Трансверсальность (математика)

В математике могут трансверсальность – это понятие, описывающее, как пространства пересекаться ; Трансверсальность можно рассматривать как «противоположность» касанию , и она играет роль в общем положении . Он формализует идею общего пересечения в дифференциальной топологии . Он определяется путем рассмотрения линеаризации пересекающихся пространств в точках пересечения.

Определение

Поперечные кривые на поверхности сферы

Непоперечные кривые на поверхности сферы

два подмногообразия данного конечномерного гладкого многообразия Говорят, что пересекаются трансверсально , если в каждой точке пересечения их отдельные касательные пространства в этой точке вместе образуют касательное пространство объемлющего многообразия в этой точке. Непересекающиеся многообразия являются вакуумно- поперечными. Если многообразия имеют дополнительную размерность (т. е. их размеры в сумме равны размерности объемлющего пространства ), это условие означает, что касательное пространство к объемлющему многообразию является прямой суммой двух меньших касательных пространств. Если пересечение трансверсально, то пересечением будет подмногообразие, коразмерность которого равна сумме коразмерностей двух многообразий. В отсутствие условия трансверсальности пересечение может не быть подмногообразием, имеющим какую-то особую точку .

В частности, это означает, что трансверсальные подмногообразия дополнительной размерности пересекаются в изолированных точках (т. е. 0-многообразие ). Если оба подмногообразия и объемлющее многообразие ориентированы , то их пересечение ориентировано. Когда пересечение нульмерное, ориентация — это просто плюс или минус для каждой точки.

Одно обозначение поперечного пересечения двух подмногообразий $L_{1}$ и $L_{2}$ данного многообразия $M$ является $L_{1}\pitchfork L_{2}$. Это обозначение можно прочитать двояко: либо как « $L_{1}$ и $L_{2}$ пересекаются трансверсально» или как альтернативное обозначение теоретико-множественного пересечения $L_{1}\cap L_{2}$ из $L_{1}$ и $L_{2}$ когда это пересечение поперечное. В этих обозначениях определение трансверсальности гласит:

$L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}+T_{p}L_{2}.$

Трансверсальность карт

Понятие трансверсальности пары подмногообразий легко расширить до трансверсальности подмногообразия и отображения в объемлющее многообразие или до пары отображений в объемлющее многообразие, задав вопрос, происходит ли продвижение касательных пространств вдоль прообраза точек пересечения изображений порождают все касательное пространство объемлющего многообразия. Если отображения являются вложениями , это эквивалентно трансверсальности подмногообразий.

Значение трансверсальности

Трансверсальность зависит от окружающего пространства. Две показанные кривые являются поперечными, если рассматривать их как вложенные в плоскость, но не в том случае, если мы рассматриваем их как вложенные в плоскость в трехмерном пространстве.

Предположим, у нас есть поперечные отображения $f_{1}:L_{1}\to M$ и $f_{2}:L_{2}\to M$ где $L_{1},L_{2}$ и $M$ представляют собой многообразия с размерами $\ell _{1},\ell _{2}$ и $m$ соответственно.

Значение трансверсальности сильно различается в зависимости от относительных размеров объекта. $M,L_{1}$ и $L_{2}$. Связь между трансверсальностью и касанием наиболее ясна, когда $\ell _{1}+\ell _{2}=m$.

Мы можем рассмотреть три отдельных случая:

1. Когда $\ell _{1}+\ell _{2}<m$, невозможно для изображения $L_{1}$ и $L_{2}$касательные пространства для охвата $M$касательное пространство в любой точке. Таким образом, любое пересечение между $f_{1}$ и $f_{2}$ не может быть поперечным. Однако непересекающиеся многообразия впустую удовлетворяют этому условию, поэтому можно сказать, что они пересекаются трансверсально.
2. Когда $\ell _{1}+\ell _{2}=m$, образ $L_{1}$ и $L_{2}$касательные пространства должны суммироваться непосредственно с $M$касательное пространство в любой точке пересечения. Таким образом, их пересечение состоит из изолированных точек со знаком, т. е. нульмерного многообразия.
3. Когда $\ell _{1}+\ell _{2}>m$ эта сумма не обязательно должна быть прямой. На самом деле оно не может быть прямым, если $f_{1}$ и $f_{2}$ являются погружениями в точке их пересечения, как это происходит в случае вложенных подмногообразий. Если карты являются погружениями, то пересечение их изображений будет многообразием размерностей. $\ell _{1}+\ell _{2}-m.$

Продукт пересечения

Учитывая любые два гладких подмногообразия, можно возмутить любое из них на сколь угодно малую величину так, чтобы полученное подмногообразие трансверсально пересекалось с фиксированным подмногообразием. Такие возмущения не влияют на класс гомологии многообразий или их пересечений. Например, если многообразия дополнительной размерности пересекаются трансверсально, сумма со знаком числа их точек пересечения не изменится, даже если мы изотопируем многообразия в другое трансверсальное пересечение. (Точки пересечения можно посчитать по модулю 2, игнорируя знаки, чтобы получить более грубый инвариант.) Это сводится к билинейному произведению пересечения на классах гомологии любой размерности, которое двойственно по Пуанкаре к произведению чашки на когомологиях . Как и произведение чашки, произведение пересечения является градуально-коммутативным .

