Серия Штурм

В математике ряд Штурма связанный с парой полиномов, назван в честь Жака Шарля Франсуа Штурма .

Определение

Дополнительная информация: Цепь Штурма.

Позволять $p_{0}$ и $p_{1}$ два одномерных многочлена. Предположим, что они не имеют общего корня и степени $p_{0}$ больше, чем степень $p_{1}$. Серия Sturm создана:

$p_{i}:=p_{i+1}q_{i+1}-p_{i+2}{\text{ for }}i\geq 0.$

Это почти тот же алгоритм, что и у Евклида , но остаток $p_{i+2}$ имеет отрицательный знак.

Ряд Штурма, связанный с характеристическим полиномом

Посмотрим теперь серию Штурм $p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}$ связанный с характеристическим полиномом $P$ в переменной $\lambda$:

$P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{k}+a_{1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{k-1}\lambda +a_{k}$

где $a_{i}$ для $i$ в $\{1,\dots ,k\}$ являются рациональными функциями в $\mathbb {R} (Z)$ с набором координат $Z$. Ряд начинается с двух многочленов, полученных делением $P(\imath \mu )$ к $\imath ^{k}$ где $\imath$ представляет собой мнимую единицу, равную ${\sqrt {-1}}$ и отделить действительную и мнимую части:

${\begin{aligned}p_{0}(\mu )&:=\Re \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{0}\mu ^{k}-a_{2}\mu ^{k-2}+a_{4}\mu ^{k-4}\pm \cdots \\p_{1}(\mu )&:=-\Im \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{1}\mu ^{k-1}-a_{3}\mu ^{k-3}+a_{5}\mu ^{k-5}\pm \cdots \end{aligned}}$

Остальные члены определяются с помощью приведенного выше соотношения. Благодаря особой структуре этих многочленов их можно записать в виде:

$p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots$

В этих обозначениях частное $q_{i}$ равно $(c_{i-1,0}/c_{i,0})\mu$ что обеспечивает условие $c_{i,0}\neq 0$. Более того, полином $p_{i}$ замена в приведенном выше соотношении дает следующие рекурсивные формулы для вычисления коэффициентов $c_{i,j}$.

$c_{i+1,j}=c_{i,j+1}{\frac {c_{i-1,0}}{c_{i,0}}}-c_{i-1,j+1}={\frac {1}{c_{i,0}}}\det {\begin{pmatrix}c_{i-1,0}&c_{i-1,j+1}\\c_{i,0}&c_{i,j+1}\end{pmatrix}}.$

Если $c_{i,0}=0$ для некоторых $i$, частное $q_{i}$ представляет собой полином более высокой степени, а последовательность $p_{i}$ останавливается на $p_{h}$ с $h<k$.