✖


Jump to content

Проблемы Гильберта

Дэвид Хилберт

Проблемы Гильберта — это 23 задачи по математике, опубликованные немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. Все они в то время были нерешенными, а некоторые оказали большое влияние на математику 20-го века. Гильберт представил десять задач (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22) на парижской конференции Международного конгресса математиков , выступая 8 августа в Сорбонне . Полный список из 23 задач был опубликован позже, в английском переводе в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Бюллетене Американского математического общества . [ 1 ] Более ранние публикации (в оригинале на немецком языке) появлялись в Архивах математики и физики . [ 2 ]

Список проблем Гильберта

[ редактировать ]

Ниже приведены заголовки 23 задач Гильберта в том виде, в каком они были опубликованы в переводе 1902 года в Бюллетене Американского математического общества . [ 1 ]

1. Проблема Кантора о кардинальном числе континуума.
2. Совместимость арифметических аксиом.
3. Равенство объемов двух тетраэдров с равными основаниями и равными высотами.
4. Задача о прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками.
5. Концепция Ли о непрерывной группе преобразований без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу.
6. Математическая трактовка аксиом физики.
7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.
8. Проблемы простых чисел («Гипотеза Римана»).
9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.
10. Определение разрешимости диофантова уравнения.
11. Квадратичные формы с любыми алгебраическими числовыми коэффициентами
12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на любую алгебраическую область рациональности.
13. Невозможность решения общего уравнения 7-й степени с помощью функций всего двух аргументов.
14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.
15. Строгое обоснование перечислительного исчисления Шуберта.
16. Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей.
17. Выражение определенных форм квадратами.
18. Построение пространства из равных многогранников.
19. Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления обязательно аналитические?
20. Общая проблема граничных значений (Краевые задачи в УЧП).
21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную группу монодромии.
22. Униформизация аналитических отношений с помощью автоморфных функций.
23. Дальнейшее развитие методов вариационного исчисления.

Природа и влияние проблем

[ редактировать ]

Проблемы Гильберта сильно различались по тематике и точности. Некоторые из них, например 3-я проблема, которая была решена первой, или 8-я проблема ( гипотеза Римана ), которая до сих пор остается нерешенной, были представлены достаточно точно, чтобы можно было дать четкий утвердительный или отрицательный ответ. Для других задач, таких как 5-я, эксперты традиционно соглашались на единую интерпретацию, и было дано решение принятой интерпретации, но существуют тесно связанные нерешенные проблемы. Некоторые из утверждений Гильберта не были достаточно точными, чтобы обозначить конкретную проблему, но были достаточно наводящими на размышления, что, по-видимому, применимы к некоторым проблемам современного характера; например, большинство современных теоретиков чисел , вероятно, сочли бы 9-ю проблему ссылкой на предположительное соответствие Ленглендса представлениям абсолютной группы Галуа числового поля . [ 3 ] Другие проблемы, такие как 11-я и 16-я, касаются ныне процветающих математических дисциплин, таких как теории квадратичных форм и действительных алгебраических кривых .

Есть две проблемы, которые не только нерешены, но и могут оказаться неразрешимыми по современным стандартам. Шестая проблема касается аксиоматизации физики , цели, которую развитие XX века, похоже, делает более отдаленной и менее важной , чем во времена Гильберта. Кроме того, четвертая проблема касается основ геометрии , но сейчас она считается слишком расплывчатой, чтобы дать однозначный ответ.

23-я задача была намеренно поставлена ​​Гильбертом в качестве общего указания, чтобы подчеркнуть вариационное исчисление как недооцененную и недостаточно изученную область. В лекции, посвященной этим проблемам, Гильберт сделал следующее вступительное замечание к 23-й проблеме:

«До сих пор я вообще упоминал о проблемах, насколько это возможно, определенных и специальных, полагая, что именно такие определенные и специальные проблемы привлекают нас больше всего и от которых часто оказывается самое продолжительное влияние на науку. Тем не менее я должен Хотелось бы закончить общей проблемой, а именно указанием на неоднократно упомянутый в этой лекции раздел математики, который, несмотря на значительное продвижение, данное ему в последнее время Вейерштрассом, не получает той общей оценки, которая, по моему мнению, является это должное — я имею в виду исчисление вариации».

