бифуркация Хопфа

Комплексные собственные значения произвольного отображения (точки). В случае бифуркации Хопфа два комплексно-сопряженных собственных значения пересекают мнимую ось.

В математической теории бифуркаций бифуркация Хопфа критическая — это точка , в которой при изменении параметра происходит переключение устойчивости системы и возникновение периодического решения . Точнее, это локальная бифуркация, при которой фиксированная точка динамической системы теряет устойчивость, поскольку пара комплексно-сопряженных собственных значений - линеаризации вокруг фиксированной точки - пересекает воображаемую ось комплексной плоскости , когда параметр пересекает пороговое значение. При достаточно общих предположениях о динамической системе фиксированная точка становится предельным циклом малой амплитуды при изменении параметра.

Бифуркация Хопфа также известна как бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа , названная в честь Анри Пуанкаре , Александра Андронова и Эберхарда Хопфа .

Обзор

Хопфа

Динамика бифуркации Хопфа вблизи $\lambda =0$. Возможные траектории показаны красным, стабильные структуры - темно-синим, а нестабильные структуры - пунктирным голубым. Сверхкритическая бифуркация Хопфа: 1а) устойчивая неподвижная точка 1б) неустойчивая неподвижная точка, устойчивый предельный цикл 1в) динамика фазового пространства. Докритическая бифуркация Хопфа: 2а) устойчивая неподвижная точка, неустойчивый предельный цикл 2б) неустойчивая неподвижная точка 2в) динамика фазового пространства. $\omega$ определяет угловую динамику и, следовательно, направление намотки траекторий.

Предельный цикл является орбитально устойчивым, если определенная величина, называемая первым коэффициентом Ляпунова, отрицательна, а бифуркация является сверхкритической. В противном случае оно неустойчиво и бифуркация докритична.

Нормальная форма бифуркации Хопфа представляет собой следующее нестационарное дифференциальное уравнение:

${\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),$ где z , b оба комплексные, а λ — действительный параметр.

Писать: $b=\alpha +i\beta .\,$ Число α называется первым коэффициентом Ляпунова .

• Если α > 0 существует устойчивый предельный цикл отрицательно, то при λ :

$z(t)=re^{i\omega t}\,$

где

$r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ and }}\omega =1+\beta r^{2}.\,$

Бифуркацию тогда называют сверхкритической.

• Если α положительно, то при λ < 0 существует неустойчивый предельный цикл. Бифуркация называется докритической.

Интуиция

Нормальная форма сверхкритической бифуркации Хопфа в декартовых координатах.

Нормальную форму сверхкритической бифуркации Хопфа можно интуитивно выразить в полярных координатах:

${\frac {dr}{dt}}=(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega$

где $r(t)$ - мгновенная амплитуда колебаний и $\theta (t)$ – его мгновенное угловое положение. Угловая скорость $(\omega )$ фиксировано. Когда $\mu >0$, дифференциальное уравнение для $r(t)$ имеет неустойчивую неподвижную точку $r=0$ и устойчивая фиксированная точка в $r={\sqrt {\mu }}$. Таким образом, система описывает устойчивый круговой предельный цикл с радиусом ${\sqrt {\mu }}$ и угловая скорость $\omega$. Когда $\mu <0$ затем $r=0$ является единственной фиксированной точкой и она устойчива. В этом случае система описывает спираль, сходящуюся к началу координат.

Декартовы координаты

Полярные координаты можно преобразовать в декартовы координаты, написав $x=r\cos(\theta )$ и $y=r\sin(\theta )$. Дифференциация $x$ и $y$ по времени дает дифференциальные уравнения:

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\cos(\theta )-{\frac {d\theta }{dt}}r\sin(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\cos(\theta )-\omega r\sin(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})x-\omega y\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\sin(\theta )+{\frac {d\theta }{dt}}r\cos(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\sin(\theta )+\omega r\cos(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})y+\omega x.\end{aligned}}$

Подкритический случай

Нормальная форма докритического Хопфа получается отрицанием знака $dr/dt$,

${\frac {dr}{dt}}=-(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega$

что меняет устойчивость неподвижных точек в $r(t)$. Для $\mu >0$ предельный цикл теперь неустойчив, а начало координат устойчиво.

Пример

Бифуркация Хопфа в системе Селькова (см. статью). При изменении параметров предельный цикл (синий). из устойчивого равновесия появляется

Бифуркации Хопфа возникают в Лотки-Вольтерра модели взаимодействия хищник-жертва (известной как парадокс обогащения ), модели Ходжкина-Хаксли для потенциала нервной мембраны, модель гликолиза Селькова , реакция Белоусова -Жаботинского , аттрактор Лоренца , Брюсселатор и в классическом электромагнетизме . Было также показано, что бифуркации Хопфа возникают в волнах деления.

