Исчисление Шуберта

В математике . исчисление Шуберта ^[1]— раздел алгебраической геометрии , введенный в девятнадцатом веке Германом Шубертом для решения различных счетных задач проективной геометрии и, как таковой, рассматривается как часть перечислительной геометрии . Целью 15-й проблемы Гильберта было дать ей более строгое обоснование . Он связан с несколькими более современными концепциями, такими как характеристические классы , и его алгоритмические аспекты и приложения остаются актуальными. Термин исчисление Шуберта иногда используется для обозначения перечислительной геометрии линейных подпространств векторного пространства, что примерно эквивалентно описанию кольца когомологий грассманианов. Иногда под ним подразумевают более общую перечислительную геометрию алгебраических многообразий, являющихся однородными пространствами простых групп Ли. В более общем плане исчисление Шуберта иногда понимается как включающее изучение аналогичных вопросов в теориях обобщенных когомологий .

Объекты, введенные Шубертом, — это ячейки Шуберта . ^[2]которые являются локально замкнутыми множествами в грассманиане, определяемыми условиями инцидентности линейного подпространства в проективном пространстве с данным флагом . Подробнее см. сорт Шуберт .

Теория пересечения ^[3]этих ячеек, которую можно рассматривать как структуру произведения в кольце когомологий грассманиана, состоящего из ассоциированных классов когомологий , позволяет в частности, определение случаев, когда пересечения ячеек приводят к конечному набору точек. Ключевой результат состоит в том, что клетки Шуберта (точнее, классы их замыканий Зарисского, циклы Шуберта или многообразия Шуберта ) охватывают все кольцо когомологий.

Комбинаторные аспекты в основном возникают при вычислении пересечений циклов Шуберта. При переходе от грассманиана , который является однородным пространством , к общей линейной группе , действующей на нем, аналогичные вопросы возникают при разложении Брюа и классификации параболических подгрупп (как блочно-треугольных матриц).

Строительство [ править ]

Исчисление Шуберта можно построить с использованием кольца Чоу. ^[3] грассманиана , где порождающие циклы представлены геометрически определенными данными. ^[4] Обозначим грассманиан $k$ -самолеты в фиксированном положении $n$ -мерное векторное пространство $V$ как $\mathbf {Gr} (k,V)$ , и его кольцо Чоу как $A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))$ . (Обратите внимание, что грассманиан иногда обозначают $\mathbf {Gr} (k,n)$ если векторное пространство не задано явно или как $\mathbb {G} (k-1,n-1)$ если окружающее пространство $V$ И его $k$ -мерные подпространства заменяются их проекциями.) Выбор (произвольного) полного флага

{\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,

каждому слабо убывающему $k$ -кортеж целых чисел $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})$ , где

n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,

т. е. каждому разделу веса

|\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},

которого диаграмма Юнга соответствует $k\times (n-k)$ прямоугольный для перегородки $(n-k)^{k}$ , мы сопоставляем многообразие Шуберта ^[1]^[2] (или цикл Шуберта ) $\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)$ , определяется как

\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.

Это замыкание в топологии Зарисского . ячейки Шуберта ^[1]^[2]

X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),

который используется при рассмотрении клеточной гомологии вместо кольца Чоу. Последние представляют собой непересекающиеся аффинные пространства размерности $|\mathbf {a} |$ , объединение которых $\mathbf {Gr} (k,V)$ .

Эквивалентная характеристика ячейки Шуберта $X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})$ может быть задано с помощью двойного полного флага

{\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),

где

{\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).

Затем $X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)$ состоит из тех $k$ -мерные подпространства $w\subset V$ которые имеют основу $({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})$ состоящий из элементов

{\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k

подпространств $\{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.$

Поскольку класс гомологии $[\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))$ , называемый классом Шуберта , не зависит от выбора полного флага ${\mathcal {V}}$ , это можно записать как

\sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).

