _{0})$ если матрица ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация является либо седловым узлом (часто называемым складчатой бифуркацией в картах), либо транскритической бифуркацией, либо бифуркацией вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или флип), в противном случае это бифуркация Хопфа.

Примеры локальных бифуркаций включают в себя:

Седло-узловая (складка) бифуркация
Транскритическая бифуркация
Развилка вил
Бифуркация удвоения периода (флип)
бифуркация Хопфа
Бифуркация Неймарка – Сакера (вторичная бифуркация Хопфа)

Глобальные бифуркации

Фазовый портрет до, во время и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет до тех пор, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности и она стала гомоклинической орбитой . После бифуркации периодическая орбита больше не существует. **Левая панель** : для малых значений параметров имеется седловая точка в начале координат и предельный цикл в первом квадранте. **Средняя панель** : по мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл увеличивается до тех пор, пока не достигнет точного пересечения седловой точки, образуя орбиту бесконечной продолжительности. **Правая панель** : При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.

Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с состояниями равновесия. Это вызывает изменения топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае локальных бифуркаций. Фактически изменения топологии распространяются на сколь угодно большие расстояния (отсюда и «глобальные»).

Примеры глобальных бифуркаций включают в себя:

Гомоклиническая бифуркация , при которой предельный цикл сталкивается с седловой точкой . ^[3] Гомоклинические бифуркации могут возникать как в надкритическом, так и в субкритическом состоянии. Вышеупомянутый вариант представляет собой гомоклиническую бифуркацию «маленькой» или «типа I». В 2D существует также «большая» или «типа II» гомоклиническая бифуркация, в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы неустойчивого и устойчивого многообразий седла. В трех или более измерениях могут возникать бифуркации более высоких коразмерностей, создавая сложную, возможно, хаотическую динамику.
Гетероклиническая бифуркация , при которой предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл . ^[4] Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и поперечные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла меняется, когда выполняется алгебраическое условие на собственные значения равновесий в цикле. Обычно это сопровождается рождением или гибелью периодической орбиты . Поперечная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть поперечного собственного значения одного из состояний равновесия в цикле проходит через ноль. Это также приведет к изменению стабильности гетероклинического цикла.
Бифуркация с бесконечным периодом , при которой на предельном цикле одновременно возникают устойчивый узел и седловая точка. ^[5] По мере приближения предела параметра к определенному критическому значению скорость колебаний замедляется и период приближается к бесконечности. При этом критическом значении происходит бифуркация бесконечного периода. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга в предельном цикле, разрушая колебания и образуя две седловые точки .
Катастрофа голубого неба , в которой предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.

Глобальные бифуркации могут также включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).

Примеры бифуркаций
В системе происходит бифуркация Хопфа ${\dot {x}}=\mu x+y-x^{2}$ и ${\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}$ , когда $\mu =0$ , вокруг начала координат. Вокруг происходит гомоклиническая бифуркация. $\mu =0.06605695$ .
Подробный взгляд на гомоклиническую бифуркацию.
Как $\mu$ возрастает от нуля, устойчивый предельный цикл выходит из начала координат через бифуркацию Хопфа. Здесь мы строим предельный цикл параметрически с точностью до порядка $\mu ^{3/2}$ . Точное вычисление объяснено на странице бифуркации Хопфа .

Коразмерность бифуркации

Коразмерность . бифуркации — это количество параметров, которые необходимо варьировать, чтобы произошла бифуркация Это соответствует коразмерности набора параметров, для которой бифуркация происходит в пределах всего пространства параметров. Бифуркации седло-узла и бифуркации Хопфа - единственные общие локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические бифуркации и бифуркации вил также часто считаются коразмерностью один, поскольку нормальные формы можно записать только с одним параметром.

Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является бифуркация Богданова – Такенса .