Модель Селькова

${\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.$

На рисунке показан фазовый портрет, иллюстрирующий бифуркацию Хопфа в модели Селькова.

В системах железнодорожного транспорта особенно важен анализ бифуркации Хопфа. Традиционно устойчивое движение железнодорожного транспортного средства на малых скоростях переходит в неустойчивое на высоких скоростях. Одной из целей нелинейного анализа этих систем является проведение аналитического исследования бифуркации, нелинейной поперечной устойчивости и охотничьего поведения рельсовых транспортных средств на касательном пути с использованием метода Боголюбова.

расширения

Рассмотрим систему, определяемую формулой ${\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0$, где $h$ является гладким и $\mu$ является параметром. После линейного преобразования параметров можно считать, что $\mu$ увеличивается от минуса к плюсу, начало координат превращается из спирального стока в спиральный источник.

Теперь для $\mu >0$, мы выполняем пертурбативное разложение, используя двукратное время :

$$x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\epsilon ^{3}x_{3}(t,T)+\cdots$$

где $T=\nu t$ является «медленным» (таким образом, «двухтактным»), и $\epsilon ,\nu$ являются функциями $\mu$. Аргументируя гармонический баланс (см. для получения подробной информации), мы можем использовать $\epsilon =\mu ^{1/2},\nu =\mu$. Затем, подключив $x(t)$ к ${\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0$, и расширяясь до $\epsilon ^{3}$ порядке, мы получим три обыкновенных дифференциальных уравнения в $x_{1},x_{2},x_{3}$.

Первое уравнение будет иметь вид $\partial _{tt}x_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0$, что дает решение $x_{1}(t,T)=A(T)\cos(\omega _{0}t+\phi (T))$, где $A(T),\phi (T)$ представляют собой «медленно меняющиеся термины» $x_{1}$. Подставив это во второе уравнение, мы можем решить $x_{2}(t,T)$.

Затем подключите $x_{1},x_{2}$ в третье уравнение мы получим уравнение вида $\partial _{tt}x_{3}+\omega _{0}^{2}x_{3}=...$, где правая часть представляет собой сумму тригонометрических членов. Из этих членов мы должны установить «резонансный член», то есть $\cos(\omega _{0}t),\sin(\omega _{0}t)$ -- до нуля. Это та же идея, что и метод Пуанкаре – Линдстедта . Тогда это дает два обыкновенных дифференциальных уравнения для $A,\phi$, что позволяет найти равновесное значение $A$, а также его стабильность.

Пример

Рассмотрим систему, определяемую формулой ${\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}$ и ${\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}$. Система имеет точку равновесия в начале координат. Когда $\mu$ увеличивается от отрицательного к положительному, начало координат превращается из стабильной точки спирали в нестабильную точку спирали.

Сначала мы устраняем $y$ из уравнений:

$${\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}\implies {\ddot {x}}=\mu {\dot {x}}+(-x+\mu y+2x^{2})-2x{\dot {x}}\implies {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0$$

Теперь выполните пертурбативное разложение, как описано выше:

$$x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots$$

с $\epsilon =\mu ^{1/2},T=\mu t$. Расширение до заказа $\epsilon ^{3}$, получаем:

$${\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}$$

Первое уравнение имеет решение $x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T))$. Здесь $A(T),\phi (T)$ являются соответственно «медленно меняющейся амплитудой» и «медленно меняющейся фазой» простого колебания.

Второе уравнение имеет решение $x_{1}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))$, где $B,\theta$ также медленно меняющиеся по амплитуде и фазе. Теперь, поскольку $x=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots =\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots$, мы можем объединить два термина $A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )$ как некоторые $C\cos(t+\xi )$.

Таким образом, без ограничения общности, можно считать $B=0$. Таким образом

$$x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))$$

Подставив в третье уравнение, получим

$$\partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )-(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))$$

Исключив резонансные члены, получим

$$A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}$$

Первое уравнение показывает, что $A={\sqrt {2}}$ является устойчивым равновесием. Таким образом, мы обнаруживаем, что бифуркация Хопфа создает притягивающий (а не отталкивающий) предельный цикл.

Подключение $A={\sqrt {2}}$, у нас есть $\phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}$. Мы можем переопределить начало времени, чтобы сделать $\phi _{0}=0$. Теперь решите

$$\partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))$$

уступчивость

$$x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))$$

Подключение $A={\sqrt {2}}$ вернемся к выражениям для $x_{1},x_{2}$, у нас есть

$$x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))$$

Подключив их обратно к $y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x$ дает последовательное расширение $y$ тоже под заказ $\mu ^{3/2}$.