Можно показать, что эти классы линейно независимы и порождают кольцо Чоу как свою линейную оболочку. Соответствующая теория пересечений называется исчислением Шуберта . Для заданной последовательности $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)$ с $a_{j}>0$ класс Шуберта $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ обычно просто обозначается $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}$ . Классы Шуберта, заданные одним целым числом $\sigma _{a_{1}}$ , (т.е. горизонтальный раздел), называются специальными классами . Используя приведенную ниже формулу Джамбелли , все классы Шуберта могут быть созданы из этих специальных классов.

Другие обозначения [ править ]

В некоторых источниках ^[1]^[2] клетки Шуберта $X_{\mathbf {a} }$ и разновидности Шуберта $\Sigma _{\mathbf {a} }$ обозначаются по-разному, т. $S_{\lambda }$ и ${\bar {S}}_{\lambda }$ , соответственно, где $\lambda$ является дополнительным разделом для $\mathbf {a}$ с частями

\lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}

,

диаграмма Юнга которой является дополнением диаграммы для $\mathbf {a}$ в рамках $k\times (n-k)$ прямоугольный (перевернутый, как по горизонтали, так и по вертикали).

Еще одно соглашение о маркировке $X_{\mathbf {a} }$ и $\Sigma _{\mathbf {a} }$ является $C_{L}$ и ${\bar {C}}_{L}$ , соответственно, где $L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)$ мультииндекс, определяемый

L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.

Целые числа $(L_{1},\dots ,L_{k})$ являются точками поворота представлений элементов $X_{\mathbf {a} }$ сокращенного матричного в форме эшелона .

Объяснение [ править ]

Для пояснения определения рассмотрим общий $k$ -самолет $w\subset V$ . Он будет иметь только нулевое пересечение с $V_{j}$ для $j\leq n-k$ , тогда как

\dim(V_{j}\cap w)=i

для

j=n-k+i\geq n-k.

Например, в $\mathbf {Gr} (4,9)$ , а $4$ -самолет $w$ — пространство решений системы пяти независимых однородных линейных уравнений. Эти уравнения в общем будут охватывать, если ограничиться подпространством. $V_{j}$ с $j=\dim V_{j}\leq 5=9-4$ , и в этом случае пространство решений (пересечение $V_{j}$ с $w$ ) будет состоять только из нулевого вектора. Однако, если $\dim(V_{j})+\dim(w)>n=9$ , $V_{j}$ и $w$ обязательно будет иметь ненулевое пересечение. Например, ожидаемый размер пересечения $V_{6}$ и $w$ является $1$ , пересечение ул. $V_{7}$ и $w$ имеет ожидаемый размер $2$ , и так далее.

Определение многообразия Шуберта гласит, что первое значение $j$ с $\dim(V_{j}\cap w)\geq i$ обычно меньше ожидаемого значения $n-k+i$ по параметру $a_{i}$ . $k$ -самолеты $w\subset V$ заданные этими ограничениями, затем определяют специальные подмногообразия $\mathbf {Gr} (k,n)$ . ^[4]

Свойства [ править ]

Включение [ править ]

На все есть частичный заказ $k$ -кортежи где $\mathbf {a} \geq \mathbf {b}$ если $a_{i}\geq b_{i}$ для каждого $i$ . Это дает включение многообразий Шуберта

\Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,

увеличение индексов соответствует еще большей специализации подразновидностей.

Формула измерения [ править ]

Разновидность Шуберта $\Sigma _{\mathbf {a} }$ имеет размер, равный весу

|\mathbf {a} |=\sum a_{i}

раздела $\mathbf {a}$ . Альтернативно, в соглашении об обозначениях $S_{\lambda }$ указано выше, его коразмерность в $\mathbf {Gr} (k,n)$ это вес

|\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.

дополнительного раздела $\lambda \subset (n-k)^{k}$ в $k\times (n-k)$ мерная прямоугольная диаграмма Юнга.

