Перечислительная геометрия

Смотрите также: Теория пересечений

В математике занимающийся перечислительная геометрия — это раздел алгебраической геометрии, подсчетом количества решений геометрических вопросов, главным образом с помощью теории пересечений .

История

Круги Аполлония

Задача Аполлония — один из самых ранних примеров перечислительной геометрии. Эта задача требует определения количества и построения окружностей, касающихся трех заданных окружностей, точек или линий. В общем случае задача для трёх данных кругов имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 2 ³ , каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако при особом расположении данных кругов количество решений также может быть любым целым числом от 0 (нет решений) до шести; не существует устройства, для которого существовало бы семь решений проблемы Аполлония.

Ключевые инструменты

Ряд инструментов, от самых простых до более продвинутых, включает в себя:

• Подсчет размеров
• Теорема Безу
• Исчисление Шуберта и, в более общем плане, характеристические классы когомологий .
• Связь подсчета пересечений с когомологиями - это двойственность Пуанкаре.
• Изучение пространств модулей кривых, отображений и других геометрических объектов, иногда с помощью теории квантовых когомологий . Исследование квантовых когомологий , инвариантов Громова–Виттена и зеркальной симметрии дало значительный прогресс в гипотезе Клеменса .

Перечислительная геометрия очень тесно связана с теорией пересечений .

Исчисление Шуберта

Перечислительная геометрия получила впечатляющее развитие в конце девятнадцатого века под руководством Германа Шуберта . Он ввел его для исчисления Шуберта , которое доказало свою фундаментальную геометрическую и топологическую ценность в более широких областях. Конкретные потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока им не было уделено дополнительное внимание в 1960-х и 1970-х годах (как указал, например, Стивен Клейман ). Номера перекрестков были строго определены ( Андре Вейлем в рамках его основополагающей программы 1942–1946 гг., и еще раз впоследствии), но этим не исчерпывается собственно область перечислительных вопросов.

Гильберта

Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу дает неверные результаты, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели расплывчатые « факторы выдумки », которые получили строгое обоснование лишь десятилетия спустя.

В качестве примера посчитайте конические сечения , касающиеся пяти данных прямых на проективной плоскости . Коники составляют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов в качестве однородных координат , а пять точек определяют конику , если точки находятся в общем линейном положении , поскольку прохождение через данную точку накладывает линейное условие. Аналогично, касание к данной прямой L (касание - это пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, поэтому определяется квадрика в P ⁵ . Однако линейная система дивизоров, состоящая из всех таких квадрик, не лишена базового множества . Фактически каждая такая квадрика содержит поверхность Веронезе , параметризующую коники

( aX + byY + cZ ) ² = 0

называемые «двойные линии». Это связано с тем, что двойная прямая пересекает каждую прямую на плоскости, поскольку прямые на проективной плоскости пересекаются с кратностью два, поскольку она удвоена, и, таким образом, удовлетворяет тому же условию пересечения (пересечение кратности два), что и невырожденная коника касающаяся , линия.

Общая теорема Безу гласит, что 5 общих квадрик в 5-мерном пространстве будут пересекаться в 32 = 2. ⁵ точки. Но соответствующие квадрики здесь не находятся в общем положении . Из 32 надо вычесть 31 и приписать Веронезе, чтобы остался правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс отнесения пересечений к «вырожденным» случаям представляет собой типичное геометрическое введение «выдумки» . фактор '.

Пятнадцатая проблема Гильберта заключалась в преодолении очевидно произвольного характера этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки основополагающего вопроса самого исчисления Шуберта.

Гипотеза Клеменса

В 1984 году Х. Клеменс изучил подсчет количества рациональных кривых на тройном многообразии пятой степени. $X\subset P^{4}$ и пришел к следующей гипотезе.

Позволять $X\subset P^{4}$ быть общей квинтикой тройки, $d$ положительное целое число, то существует только конечное число рациональных кривых степени $d$ на $X$.

Эта гипотеза была решена в случае $d\leq 9$, но все еще открыт для более высоких $d$.

В 1991 году газета о зеркальной симметрии на тройном многообразии квинтики в $P^{4}$ с точки зрения теории струн дает количество рациональных кривых степени d на $X$ для всех $d>0$. До этого алгебраические геометры могли вычислить эти числа только для $d\leq 5$.

Примеры

Некоторые из исторически важных примеров перечислений в алгебраической геометрии включают:

• 2 Количество линий, пересекающихся с 4 основными линиями в пространстве
• 8 Число окружностей, касающихся трёх общих окружностей ( задача Аполлония ).
• 27 Количество линий на гладкой кубической поверхности ( Сэлмон и Кэли )
• 2875 Число строк в общей квинтике тройного порядка
• 3264 Число коник, касающихся 5 плоских коник общего положения ( Шасля )
• 609250 Число коник в общей пятёрке тройного порядка
• 4407296 Число коник, касающихся 8 общих квадратичных поверхностей Фултон (1984 , стр. 193)
• 666841088 Число квадратичных поверхностей, касающихся 9 заданных квадратических поверхностей общего положения в 3-мерном пространстве ( Шуберт 1879 , стр.106) ( Фултон 1984 , стр.193)
• 5819539783680 Число скрученных кубических кривых, касающихся 12 заданных квадратичных поверхностей общего положения в трехмерном пространстве ( Шуберт 1879 , стр. 184) (С. Клейман, С. А. Стрёмме и С. Ксамбо , 1987 )

Ссылки

• Клейман, С.; Стрёмме, ЮАР; Ксамбо, С. (1987), «Набросок проверки числа Шуберта 5819539783680 скрученных кубов», Пространственные кривые (Rocca di Papa, 1985) , Конспекты лекций по математике, том. 1266, Берлин: Springer, стр. 156–180, doi : 10.1007/BFb0078183 , ISBN.  978-3-540-18020-3 , МР   0908713
• Шуберт, Герман (1979) [1879], Клейман, Стивен Л. (ред.), Исчисление счетной геометрии , Перепечатка оригинала 1879 года (на немецком языке), Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-09233-1 , МР   0555576

Внешние ссылки

• Башелор, Эндрю; Ксир, Эми; Трэвес, Уилл (2008). «Перечислительная алгебраическая геометрия коник» . амер. Математика. Ежемесячно . 115 (8): 701–7. дои : 10.1080/00029890.2008.11920584 . JSTOR   27642583 .