Сдача в аренду $\theta :=t+\phi$ для аккуратности обозначений мы имеем

${\begin{aligned}x&=&\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +&\mu \left(2-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\\y&=&-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +&\mu \left(1+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(36\sin \theta +28\cos \theta -5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\end{aligned}}$

Это дает нам параметрическое уравнение для предельного цикла. Это показано на рисунке справа.

• Примеры бифуркаций
• 
  В системе происходит бифуркация Хопфа ${\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}$ и ${\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}$, когда $\mu =0$, вокруг начала координат. гомоклиническая бифуркация. Вокруг происходит $\mu =0.06605695$.
• 
  Подробный взгляд на гомоклиническую бифуркацию.
• 
  Как $\mu$ возрастает от нуля, устойчивый предельный цикл выходит из начала координат через бифуркацию Хопфа. Здесь мы строим предельный цикл параметрически с точностью до порядка $\mu ^{3/2}$.

бифуркации

Появление или исчезновение периодической орбиты вследствие локального изменения свойств устойчивости неподвижной точки известно как бифуркация Хопфа. Следующая теорема работает для неподвижных точек с одной парой сопряженных ненулевых чисто мнимых собственных значений . В нем рассказывается об условиях, при которых происходит это явление бифуркации.

Теорема (см. раздел 11.2 ). Позволять $J_{0}$ быть якобианом непрерывной параметрической динамической системы, оцениваемой в устойчивой точке. $Z_{e}$. Предположим, что все собственные значения $J_{0}$ имеют отрицательную действительную часть, за исключением одной сопряженной ненулевой чисто мнимой пары $\pm i\beta$. Бифуркация Хопфа возникает, когда эти два собственных значения пересекают мнимую ось из-за изменения параметров системы.

Критерий Рауса–Гурвица

Критерий Рауса–Гурвица (раздел I.13 ) дает необходимые условия для того, чтобы произошла бифуркация Хопфа.

Серия Штурм

Позволять $p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}$ быть рядом Штурма, связанным с характеристическим полиномом $P$. Их можно записать в виде:

$p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots$

Коэффициенты $c_{i,0}$ для $i$ в $\{1,~\dots ~,~k\}$ соответствуют так называемым определителям Гурвица . Их определение связано с соответствующей матрицей Гурвица .

Предложения

Предложение 1 . Если все определители Гурвица $c_{i,0}$ положительные, кроме, пожалуй, $c_{k,0}$ тогда ассоциированный якобиан не имеет чисто мнимых собственных значений.

Предложение 2 . Если все определители Гурвица $c_{i,0}$ (для всех $i$ в $\{0,~\dots ~,~k-2\}$ положительные, $c_{k-1,0}=0$ и $c_{k-2,1}<0$ тогда все собственные значения соответствующего якобиана имеют отрицательные действительные части, за исключением чисто мнимой сопряженной пары.

Условия, которые мы ищем для возникновения бифуркации Хопфа (см. теорему выше) для параметрической непрерывной динамической системы, задаются этим последним предложением.

Пример

Рассмотрим классический генератор Ван дер Поля, записанный с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.$

Матрица Якобиана, связанная с этой системой, выглядит следующим образом:

$J={\begin{pmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Характеристический полином (в $\lambda$) линеаризации в (0,0) равна:

$P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.$

Коэффициенты: $a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1$
Соответствующая серия Sturm :

${\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}$

Полиномы Штурма можно записать в виде (здесь $i=0,1$):

$p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots$

В приведенном выше предложении 2 говорится, что необходимо иметь:

$c_{0,0}=1>0,c_{1,0}=-\mu =0,c_{0,1}=-1<0.$

Поскольку 1 > 0 и −1 < 0 очевидны, можно заключить, что бифуркация Хопфа может произойти для осциллятора Ван дер Поля, если $\mu =0$.

См. также

• Реакционно-диффузионные системы

Дальнейшее чтение

• Гукенхаймер, Дж .; Майерс, М.; Штурмфельс, Б. (1997). «Вычисление бифуркаций Хопфа I». SIAM Journal по численному анализу . 34 (1): 1–21. CiteSeerX   10.1.1.52.1609 . дои : 10.1137/S0036142993253461 .
• Хейл, Дж .; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации . Тексты по прикладной математике. Том. 3. Берлин: Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-97141-2 .
• Хассард, Брайан Д.; Казаринов, Николай Дмитриевич ; Ван, Йе-Хей (1981). Теория и приложения бифуркации Хопфа . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-23158-2 .
• Кузнецов, Юрий А. (2004). Элементы прикладной теории бифуркации (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-21906-6 .
• Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-7382-0453-6 .

Внешние ссылки

• Бифуркация Хопфа
• Страница бифуркации Андронова – Хопфа в Scholarpedia