Оно устойчиво относительно включений грассманианов. То есть включение

i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}

определено, для $w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})$ , к

i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}

имеет собственность

i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },

и включение

{\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)

определяется добавлением дополнительного базового элемента $e_{n+1}$ для каждого $k$ -самолет, дающий $(k+1)$ -самолет,

{\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}

делает то же самое

{\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.

Таким образом, если $X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)$ и $\Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)$ являются клеткой и подмногообразием в грассманиане $\mathbf {Gr} _{k}(n)$ , их также можно рассматривать как ячейку $X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})$ и подразновидность $\Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})$ внутри грассманиана $\mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})$ для любая пара $({\tilde {k}},{\tilde {n}})$ с ${\tilde {k}}\geq k$ и ${\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k$ .

Продукт пересечения [ править ]

Произведение пересечения было впервые установлено с использованием формул Пьери и Джамбелли .

Потерять формулу [ править ]

В особом случае $\mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)$ , существует явная формула произведения $\sigma _{b}$ с произвольным классом Шуберта $\sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}$ данный

\sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },

где $|\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}$ , $|\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}$ — веса разделов. Это называется формулой Пьери и может использоваться для определения произведения пересечений любых двух классов Шуберта в сочетании с формулой Джамбелли . Например,

\sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.

и

\sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}

Формула Джамбелли [ править ]

классы Шуберта $\sigma _{\mathbf {a} }$ для перегородок любой длины $\ell (\mathbf {a} )\leq k$ можно выразить как определитель $(k\times k)$ матрица, имеющая специальные классы в качестве записей.

\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}

Это известно как формула Джамбелли . Оно имеет ту же форму, что и первое тождество Якоби-Труди , выражающее произвольное Функции Шура $s_{\mathbf {a} }$ в качестве определяющих факторов с точки зрения полные симметричные функции $\{h_{j}:=s_{(j)}\}$ .

Например,

\sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}

и

\sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.

Общий случай [ править ]

Продукт пересечения любой пары классов Шуберта. $\sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }$ дан кем-то

\sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },

где $\{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}$ – коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона . ^[5] Формула Пьери является частным случаем этого случая, когда $\mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)$ имеет длину $\ell (\mathbf {b} )=1$ .

Связь с классами Черна [ править ]

Существует простое описание кольца когомологий или кольца Чоу грассманиана. $\mathbf {Gr} (k,V)$ используя классы Черна двух натуральных векторных расслоений над $\mathbf {Gr} (k,V)$ . Мы имеем точную последовательность векторных расслоений над $\mathbf {Gr} (k,V)$

0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0

где $T$ — тавтологическое расслоение , слой которого над любым элементом $w\in \mathbf {Gr} (k,V)$ это подпространство $w\subset V$ сам, $\,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V$ — тривиальное векторное расслоение ранга $n$ , с $V$ как волокно и $Q$ — фактор-векторное расслоение ранга $n-k$ , с $V/w$ как волокно. Классы Чженя расслоений $T$ и $Q$ являются

c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},

где $(1)^{i}$ — это разбиение, диаграмма Юнга которого состоит из одного столбца длины $i$ и

c_{i}(Q)=\sigma _{i}.

Тогда тавтологическая последовательность дает представление кольца Чоу как

A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.

$\mathbf {Gr} (2,4)$ [ редактировать ]

Одним из классических анализируемых примеров является грассманиан. $\mathbf {Gr} (2,4)$ поскольку он параметризует строки в $\mathbb {P} ^{3}$ . Использование кольца Чоу $A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))$ Исчисление Шуберта можно использовать для вычисления количества линий на кубической поверхности . ^[4]

Кольцо чау [ править ]

Кольцо Чау имеет товарный вид

A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}

и как градуированная абелева группа ^[6] это дано

{\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}

Линии на кубической поверхности [ править ]