Примеры поперечных пересечений

Простейший нетривиальный пример трансверсальности — дуги поверхности . Точка пересечения двух дуг является трансверсальной тогда и только тогда, когда она не является касанием, т. е. их касательные линии внутри касательной плоскости к поверхности различны.

В трехмерном пространстве поперечные кривые не пересекаются. Кривые, поперечные поверхностям, пересекаются в точках, а поверхности, поперечные друг другу, пересекаются по кривым. Кривые, касающиеся поверхности в какой-то точке (например, кривые, лежащие на поверхности), не пересекают поверхность трансверсально.

Вот более специализированный пример: предположим, что $G$ является простой группой Ли и ${\mathfrak {g}}$ является его алгеброй Ли. По теореме Джекобсона–Морозова каждый нильпотентный элемент $e\in {\mathfrak {g}}$ может быть включен в ${\mathfrak {sl_{2}}}$-тройной $(e,h,f)$. Теория представления ${\mathfrak {sl_{2}}}$ говорит нам, что ${\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}$. Пространство $[{\mathfrak {g}},e]$ это касательное пространство в $e$ на присоединенную орбиту ${\rm {{Ad}(G)e}}$ и поэтому аффинное пространство $e+{\mathfrak {g}}_{f}$ пересекает орбиту $e$ поперечно. Пространство $e+{\mathfrak {g}}_{f}$ известен как «Слодовий кусочек» в честь Петра Слодовы .

Приложения

Оптимальный контроль

В областях, использующих вариационное исчисление или связанный с ним принцип максимума Понтрягина , условие трансверсальности часто используется для управления типами решений, находимых в задачах оптимизации. Например, это необходимое условие кривых решения задач вида:

Свернуть $\int {F(x,y,y^{\prime })}dx$ где одна или обе конечные точки кривой не фиксированы.

Во многих из этих задач решение удовлетворяет условию, согласно которому кривая решения должна пересекать трансверсально нулевую линию или какую-либо другую кривую, описывающую терминальные условия.

Гладкость пространств решений

Используя теорему Сарда , гипотеза которой представляет собой частный случай трансверсальности отображений, можно показать, что поперечные пересечения между подмногообразиями пространства дополнительных измерений или между подмногообразиями и отображениями в пространство сами по себе являются гладкими подмногообразиями. Например, если гладкое сечение ориентированного многообразия касательного расслоения — то есть векторное поле — рассматривается как отображение базы в полное пространство и пересекает нулевое сечение (рассматриваемое либо как отображение, либо как подмногообразие) трансверсально , то нулевое множество сечения — т. е. особенности векторного поля — образует гладкое 0-мерное подмногообразие базы, т. е. набор знаковых точек. Знаки согласуются с индексами векторного поля, и, таким образом, сумма знаков — т. е. фундаментальный класс нулевого множества — равна эйлеровой характеристике многообразия. В более общем смысле, для векторного расслоения над ориентированным гладким замкнутым конечномерным многообразием нулевое множество сечения, трансверсального нулевому сечению, будет подмногообразием базы коразмерности, равной рангу векторного расслоения, и его классу гомологий. будет Пуанкаре, двойственный классу Эйлера расслоения.

Чрезвычайно частным случаем является следующий: если дифференцируемая функция от действительных чисел к действительным числам имеет ненулевую производную в нуле функции, то ноль является простым, т. е. график трансверсален оси x в этом нуле; нулевая производная будет означать горизонтальную касательную к кривой, которая будет соответствовать касательному пространству к оси x .

В качестве бесконечномерного примера оператор d-bar представляет собой сечение некоторого расслоения банаховых пространств над пространством отображений римановой поверхности в почти комплексное многообразие . Нулевое множество этого раздела состоит из голоморфных отображений. Если можно показать, что оператор d-стержня трансверсален нулевому сечению, это пространство модулей будет гладким многообразием. Эти соображения играют фундаментальную роль в теории псевдоголоморфных кривых и теории Громова–Виттена . (Обратите внимание, что в этом примере определение трансверсальности необходимо уточнить, чтобы иметь дело с банаховыми пространствами !)

Грамматика

«Поперечное» — существительное; прилагательное «поперечный».

цитата из Дж.Х.К. Уайтхеда, 1959 г.

См. также

• Теорема трансверсальности

Ссылки

• Том, Рене (1954). «Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий». Как. Математика. Хелв. 28 (1): 17–86. дои : 10.1007/BF02566923 . S2CID   120243638 .
• Гиймен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Прентис-Холл. ISBN  0-13-212605-2 .
• Хирш, Моррис (1976). Дифференциальная топология . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90148-5 .