Второй класс

В математике класс Сегре — характеристический класс, используемый при изучении конусов , обобщение векторных расслоений . Для векторных расслоений общий класс Сегре инверсивен полному классу Черна и, таким образом, предоставляет эквивалентную информацию; Преимущество класса Сегре состоит в том, что он обобщается на более общие конусы, а класс Черна — нет.Класс Сегре был введен в неособом случае Сегре (1953). В современной трактовке теории пересечений в алгебраической геометрии, развитой, например, в авторитетной книге Фултона (1998), классы Сегре играют фундаментальную роль.

Определение

Предполагать $C$ это конус над $X$, $q$ это проекция проективного завершения $\mathbb {P} (C\oplus 1)$ из $C$ к $X$, и ${\mathcal {O}}(1)$ представляет собой антитавтологическое линейное расслоение на $\mathbb {P} (C\oplus 1)$. Просмотр класса Черна $c_{1}({\mathcal {O}}(1))$ как групповой эндоморфизм Чоу группы $\mathbb {P} (C\oplus 1)$, полный класс Сегре $C$ дается:

$s(C)=q_{*}\left(\sum _{i\geq 0}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).$

The $i$й класс Сегре $s_{i}(C)$ это просто $i$кусок $s(C)$. Если $C$ имеет чистое измерение $r$ над $X$ тогда это определяется:

$s_{i}(C)=q_{*}\left(c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{r+i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).$

Причина использования $\mathbb {P} (C\oplus 1)$ скорее, чем $\mathbb {P} (C)$ заключается в том, что это делает весь класс Сегре стабильным при добавлении тривиального расслоения ${\mathcal {O}}$.

Если Z — замкнутая подсхема алгебраической схемы X , то $s(Z,X)$ обозначим класс Сегре конуса нормального $Z\hookrightarrow X$.

Связь с классами Черна для векторных расслоений

Для голоморфного векторного расслоения $E$ над сложным многообразием $M$ к общему классу Сегре $s(E)$ является обратным полному классу Черна $c(E)$см., например, Фултон (1998).

Явно, для всего класса Черна

$c(E)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots \,$

получаем общий класс Сегре

$s(E)=1+s_{1}(E)+s_{2}(E)+\cdots \,$

где

$c_{1}(E)=-s_{1}(E),\quad c_{2}(E)=s_{1}(E)^{2}-s_{2}(E),\quad \dots ,\quad c_{n}(E)=-s_{1}(E)c_{n-1}(E)-s_{2}(E)c_{n-2}(E)-\cdots -s_{n}(E)$

Позволять $x_{1},\dots ,x_{k}$ быть корнями Черна, т.е. формальными собственными значениями ${\frac {i\Omega }{2\pi }}$ где $\Omega$ это искривление соединения на $E$.

Тогда как класс Черна c(E) записывается как

$c(E)=\prod _{i=1}^{k}(1+x_{i})=c_{0}+c_{1}+\cdots +c_{k}\,$

где $c_{i}$ – элементарный симметричный полином степени $i$ в переменных $x_{1},\dots ,x_{k}$

Сегре для двойного комплекта $E^{\vee }$ имеющий чернские корни $-x_{1},\dots ,-x_{k}$ написано как

$s(E^{\vee })=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x_{i}}}=s_{0}+s_{1}+\cdots$

Разложив приведенное выше выражение по степеням $x_{1},\dots x_{k}$ это можно увидеть $s_{i}(E^{\vee })$ представленполный однородный симметричный многочлен $x_{1},\dots x_{k}$

Характеристики

Вот некоторые основные свойства.

• Для любого конуса C (например, векторного расслоения) $s(C\oplus 1)=s(C)$.
• Для конуса C и векторного E расслоения

  $c(E)s(C\oplus E)=s(C).$

• Если E — векторное расслоение, то

  $s_{i}(E)=0$ для $i<0$.

  $s_{0}(E)$ является идентификационным оператором.

  $s_{i}(E)\circ s_{j}(F)=s_{j}(F)\circ s_{i}(E)$ для другого векторного расслоения F .

• Если L — линейное расслоение, то $s_{1}(L)=-c_{1}(L)$, минус первый класс Черна L .
• Если E — векторное расслоение ранга $e+1$, то для линейного расслоения L ,

  $s_{p}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-i}{\binom {e+p}{e+i}}s_{i}(E)c_{1}(L)^{p-i}.$

Ключевым свойством класса Сегре является бирациональная инвариантность: она содержится в следующем. Позволять $p:X\to Y$ — собственный морфизм между алгебраическими схемами такой, что $Y$ неприводима, и каждая неприводимая компонента $X$ карты на $Y$. Тогда для каждой замкнутой подсхемы $W\subset Y$, $V=p^{-1}(W)$ и $p_{V}:V\to W$ ограничение $p$,

${p_{V}}_{*}(s(V,X))=\operatorname {deg} (p)\,s(W,Y).$

Аналогично, если $f:X\to Y$ является плоским морфизмом постоянной относительной размерности между чистомерными алгебраическими схемами, тогда для каждой замкнутой подсхемы $W\subset Y$, $V=f^{-1}(W)$ и $f_{V}:V\to W$ ограничение $f$,

