Уравнения Макки – Гласса

В математике и математической биологии уравнения Макки-Гласса , названные в честь Майкла Макки и Леона Гласса , относятся к семейству дифференциальных уравнений с запаздыванием , поведение которых позволяет имитировать как здоровое, так и патологическое поведение в определенных биологических контекстах, контролируемых параметрами уравнения. Первоначально они использовались для моделирования изменения относительного количества зрелых клеток в крови. Уравнения определяются как:

${\frac {dP(t)}{dt}}={\frac {\beta _{0}\theta ^{n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}-\gamma P(t)$ (уравнение 1)

и

${\frac {dP(t)}{dt}}={\frac {\beta _{0}\theta ^{n}P(t-\tau )}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}-\gamma P(t)$ (уравнение 2)

где $P(t)$ представляет плотность клеток с течением времени, и $\beta _{0},\theta ,n,\tau ,\gamma$ являются параметрами уравнений.

Уравнение ( 2 ), в частности, примечательно в динамических системах, поскольку оно может приводить к хаотическим аттракторам различных размерностей.

Введение

Временной ряд, полученный на основе уравнений Макки – Гласса. Это можно рассматривать как моделирование здорового изменения плотности клеток крови. Здесь, $\tau =6$.

Также генерируется на основе уравнений Макки-Гласса, но теперь может рассматриваться как патологическое изменение плотности клеток крови. Здесь, $\tau =20$.

Существует огромное количество физиологических систем , которые включают или полагаются на периодическое поведение определенных субкомпонентов системы . Например, многие гомеостатические процессы основаны на отрицательной обратной связи для контроля концентрации веществ в крови; дыханию , например, способствует обнаружение мозгом высокой концентрации CO ₂ в крови. Одним из способов математического моделирования таких систем является использование следующего простого обыкновенного дифференциального уравнения :

$y'(t)=k-cy(t)$

где $k$ это скорость, с которой производится «вещество», и $c$ контролирует, насколько текущий уровень вещества препятствует продолжению его производства. Решения этого уравнения находятся с помощью интегрирующего множителя и имеют вид:

$y(t)={\frac {k}{c}}+f(y_{0})e^{-ct}$

где $y_{0}$ — любое начальное условие для задачи начального значения .

Однако описанная выше модель предполагает, что изменения концентрации вещества обнаруживаются немедленно, чего часто не бывает в физиологических системах. Чтобы облегчить эту проблему, Mackey, MC & Glass, L. (1977) предложили заменить скорость производства функцией $k(y(t-\tau ))$ концентрации в более ранний момент $t-\tau$ со временем, в надежде, что это лучше отразит тот факт, что существует значительная задержка, прежде чем костный мозг начнет производить и высвобождать зрелые клетки в кровь после обнаружения низкой концентрации клеток в крови. Взяв темп производства $k$ как:

${\frac {\beta _{0}\theta ^{n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}~~{\text{ or }}~~{\frac {\beta _{0}\theta ^{n}P(t-\tau )}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}$

мы получаем уравнения ( 1 ) и ( 2 ) соответственно. Значения, использованные Mackey, MC и Glass, L. (1977), были следующими: $\gamma =0.1$, $\beta _{0}=0.2$ и $n=10$, с начальным условием $P(0)=0.1$. Стоимость $\theta$ не имеет значения для анализа динамики уравнения ( 2 ), поскольку изменение переменной $P(t)=\theta \cdot Q(t)$ сводит уравнение к:

$Q'(t)={\frac {\beta _{0}Q(t-\tau )}{1+Q(t-\tau )^{n}}}-\gamma Q(t).$

Вот почему в этом контексте сюжеты часто помещают $Q(t)=P(t)/\theta$ в $y$-ось.

Динамическое поведение

Аттракторы Макки–Гласса для различных значений параметра. $\tau$

Представляет интерес изучить поведение решений уравнений при $\tau$ варьируется, поскольку представляет собой время, необходимое физиологической системе для реакции на изменение концентрации вещества. Увеличение этой задержки может быть вызвано патологией , которая, в свою очередь, может привести к хаотичным решениям уравнений Макки–Гласса, особенно уравнения ( 2 ). Когда $\tau =6$, мы получаем очень регулярное периодическое решение, которое можно рассматривать как характеризующее «здоровое» поведение; с другой стороны, когда $\tau =20$ решение становится гораздо более нестабильным.

Макки – Гласса Аттрактор можно визуализировать, построив график пар $(P(t),P(t-\tau ))$. Это в некоторой степени оправдано, поскольку дифференциальные уравнения с запаздыванием можно (иногда) свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений , а также потому, что они являются приближенно бесконечномерными отображениями .

См. также

• Циркадный ритм
• Циркадный осциллятор
• Нейронные колебания