Предельный цикл

В математике , при изучении динамических систем с двумерным фазовым пространством , предельный цикл — это замкнутая траектория в фазовом пространстве, обладающая свойством, что по крайней мере еще одна траектория входит в нее по спирали либо по мере приближения времени к бесконечности, либо по мере приближения времени к отрицательной бесконечности. Такое поведение наблюдается в некоторых нелинейных системах . Предельные циклы использовались для моделирования поведения многих реальных колебательных систем. Начало изучению предельных циклов положил Анри Пуанкаре (1854–1912).

Определение [ править ]

Рассмотрим двумерную динамическую систему вида

x'(t)=V(x(t))

где

V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

является гладкой функцией. Траекторией функция этой системы является некоторая гладкая

x(t)

со значениями в

\mathbb {R} ^{2}

которое удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Такая траектория называется замкнутой (или периодической ), если она не является постоянной, а возвращается в исходную точку, т. е. если существует некоторая

t_{0}>0

такой, что

x(t+t_{0})=x(t)

для всех

t\in \mathbb {R}

. Орбита — это изображение траектории, подмножества

\mathbb {R} ^{2}

. Замкнутая орбита , или цикл , — это образ замкнутой траектории. Предельный цикл — это цикл, который является предельным множеством некоторой другой траектории.

Свойства [ править ]

По теореме Жордана о кривой каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю часть кривой.

Дан предельный цикл и траектория внутри него, приближающаяся к предельному циклу за время, приближающееся к $+\infty$ , то вокруг предельного цикла существует такая окрестность, что все траектории внутри, начинающиеся в окрестности, приближаются к предельному циклу за время, приближающееся к $+\infty$ . Соответствующее утверждение справедливо для траектории внутри, приближающейся к предельному циклу за время, приближающееся к $-\infty$ , а также для траекторий во внешности, приближающихся к предельному циклу.

Стабильные, нестабильные и полустабильные предельные циклы [ править ]

В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу при стремлении времени к бесконечности, его называют устойчивым или притягивающим предельным циклом (ω-предельным циклом). Если вместо этого все соседние траектории приближаются к нему по мере того, как время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если существует соседняя траектория, которая входит в предельный цикл по мере того, как время приближается к бесконечности, и другая, которая входит в него по спирали, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это полустабильный предельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни устойчивыми, неустойчивыми, ни полустабильными: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу снаружи, но внутрь предельного цикла приближается семейство других циклов (которые не быть предельные циклы).

Устойчивые предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают автоколебания : замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое отклонение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.

Нахождение предельных циклов [ править ]

Каждая замкнутая траектория содержит внутри себя точку покоя системы, т. е. точку $p$ где $V'(p)=0$ . Теорема Бендиксона –Дюлака и теорема Пуанкаре–Бендиксона предсказывают соответственно отсутствие или существование предельных циклов двумерных нелинейных динамических систем.

Открытые проблемы [ править ]

Нахождение предельных циклов вообще является очень сложной задачей. Число предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости является основным предметом второй части шестнадцатой проблемы Гильберта . Неизвестно, например, существует ли какая-либо система $x'=V(x)$ в плоскости, где обе компоненты $V$ являются квадратичными полиномами двух переменных, так что система имеет более 4 предельных циклов.

Приложения [ править ]

Примеры предельных циклов, ответвляющихся от неподвижных точек вблизи бифуркации Хопфа . Траектории показаны красным, стабильные структуры — темно-синим, нестабильные — голубым. Выбор параметра определяет возникновение и устойчивость предельных циклов.

Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с автоколебаниями. Вот некоторые примеры:

