Карта Пуанкаре

В математике , особенно в динамических системах , первая рекуррентная карта или карта Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре , представляет собой пересечение периодической орбиты в пространстве состояний непрерывной динамической системы с определенным подпространством меньшей размерности, называемым сечением Пуанкаре . трансверсально потоку . системы Точнее, рассматривается периодическая орбита с начальными условиями внутри участка пространства, который впоследствии покидает этот участок, и наблюдается точка, в которой эта орбита впервые возвращается в этот участок. Затем создается карта для отправки первой точки во вторую, отсюда и название « первая карта повторения» . Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся в подпространстве, протекают через него, а не параллельны ему.

Отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему с пространством состояний, которое на одно измерение меньше, чем исходная непрерывная динамическая система. Поскольку он сохраняет многие свойства периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство состояний меньшей размерности, его часто используют для более простого анализа исходной системы. ^{[ нужна ссылка ]} На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения карты Пуанкаре.

Карта Пуанкаре отличается от рекуррентного графика тем, что пространство, а не время, определяет, когда наносить точку. Например, положение Луны, когда Земля находится в перигелии, представляет собой повторяющийся график; местоположение Луны, когда она проходит через плоскость, перпендикулярную орбите Земли, и проходит через Солнце и Землю в перигелии, представляет собой карту Пуанкаре. ^{[ нужна ссылка ]} Ее использовал Мишель Энон для изучения движения звезд в галактике , потому что путь звезды, проецируемый на плоскость, выглядит как запутанный беспорядок, тогда как карта Пуанкаре показывает структуру более четко.

Определение

Пусть ( R , M , φ ) — глобальная динамическая система , где R — действительные числа , M — фазовое пространство и φ эволюции — функция . Пусть γ — периодическая орбита, проходящая через точку p, а S — локально дифференцируемое и трансверсальное сечение φ через p , называемое сечением Пуанкаре через p .

Учитывая открытый и связанный район $U\subset S$ p , функция

P:U\to S

называется отображением Пуанкаре для орбиты γ на сечении Пуанкаре S через точку p, если

п ( п ) знак равно п
P ( U ) — окрестность точки p , а P : U → P ( U ) — диффеоморфизм.
для каждой точки x в U положительная полуорбита x точке пересекает S впервые в P ( x )

Пример

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений в полярных координатах: $(\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}$ :

{\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}

Течение системы можно получить интегрированием уравнения: для $\theta$ компонент у нас просто есть $\theta (t)=\theta _{0}+t$ в то время как для $r$ компонент нам нужно разделить переменные и интегрировать:

\int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c

Инвертирование последнего выражения дает

r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}

и поскольку

r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}

мы находим

r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}

Таким образом, поток системы

\Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta +t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)

Поведение потока следующее:

Угол $\theta$ возрастает монотонно и с постоянной скоростью.
Радиус $r$ стремится к равновесию ${\bar {r}}=1$ для каждого значения.

Поэтому решение с исходными данными $(\theta _{0},r_{0}\neq 1)$ рисует спираль, стремящуюся к окружности радиуса 1.

В качестве сечения Пуанкаре для этого потока можно принять положительную горизонтальную ось, а именно $\Sigma =\{(\theta ,r)\ :\ \theta =0\}$ : очевидно, мы можем использовать $r$ как координаты на участке. Каждая точка в $\Sigma$ возвращается в раздел через некоторое время $t=2\pi$ (это можно понять, посмотрев на эволюцию угла): в качестве отображения Пуанкаре можно принять ограничение $\Phi$ в раздел $\Sigma$ вычислено на тот момент $2\pi$ , $\Phi _{2\pi }|_{\Sigma }$ . Таким образом, карта Пуанкаре: $\Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}$

Поведение орбит дискретной динамической системы $(\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )$ следующее:

Суть $r=1$ фиксировано, поэтому $\Psi ^{n}(1)=1$ для каждого $n$ .
Каждая другая точка монотонно стремится к равновесию, $\Psi ^{n}(z)\to 1$ для $n\to \pm \infty$ .

Карты Пуанкаре и анализ устойчивости

Отображения Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему . Устойчивость периодической орбиты исходной системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре.

Пусть ( R , M , φ ) — дифференцируемая динамическая система с периодической орбитой γ через p . Позволять

P:U\to S

— соответствующее отображение Пуанкаре через p . Мы определяем

P^{0}:=\operatorname {id} _{U}

P^{n+1}:=P\circ P^{n}

P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}

и

P(n,x):=P^{n}(x)

тогда ( Z , U , P ) — дискретная динамическая система с пространством состояний U и функцией эволюции

P:\mathbb {Z} \times U\to U.

По определению эта система имеет фиксированную точку p .

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы устойчива.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы асимптотически устойчива.

См. также

Ссылки

Тешль, Джеральд . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество .

Внешние ссылки

Шивакумар Джолад, Карта Пуанкаре и ее применение к задаче «Вращающийся магнит» , (2005)