класс Эйлера

В математике особенно в алгебраической топологии , класс Эйлера является характеристическим классом ориентированных вещественных . векторных расслоений , Как и другие классы характеристик, он измеряет, насколько «скручено» векторное расслоение. В случае касательного расслоения гладкого многообразия оно обобщает классическое понятие эйлеровой характеристики . Из-за этого он назван в честь Леонарда Эйлера .

На протяжении всей этой статьи $E$ представляет собой ориентированное вещественное векторное расслоение ранга $r$ над базовым пространством $X$ .

Формальное определение [ править ]

Класс Эйлера $e(E)$ является элементом целой когомологий группы

H^{r}(X;\mathbf {Z} ),

построен следующим образом. Ориентация $E$ представляет собой непрерывный выбор генератора когомологий

H^{r}(\mathbf {R} ^{r},\mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\};\mathbf {Z} )\cong {\tilde {H}}^{r-1}(S^{r-1};\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z}

каждого волокна $\mathbf {R} ^{r}$ относительно дополнения $\mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\}$ нуля. Из изоморфизма Тома это индуцирует класс ориентации

u\in H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )

в когомологиях $E$ относительно дополнения $E\setminus E_{0}$ нулевого участка $E_{0}$ . Включения

(X,\emptyset )\hookrightarrow (E,\emptyset )\hookrightarrow (E,E\setminus E_{0}),

где $X$ включает в $E$ в качестве нулевого сечения индуцируем отображения

H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )\to H^{r}(E;\mathbf {Z} )\to H^{r}(X;\mathbf {Z} ).

Класс Эйлера e ( E ) — это образ u при композиции этих отображений.

Свойства [ править ]

Класс Эйлера удовлетворяет этим свойствам, которые являются аксиомами характеристического класса:

Функциональность: если $F\to Y$ это еще одно ориентированное вещественное векторное расслоение и $f\colon Y\to X$ непрерывен и покрыт сохраняющим ориентацию отображением $F\to E$ , затем $e(F)=f^{*}(e(E))$ . В частности, $e(f^{*}(E))=f^{*}(e(E))$ .
Уитни Формула суммы : Если $F\to X$ является другим ориентированным вещественным векторным расслоением, то класс Эйлера их прямой суммы определяется выражением $e(E\oplus F)=e(E)\smile e(F).$
Нормализация: Если $E$ имеет нигде ненулевое сечение, то $e(E)=0$ .
Ориентация: Если ${\overline {E}}$ является $E$ с противоположной ориентацией, то $e({\overline {E}})=-e(E)$ .

Обратите внимание, что «Нормализация» является отличительной чертой класса Эйлера. Класс Эйлера препятствует существованию неисчезающего сечения в том смысле, что если $e(E)\neq 0$ затем $E$ не имеет неисчезающего сечения.

Также в отличие от других классов характеристик он сконцентрирован в степени, зависящей от ранга связки: $e(E)\in H^{r}(X)$ . Напротив, классы Штифеля-Уитни $w_{i}(E)$ жить в $H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)$ независимо от звания $E$ . Это отражает тот факт, что класс Эйлера нестабилен , как обсуждается ниже.

Исчезающее место общего раздела [ править ]

Класс Эйлера соответствует исчезающему геометрическому месту сечения $E$ следующим образом. Предположим, что $X$ представляет собой ориентированное гладкое многообразие размерности $d$ . Позволять $\sigma \colon X\to E$ — гладкое сечение, трансверсально пересекающее нулевое сечение. Позволять $Z\subseteq X$ быть нулевым локусом $\sigma$ . Затем $Z$ это коразмерность $r$ подмногообразие $X$ который представляет гомологии класс $[Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf {Z} )$ и $e(E)$ является Пуанкаре двойственным $[Z]$ .

Самопересечение [ править ]

Например, если $Y$ — компактное подмногообразие, то класс Эйлера нормального расслоения $Y$ в $X$ естественно отождествляется самопересечением с $Y$ в $X$ .

Отношения с другими инвариантами [ править ]

В частном случае, когда рассматриваемое расслоение E является касательным расслоением компактного ориентированного r -мерного многообразия, класс Эйлера является элементом верхних когомологий многообразия, который естественным образом отождествляется с целыми числами путем оценки классов когомологий. о фундаментальном классе гомологии . При этом отождествлении эйлеров класс касательного расслоения равен эйлеровой характеристике многообразия. На языке характеристических чисел эйлерова характеристика — это характеристическое число, соответствующее классу Эйлера.

Таким образом, класс Эйлера является обобщением эйлеровой характеристики на векторные расслоения, отличные от касательных. В свою очередь, класс Эйлера является архетипом для других характеристических классов векторных расслоений, поскольку каждый «верхний» характеристический класс равен классу Эйлера следующим образом.

Модификация на 2 вызывает карту

H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ).

Образом класса Эйлера при этом отображении является верхний класс Стифеля-Уитни w _r ( E ). Этот класс Штифеля-Уитни можно рассматривать как «класс Эйлера, игнорирующий ориентацию».