${f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).$

Базовым примером бирациональной инвариантности является раздутие. Позволять $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ быть раздутием вдоль некоторой замкнутой подсхемы Z . Поскольку исключительный делитель $E:=\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}$ — эффективный делитель Картье, а нормальный конус (или нормальный расслоение) к нему есть ${\mathcal {O}}_{E}(E):={\mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}$,

${\begin{aligned}s(E,{\widetilde {X}})&=c({\mathcal {O}}_{E}(E))^{-1}[E]\\&=[E]-E\cdot [E]+E\cdot (E\cdot [E])+\cdots ,\end{aligned}}$

где мы использовали обозначение $D\cdot \alpha =c_{1}({\mathcal {O}}(D))\alpha$. Таким образом,

$s(Z,X)=g_{*}\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}E^{k}\right)$

где $g:E=\pi ^{-1}(Z)\to Z$ дается $\pi$.

Примеры

Пример 1

Пусть Z — гладкая кривая, являющаяся полным пересечением эффективных дивизоров Картье. $D_{1},\dots ,D_{n}$ многообразии X. на Предположим, что размерность X равна n + 1. Тогда класс Сегре нормального конуса $C_{Z/X}$ к $Z\hookrightarrow X$ является:

$s(C_{Z/X})=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].$

Действительно, например, если Z регулярно вложено в X , то, поскольку $C_{Z/X}=N_{Z/X}$ это обычный пакет и $N_{Z/X}=\bigoplus _{i=1}^{n}N_{D_{i}/X}|_{Z}$ (см. Нормальный конус#Свойства ), имеем:

$s(C_{Z/X})=c(N_{Z/X})^{-1}[Z]=\prod _{i=1}^{d}(1-c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D_{i})))[Z]=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].$

Пример 2

Ниже приводится пример 3.2.22. Фултона (1998). Он восстанавливает некоторые классические результаты из книги Шуберта по перечислительной геометрии .

Просмотр двойного проективного пространства ${\breve {\mathbb {P} ^{3}}}$ из расслоения Грассмана $p:{\breve {\mathbb {P} ^{3}}}\to *$ параметризация двух плоскостей в $\mathbb {P} ^{3}$, рассмотрим тавтологическую точную последовательность

$0\to S\to p^{*}\mathbb {C} ^{3}\to Q\to 0$

где $S,Q$ являются тавтологическими под- и факторрасслоениями. С $E=\operatorname {Sym} ^{2}(S^{*}\otimes Q^{*})$, проективное расслоение $q:X=\mathbb {P} (E)\to {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}$ многообразие коник в $\mathbb {P} ^{3}$. С $\beta =c_{1}(Q^{*})$, у нас есть $c(S^{*}\otimes Q^{*})=2\beta +2\beta ^{2}$ и так, используя класс Черна#Вычислительные формулы ,

$c(E)=1+8\beta +30\beta ^{2}+60\beta ^{3}$

и таким образом

$s(E)=1+8h+34h^{2}+92h^{3}$

где $h=-\beta =c_{1}(Q).$ Коэффициенты в $s(E)$ имеют перечислительный геометрический смысл; например, 92 — это количество коник, встречающихся 8 генеральным линиям.

См. Также: Остаточное пересечение § Пример: коники, касательные к данным пяти коникам.

Пример 3

Пусть X — поверхность и $A,B,D$ эффективные делители Картье на нем. Позволять $Z\subset X$ быть теоретико-схемным пересечением $A+D$ и $B+D$ (рассматривая эти делители как замкнутые подсхемы). Для простоты предположим, что $A,B$ встречаются только в одной точке P с той же кратностью m и что P является гладкой точкой X . Затем

$s(Z,X)=[D]+(m^{2}[P]-D\cdot [D]).$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим увеличение $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ X и вдоль P пусть $g:{\widetilde {Z}}=\pi ^{-1}Z\to Z$, строгое преобразование Z . По формуле #Properties ,

$s(Z,X)=g_{*}([{\widetilde {Z}}])-g_{*}({\widetilde {Z}}\cdot [{\widetilde {Z}}]).$

С ${\widetilde {Z}}=\pi ^{*}D+mE$ где $E=\pi ^{-1}P$, получается формула выше.

Множественность по подмногообразию

Позволять $(A,{\mathfrak {m}})$ — локальное кольцо многообразия X в замкнутом подмногообразии V коразмерности n (например, V может быть замкнутой точкой). Затем $\operatorname {length} _{A}(A/{\mathfrak {m}}^{t})$ является полиномом степени n по t при больших t ; то есть это можно записать как ${e(A)^{n} \over n!}t^{n}+$ члены низшей степени и целое число $e(A)$ называется кратностью A ​ .

Класс Сегре $s(V,X)$ из $V\subset X$ кодирует эту множественность: коэффициент $[V]$ в $s(V,X)$ является $e(A)$.

Библиография

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Сегре, Бениамино (1953), «Новые методы и результаты в геометрии на алгебраических многообразиях», Ann. Мэтт. Чистое приложение. (на итальянском языке), 35 (4): 1–127, MR   0061420