Напомним, что строка в $\mathbb {P} ^{3}$ дает измерение $2$ подпространство $\mathbb {A} ^{4}$ , следовательно, элемент $\mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)$ . Также уравнение прямой можно представить как сечение $\Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})$ . Так как кубическая поверхность $X$ задается как общий однородный кубический многочлен, это задается как общее сечение $s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))$ . линия $L\subset \mathbb {P} ^{3}$ представляет собой подразновидность $X$ тогда и только тогда, когда сечение исчезает на $[L]\in \mathbb {G} (1,3)$ . Следовательно, Эйлера класс ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ может быть интегрировано по $\mathbb {G} (1,3)$ чтобы получить количество точек, в которых общий раздел исчезает $\mathbb {G} (1,3)$ . Чтобы получить класс Эйлера, нужен полный класс Черна $T^{*}$ необходимо вычислить, что задается как

c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}

Тогда формула расщепления читается как формальное уравнение

{\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},

где $c({\mathcal {L}})=1+\alpha$ и $c({\mathcal {M}})=1+\beta$ для формальных линейных пакетов ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ . Уравнение расщепления дает соотношения

\sigma _{1}=\alpha +\beta

и

\sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta

.

С ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ можно рассматривать как прямую сумму формальных линейных расслоений

{\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}

общий класс Черна которых равен

c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),

следует, что

{\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}

используя тот факт, что

\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}

и

\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.

С $\sigma _{2,2}$ это высший класс, тогда интеграл

\int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.

Таким образом, существуют $27$ линии на кубической поверхности.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Клейман, СЛ ; Лаксов, Дэн (1972). «Исчисление Шуберта». Американский математический ежемесячник . 79 (10). Американское математическое общество: 1061–1082. дои : 10.1080/00029890.1972.11993188 . ISSN 0377-9017 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фултон, Уильям (1997). Молодые Таблицы. С приложениями к теории представлений и геометрии, гл. 9.4 . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 35. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7 . МР 1644323 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с 3264 и все такое (PDF) . стр. 132, раздел 4.1, 200, раздел 6.2.1.
^ Фултон, Уильям (1997). Молодые Таблицы. С приложениями к теории представлений и геометрии, гл. 5 . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 35. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244 .
^ Кац, Шелдон . Перечислительная геометрия и теория струн . п. 96.

Конспекты летней школы http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
Филлип Гриффитс и Джозеф Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии , глава 1.5
Клейман, Стивен (1976). «Строгие основы перечислительного исчисления Шуберта». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 445–482. ISBN 0-8218-1428-1 .
Стивен Клейман и Дэн Лаксов (1972). «Исчисление Шуберта» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 79 : 1061–1082. дои : 10.2307/2317421 .
Соттиле, Франк (2001) [1994], «Исчисление Шуберта» , Энциклопедия математики , EMS Press
Дэвид Эйзенбуд и Джозеф Харрис (2016), «3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии».
Фултон, Уильям (1997). Молодые Таблицы. С приложениями к теории представлений и геометрии, гл. 5 и 9.4 . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 35. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244 .
Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7 . МР 1644323 .

[KL-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Клейман, СЛ ; Лаксов, Дэн (1972). «Исчисление Шуберта». Американский математический ежемесячник . 79 (10). Американское математическое общество: 1061–1082. дои : 10.1080/00029890.1972.11993188 . ISSN 0377-9017 .

[Fu-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фултон, Уильям (1997). Молодые Таблицы. С приложениями к теории представлений и геометрии, гл. 9.4 . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 35. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244 .

[Fu1-3] Перейти обратно: ^а ^б Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7 . МР 1644323 .

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с 3264 и все такое (PDF) . стр. 132, раздел 4.1, 200, раздел 6.2.1.

[Fu2-5] Фултон, Уильям (1997). Молодые Таблицы. С приложениями к теории представлений и геометрии, гл. 5 . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 35. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244 .

[6] Кац, Шелдон . Перечислительная геометрия и теория струн . п. 96.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]