Класс характеристики

В математике характеристический класс это способ связать с главным расслоением X когомологий класс X. каждым — Класс когомологий измеряет степень «скрученности» расслоения и наличие у него сечений . Классы характеристик — это глобальные инварианты , которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Понятие характеристического класса возникло в 1935 году в работе Эдуарда Штифеля и Хасслера Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Пусть G — топологическая группа и для топологического пространства $X$ , писать $b_{G}(X)$ множества классов изоморфизма главных G -расслоений над для $X$ . Этот $b_{G}$ — контравариантный функтор из Top ( категория топологических пространств и непрерывных функций ) в Set (категория множеств и функций ), отправляющий отображение $f\colon X\to Y$ к отката операции $f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)$ .

Тогда характеристический класс c главных G -расслоений является естественным преобразованием из $b_{G}$ к функтору когомологий $H^{*}$ , рассматриваемый также как функтор Set .

Другими словами, каждому главному G -расслоению соответствует характеристический класс. $P\to X$ в $b_{G}(X)$ элемент c ( P ) в H *( X ) такой, что если f : Y → X — непрерывное отображение, то c ( f * P ) = f * c ( P ). Слева — класс возврата P к Y ; справа — образ класса P при индуцированном отображении в когомологиях.

Характеристические числа

Характеристические классы являются элементами групп когомологий; ^[1] можно получить целые числа из характеристических классов, называемых характеристическими числами . Некоторыми важными примерами характеристических чисел являются числа Стифеля-Уитни , числа Черна , числа Понтрягина и характеристика Эйлера .

Дано ориентированное многообразие M размерности n с фундаментальным классом $[M]\in H_{n}(M)$ , и G -расслоение с характеристическими классами $c_{1},\dots ,c_{k}$ , можно соединить произведение характеристических классов общей степени n с фундаментальным классом. Число различных характеристических чисел — это количество мономов степени n в характеристических классах или, что то же самое, разбиение n на ${\mbox{deg}}\,c_{i}$ .

Формально, учитывая $i_{1},\dots ,i_{l}$ такой, что $\sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n$ , соответствующее характеристическое число:

c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])

где $\smile$ обозначает чашечное произведение классов когомологий.Они обозначаются по-разному: либо как произведение характеристических классов, таких как $c_{1}^{2}$ , или с помощью некоторых альтернативных обозначений, таких как $P_{1,1}$ для числа Понтрягина, соответствующего $p_{1}^{2}$ , или $\chi$ для эйлеровой характеристики.

С точки зрения когомологий де Рама можно принять дифференциальные формы, представляющие характеристические классы, ^[2] возьмите клиновое произведение так, чтобы получить верхнемерную форму, затем проинтегрируйте по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологиях и объединению его с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, которые имеют $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ -ориентации, в этом случае получается $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ -значные характеристические числа, такие как числа Штифеля-Уитни.

Характеристические числа решают вопросы ориентированных и неориентированных бордизмов : два многообразия (соответственно ориентированные или неориентированные) кобордантны тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

являются явлениями теории когомологий Характеристические классы по существу — они являются контравариантными конструкциями в том смысле, что сечение является своего рода функцией в пространстве, и чтобы привести к противоречию относительно существования сечения, нам действительно нужна эта дисперсия. Фактически теория когомологий возникла после гомологии и теории гомотопии , которые являются ковариантными теориями, основанными на отображении в пространство; и теория характеристических классов, находившаяся в зачаточном состоянии в 1930-х годах (как часть теории препятствий ), была одной из основных причин, по которой искали «двойную» теорию гомологии. Подход характеристических классов к инвариантам кривизны стал особым поводом для создания теории и доказательства общей теоремы Гаусса – Бонне .

Когда около 1950 года теория была поставлена на организованную основу (с сведением определений к гомотопической теории), стало ясно, что наиболее фундаментальными характеристическими классами, известными в то время ( класс Штифеля-Уитни , класс Черна и классы Понтрягина ), были отражения классических линейных групп и их максимальная торическая структура. Более того, сам класс Черна не был таким уж новым, поскольку нашел отражение в исчислении Шуберта о грассманианах и работах итальянской школы алгебраической геометрии . С другой стороны, теперь появилась структура, которая создавала семейства классов всякий раз, когда речь шла о векторном расслоении .

Тогда основной механизм выглядел так: дано пространство X, векторное расслоение, что подразумевало в гомотопической категории отображение X в классифицирующее пространство BG для соответствующей линейной группы G. несущее Для теории гомотопий важную информацию несут компактные подгруппы, такие как ортогональные группы и унитарные группы группы G . Как только когомологии $H^{*}(BG)$ было вычислено раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характеристические классы расслоения будут определены в $H^{*}(X)$ в тех же размерах. Например, класс Черна на самом деле представляет собой один класс с градуированными компонентами в каждом четном измерении.

Это по-прежнему классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно принимать во внимание дополнительную структуру. Когда когомологии стали «экстраординарными» с появлением К-теории и теории кобордизмов , начиная с 1955 года, на самом деле было необходимо всего лишь изменить везде букву H, чтобы указать, каковы были характеристические классы.

характеристические классы слоений многообразий Позднее были найдены ; они имеют (в модифицированном смысле для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) теорию классифицирующего пространства в теории гомотопий .

В более поздних работах, после сближения математики и физики , новые характеристические классы были обнаружены Саймоном Дональдсоном и Дитером Котчиком в теории инстантонов . Работа и точка зрения Черна также оказались важными: см. теорию Черна – Саймонса .

Стабильность

На языке стабильной теории гомотопий класс Чженя , класс Стифеля–Уитни и класс Понтрягина устойчивы , а Эйлера неустойчив . класс

Конкретно, стабильный класс — это тот, который не меняется при добавлении тривиального пакета: $c(V\oplus 1)=c(V)$ . Более абстрактно это означает, что класс когомологий в пространстве классифицирующем $BG(n)$ уходит из класса когомологий в $BG(n+1)$ при включении $BG(n)\to BG(n+1)$ (что соответствует включению $\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}$ и подобные). Эквивалентно, все конечные характеристические классы отступают от стабильного класса в $BG$ .

Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k -мерного расслоения живет в $H^{k}(X)$ (следовательно, отходит от $H^{k}(BO(k))$ , поэтому он не может выйти из класса в $H^{k+1}$ , так как размеры различаются.

См. также

Примечания

^ Неформально характеристические классы «живут» в когомологиях.
^ Согласно теории Черна – Вейля , это полиномы кривизны; по теории Ходжа можно принять гармоническую форму.

Ссылки

Черн, Шиинг-Шен (1995). Комплексные многообразия без теории потенциала . Спрингер-Верлаг Пресс. ISBN 0-387-90422-0 . ISBN 3-540-90422-0 .
Приложение к этой книге: «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень аккуратное и глубокое введение в развитие представлений о характеристических классах.
Хэтчер, Аллен , Векторные расслоения и К-теория
Хуземоллер, Дейл (1966). Пучки волокон (3-е издание, изд. Springer, 1993 г.). МакГроу Хилл. ISBN 0387940871 .
Милнор, Джон В .; Сташефф, Джим (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. Том. 76. Издательство Принстонского университета , Принстон, Нью-Джерси; Издательство Токийского университета , Токио. ISBN 0-691-08122-0 .

[1] Неформально характеристические классы «живут» в когомологиях.

[2] Согласно теории Черна – Вейля , это полиномы кривизны; по теории Ходжа можно принять гармоническую форму.

[1]

[2]