Аэродинамические колебания предельного цикла ^[1]
Модель Ходжкина -Хаксли для потенциалов действия в нейронах .
Сельковская модель гликолиза . ^[2]
Ежедневные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма . ^[3]^[4] хотя это противоречит более поздним данным. ^[5]
Миграция . раковых клеток в ограниченной микросреде следует колебаниям предельного цикла ^[6]
Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют колебания предельного цикла. ^[7] который вдохновил оригинальную модель Ван дер Поля .
Контроль дыхания и кроветворения, как это проявляется в уравнениях Макки-Гласса . ^[8]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Томас, Джеффри П.; Доуэлл, Эрл Х.; Холл, Кеннет К. (2002), «Нелинейное невязкое аэродинамическое воздействие на трансзвуковую дивергенцию, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF) , журнал AIAA , 40 (4), Американский институт аэронавтики и астронавтики: 638, бибкод : 2002AIAAJ ..40..638T , doi : 10.2514/2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.
^ Сельков, Э.Э. (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель» . Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. дои : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . ПМИД 4230812 .
^ Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1 декабря 1999 г.). «Модели предельного цикла циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у дрозофилы и нейроспоры». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. дои : 10.1177/074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . ПМИД 10643740 . S2CID 15074869 .
^ Рённеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов» . Современная биология . 18 (17): Р826–Р835. дои : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . ПМИД 18786388 . S2CID 2798371 .
^ Мейер, Дж. Х.; Мишель, С; Вандерлист, штат ХТ; Ролинг, Дж. Х. (декабрь 2010 г.). «Дневная и сезонная адаптация циркадных часов требует пластичности нейронной сети СХЯ». Европейский журнал неврологии . 32 (12): 2143–51. дои : 10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x . ПМИД 21143668 . S2CID 12754517 .
^ Брюкнер, Дэвид Б.; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Ретгерманн, Питер Дж. Ф.; Рэдлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в двухгосударственных системах». Физика природы . 15 (6): 595–601. Бибкод : 2019NatPh..15..595B . дои : 10.1038/s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .
^ Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012 г.). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: на пути к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): : 023120.arXiv 1408.4890 . Бибкод : 2012Хаос..22b3120G . дои : 10.1063/1.3670008 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 22757527 . S2CID 293369 .
^ Макки, М.; Гласс, Л. (15 июля 1977 г.). «Колебания и хаос в физиологических системах управления» . Наука . 197 (4300): 287–289. Бибкод : 1977Sci...197..287M . дои : 10.1126/science.267326 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 267326 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Авалон. ISBN 9780813349114 .
М. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (Второе изд.). СИАМ. ISBN 9780898715262 .
Филип Хартман, «Обыкновенное дифференциальное уравнение», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
Витольд Гуревич, «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям», Дувр, 2002 г.
Соломон Лефшец, «Дифференциальные уравнения: геометрическая теория», Дувр, 2005 г.
Лоуренс Перко, «Дифференциальные уравнения и динамические системы», Springer-Verlag, 2006.
Артур Мэттук, Предельные циклы: критерии существования и несуществования, Открытые курсы MIT http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Внешние ссылки [ править ]

«предельный цикл» . Planetmath.org . Проверено 06 июля 2019 г.

[1] Томас, Джеффри П.; Доуэлл, Эрл Х.; Холл, Кеннет К. (2002), «Нелинейное невязкое аэродинамическое воздействие на трансзвуковую дивергенцию, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF) , журнал AIAA , 40 (4), Американский институт аэронавтики и астронавтики: 638, бибкод : 2002AIAAJ ..40..638T , doi : 10.2514/2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.

[2] Сельков, Э.Э. (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель» . Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. дои : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . ПМИД 4230812 .

[3] Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1 декабря 1999 г.). «Модели предельного цикла циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у дрозофилы и нейроспоры». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. дои : 10.1177/074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . ПМИД 10643740 . S2CID 15074869 .

[4] Рённеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов» . Современная биология . 18 (17): Р826–Р835. дои : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . ПМИД 18786388 . S2CID 2798371 .

[5] Мейер, Дж. Х.; Мишель, С; Вандерлист, штат ХТ; Ролинг, Дж. Х. (декабрь 2010 г.). «Дневная и сезонная адаптация циркадных часов требует пластичности нейронной сети СХЯ». Европейский журнал неврологии . 32 (12): 2143–51. дои : 10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x . ПМИД 21143668 . S2CID 12754517 .

[6] Брюкнер, Дэвид Б.; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Ретгерманн, Питер Дж. Ф.; Рэдлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в двухгосударственных системах». Физика природы . 15 (6): 595–601. Бибкод : 2019NatPh..15..595B . дои : 10.1038/s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .

[7] Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012 г.). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: на пути к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): : 023120.arXiv 1408.4890 . Бибкод : 2012Хаос..22b3120G . дои : 10.1063/1.3670008 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 22757527 . S2CID 293369 .

[8] Макки, М.; Гласс, Л. (15 июля 1977 г.). «Колебания и хаос в физиологических системах управления» . Наука . 197 (4300): 287–289. Бибкод : 1977Sci...197..287M . дои : 10.1126/science.267326 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 267326 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]