Приложения в квазиклассической и квантовой физике

Теория бифуркации применялась для связи квантовых систем с динамикой их классических аналогов в атомных системах. ^[6]^[7]^[8] молекулярные системы, ^[9] и резонансно-туннельные диоды . ^[10] Теория бифуркации также применялась к изучению лазерной динамики. ^[11] и ряд теоретических примеров, к которым трудно получить экспериментальный доступ, таких как удар волчком. ^[12] и связанные квантовые ямы. ^[13] Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, как Мартин Гутцвиллер в своей классической работе. указывает ^[14] работать над квантовым хаосом . ^[15] Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седлового узла, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации возврата.

См. также

Примечания

^ Бланшар, П.; Девани, РЛ ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Лондон: Томпсон. стр. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8 .
^ Анри Пуанкаре. « Баланс жидкой массы, оживлённой вращательным движением ». Acta Mathematica , том 7, стр. 259–380, сентябрь 1885 г.
^ Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Аддисон-Уэсли . п. 262. ИСБН 0-201-54344-3 .
^ Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем . Всемирная научная. п. 26. ISBN 981-02-2094-4 .
^ Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и глобальные ветви бифуркации», SIAM Journal on Applied Mathematics , Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
^ Гао, Дж.; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях» . Физ. Преподобный А. 56 (1): 356–364. Бибкод : 1997PhRvA..56..356G . дои : 10.1103/PhysRevA.56.356 . S2CID 120255640 .
^ Петерс, AD; Яффе, К.; Делос, Дж. Б. (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Физ. Преподобный Летт . 73 (21): 2825–2828. Бибкод : 1994PhRvL..73.2825P . doi : 10.1103/PhysRevLett.73.2825 . ПМИД 10057205 . S2CID 1641622 .
^ Кортни, Майкл; Цзяо, Хун; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Дэниел; Гао, Дж.; Делос, Дж.Б.; и др. (1995). «Бифуркации замкнутой орбиты в континуальных спектрах Штарка» . Физ. Преподобный Летт . 74 (9): 1538–1541. Бибкод : 1995PhRvL..74.1538C . дои : 10.1103/PhysRevLett.74.1538 . ПМИД 10059054 . S2CID 21573702 .
^ Фунаргиотакис, М.; Фарантос, Южная Каролина; Скокос, Ч.; Контопулос, Г. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит несвязанных молекулярных систем: FH2». Письма по химической физике . 277 (5–6): 456–464. Бибкод : 1997CPL...277..456F . дои : 10.1016/S0009-2614(97)00931-7 .
^ Монтейро, Т.С. и Сарага, Д.С. (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: квазиклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики . 31 (2): 355–370. Бибкод : 2001FoPh...31..355M . дои : 10.1023/А:1017546721313 . S2CID 120968155 .
^ Вечорек, С.; Краускопф, Б.; Симпсон, ТБ и Ленстра, Д. (2005). «Динамическая сложность оптически инжектируемых полупроводниковых лазеров». Отчеты по физике . 416 (1–2): 1–128. Бибкод : 2005PhR...416....1W . doi : 10.1016/j.physrep.2005.06.003 .
^ Стаматиу, Г. и Гикас, ДПК (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и шрамов в неавтономных системах. Случай квантового удара сверху». Буквы по физике А. 368 (3–4): 206–214. arXiv : Quant-ph/0702172 . Бибкод : 2007PhLA..368..206S . doi : 10.1016/j.physleta.2007.04.003 . S2CID 15562617 .
^ Галан, Дж.; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Доклады по математической физике . 44 (1–2): 87–94. Бибкод : 1999РпМП...44...87Г . дои : 10.1016/S0034-4877(99)80148-7 .
^ Клеппнер, Д.; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: идеи из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики . 31 (4): 593–612. Бибкод : 2001FoPh...31..593K . дои : 10.1023/A:1017512925106 . S2CID 116944147 .
^ Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5 .