Любое комплексное векторное расслоение E комплексного ранга d можно рассматривать как ориентированное вещественное векторное расслоение E вещественного ранга 2 d . Класс Эйлера E задается классом Чженя высшей размерности. $e(E)=c_{d}(E)\in H^{2d}(X)$

Квадраты на Понтрягина вершину класса

Класс Понтрягина $p_{r}(E)$ определяется как класс Чженя комплексификации E : $p_{r}(E)=c_{2r}(\mathbf {C} \otimes E)$ .

Комплексификация $\mathbf {C} \otimes E$ как ориентированное расслоение изоморфно $E\oplus E$ . Сравнивая классы Эйлера, мы видим, что

e(E)\smile e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} ).

Если ранг r матрицы E четный, то $e(E)\smile e(E)=c_{r}(E)=p_{r/2}(E)$ где $p_{r/2}(E)$ является высокомерным Понтрягина классом $E$ .

Нестабильность [ править ]

Характерный класс $c$ является стабильным , если $c(E\oplus {\underline {R}}^{1})=c(E)$ где ${\underline {R}}^{1}$ является тривиальным расслоением ранга один.В отличие от большинства других характеристических классов, класс Эйлера неустойчив . Фактически, $e(E\oplus {\underline {R}}^{1})=e(E)\smile e({\underline {R}}^{1})=0$ .

Класс Эйлера представлен классом когомологий в классифицирующем пространстве BSO( k ) $e\in H^{k}(\mathrm {BSO} (k))$ . Нестабильность класса Эйлера показывает, что это не откат класса в $H^{k}(\mathrm {BSO} (k+1))$ при включении $\mathrm {BSO} (k)\to \mathrm {BSO} (k+1)$ .

Интуитивно это видно из того, что класс Эйлера — это класс, степень которого зависит от размерности расслоения (или многообразия, если касательное расслоение): класс Эйлера — это элемент $H^{d}(X)$ где $d$ — размерность расслоения, в то время как другие классы имеют фиксированную размерность (например, первый класс Стифеля-Уитни является элементом $H^{1}(X)$ ).

Тот факт, что класс Эйлера неустойчив, не следует рассматривать как «дефект»: скорее, это означает, что класс Эйлера «обнаруживает нестабильные явления». Например, касательное расслоение четномерной сферы стабильно тривиально, но не тривиально (обычное включение сферы $S^{n}\subseteq \mathrm {R} ^{n+1}$ имеет тривиальное нормальное расслоение, поэтому касательное расслоение сферы плюс тривиальное линейное расслоение является касательным расслоением евклидова пространства, ограниченным $S^{n}$ , что тривиально), таким образом, все другие характеристические классы исчезают для сферы, но класс Эйлера не исчезает для четных сфер, обеспечивая нетривиальный инвариант.

Примеры [ править ]

Сферы [ править ]

Эйлерова характеристика n -сферы S ^н является:

\chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}

Таким образом, не существует неисчезающего сечения касательного расслоения четных сфер (это известно как теорема о волосатом шаре ). В частности, касательное расслоение четной сферы нетривиально, т. е. $S^{2n}$ не является параллелизуемым многообразием и не может допускать структуру группы Ли .

Для нечетных сфер S ^{2 н -1} ⊂ Р ^{2 н}, никуда не исчезающее сечение задается формулой

(x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})

что показывает, что класс Эйлера исчезает; это всего лишь n копий обычного сечения по кругу.

Поскольку класс Эйлера для четной сферы соответствует $2[S^{2n}]\in H^{2n}(S^{2n},\mathbf {Z} )$ , мы можем использовать тот факт, что класс Эйлера суммы Уитни двух расслоений представляет собой просто чашечное произведение классов Эйлера двух расслоений, чтобы увидеть, что не существует других подрасслоений касательного расслоения, кроме самого касательного расслоения и нулевого расслоение для любой четномерной сферы.

Поскольку касательное расслоение сферы стабильно тривиально, но не тривиально, все остальные характеристические классы на нем исчезают, а класс Эйлера является единственным обычным классом когомологий, который обнаруживает нетривиальность касательного расслоения сфер: для доказательства дальнейших результатов нужно должны использовать операции вторичных когомологий или K-теорию .

Круг [ править ]

Цилиндр представляет собой расслоение над окружностью по естественной проекции $\mathrm {R} ^{1}\times S^{1}\to S^{1}$ . Это тривиальное линейное расслоение, поэтому оно имеет сечение, где нигде нет нуля, и поэтому его класс Эйлера равен 0. Оно также изоморфно касательному расслоению окружности; тот факт, что его эйлеров класс равен 0, соответствует тому факту, что эйлерова характеристика круга равна 0.

См. также [ править ]

Другие классы [ править ]

Ссылки [ править ]

Ботт, Рауль и Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90613-4 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97926-3 .
Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характеристические классы . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08122-0 .