Ссылки

Афраймович, В.С.; Арнольд, VI ; и др. (1994). Теория бифуркаций и теория катастроф . Спрингер. ISBN 978-3-540-65379-0 .
Гуардия, М.; Мартинес-Сеара, М.; Тейшейра, Массачусетс (2011). Типовые бифуркации малой коразмерности плоских систем Филиппова . «Журнал дифференциальных уравнений», февраль 2011 г., том. 250, номер. 4, стр. 1967–2023 гг. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
Виггинс, Стивен (1988). Глобальные бифуркации и хаос: аналитические методы . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-96775-2 .

Внешние ссылки

Нелинейная динамика
Бифуркации и двумерные потоки Элмера Г. Винса
Введение в теорию бифуркаций Джона Дэвида Кроуфорда

[1] Бланшар, П.; Девани, РЛ ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Лондон: Томпсон. стр. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8 .

[2] Анри Пуанкаре. « Баланс жидкой массы, оживлённой вращательным движением ». Acta Mathematica , том 7, стр. 259–380, сентябрь 1885 г.

[3] Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Аддисон-Уэсли . п. 262. ИСБН 0-201-54344-3 .

[4] Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем . Всемирная научная. п. 26. ISBN 981-02-2094-4 .

[5] Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и глобальные ветви бифуркации», SIAM Journal on Applied Mathematics , Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.

[6] Гао, Дж.; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях» . Физ. Преподобный А. 56 (1): 356–364. Бибкод : 1997PhRvA..56..356G . дои : 10.1103/PhysRevA.56.356 . S2CID 120255640 .

[7] Петерс, AD; Яффе, К.; Делос, Дж. Б. (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Физ. Преподобный Летт . 73 (21): 2825–2828. Бибкод : 1994PhRvL..73.2825P . doi : 10.1103/PhysRevLett.73.2825 . ПМИД 10057205 . S2CID 1641622 .

[8] Кортни, Майкл; Цзяо, Хун; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Дэниел; Гао, Дж.; Делос, Дж.Б.; и др. (1995). «Бифуркации замкнутой орбиты в континуальных спектрах Штарка» . Физ. Преподобный Летт . 74 (9): 1538–1541. Бибкод : 1995PhRvL..74.1538C . дои : 10.1103/PhysRevLett.74.1538 . ПМИД 10059054 . S2CID 21573702 .

[9] Фунаргиотакис, М.; Фарантос, Южная Каролина; Скокос, Ч.; Контопулос, Г. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит несвязанных молекулярных систем: FH2». Письма по химической физике . 277 (5–6): 456–464. Бибкод : 1997CPL...277..456F . дои : 10.1016/S0009-2614(97)00931-7 .

[10] Монтейро, Т.С. и Сарага, Д.С. (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: квазиклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики . 31 (2): 355–370. Бибкод : 2001FoPh...31..355M . дои : 10.1023/А:1017546721313 . S2CID 120968155 .

[11] Вечорек, С.; Краускопф, Б.; Симпсон, ТБ и Ленстра, Д. (2005). «Динамическая сложность оптически инжектируемых полупроводниковых лазеров». Отчеты по физике . 416 (1–2): 1–128. Бибкод : 2005PhR...416....1W . doi : 10.1016/j.physrep.2005.06.003 .

[12] Стаматиу, Г. и Гикас, ДПК (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и шрамов в неавтономных системах. Случай квантового удара сверху». Буквы по физике А. 368 (3–4): 206–214. arXiv : Quant-ph/0702172 . Бибкод : 2007PhLA..368..206S . doi : 10.1016/j.physleta.2007.04.003 . S2CID 15562617 .

[13] Галан, Дж.; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Доклады по математической физике . 44 (1–2): 87–94. Бибкод : 1999РпМП...44...87Г . дои : 10.1016/S0034-4877(99)80148-7 .

[14] Клеппнер, Д.; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: идеи из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики . 31 (4): 593–612. Бибкод : 2001FoPh...31..593K . дои : 10.1023/A:1017512925106 . S2CID 116944147 .

[15] Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]