Остальная 21 проблема привлекла значительное внимание, и в конце 20 века работа над этими проблемами все еще считалась чрезвычайно важной. Пол Коэн получил медаль Филдса в 1966 году за работу над первой проблемой, а отрицательное решение десятой проблемы в 1970 году Юрием Матиясевичем (завершившим работу Джулии Робинсон , Хилари Патнэм и Мартина Дэвиса ) вызвало такое же признание. Аспекты этих проблем вызывают большой интерес и сегодня.

Познаваемость

[ редактировать ]

Вслед за Готлобом Фреге и Бертраном Расселом Гильберт стремился определить математику логически, используя метод формальных систем , то есть финитистские доказательства из согласованного набора аксиом . [ 4 ] Одной из главных целей программы Гильберта было финитистское доказательство непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая проблема. [ а ]

Однако вторая теорема Гёделя о неполноте дает точный смысл, в котором такое финитистское доказательство непротиворечивости арифметики доказуемо невозможно. Гильберт прожил 12 лет после того, как Курт Гёдель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого официального ответа на работу Гёделя. [ б ] [ с ]

Десятая проблема Гильберта не задается вопросом, существует ли алгоритм определения разрешимости диофантовых уравнений , а скорее требует построения такого алгоритма: «разработать процесс, согласно которому за конечное число операций можно было бы определить, является ли уравнение разрешимо в целых рациональных числах ». То, что эта проблема была решена путем демонстрации того, что такого алгоритма не может быть, противоречило философии математики Гильберта.

Обсуждая свое мнение о том, что каждая математическая проблема должна иметь решение, Гильберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством невозможности исходной проблемы. [ д ] Он утверждал, что дело в том, чтобы так или иначе узнать, каково решение, и считал, что мы всегда можем знать это, что в математике не существует никакого « ignorabimus » (утверждения, истинность которых никогда не может быть познана). [ и ] Кажется неясным, рассматривал ли бы он решение десятой задачи как пример игнорабимуса: доказано, что не существует не целочисленного решения, а (в определенном смысле) способности определенным образом распознавать, существует ли решение существует.

С другой стороны, статус первой и второй задач еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, являются ли результаты Гёделя (в случае второй задачи) или Гёделя и Коэна (в случае первая проблема) дают или нет окончательные отрицательные решения, поскольку эти решения применимы к определенной формализации задач, которая не обязательно является единственно возможной. [ ж ]

24-я проблема

[ редактировать ]
Основная статья: двадцать четвертая проблема Гильберта

Первоначально Гильберт включил в свой список 24 задачи, но отказался включать одну из них в опубликованный список. «24-я проблема» (в теории доказательств , о критерии простоты и общих методах) была заново открыта в оригинальных рукописных заметках Гильберта немецким историком Рюдигером Тиле в 2000 году. [ 7 ]

Последующие действия

[ редактировать ]

С 1900 года математики и математические организации объявили списки задач, но, за некоторыми исключениями, они не имели такого большого влияния и не вызвали такого большого количества работы, как проблемы Гильберта.

Единственное исключение составляют три гипотезы, выдвинутые Андре Вейлем в конце 1940-х годов ( гипотезы Вейля ). В областях алгебраической геометрии , теории чисел и связей между ними гипотезы Вейля имели очень важное значение. [ 8 ] [ 9 ] Первое из них было доказано Бернаром Дворком ; совершенно другое доказательство первых двух, посредством ℓ-адических когомологий , было дано Александром Гротендиком . Последнюю и самую глубокую из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана) доказал Пьер Делинь . И Гротендик, и Делинь были награждены медалью Филдса . Однако по своему объему гипотезы Вейля больше напоминали одну задачу Гильберта, и Вейль никогда не задумывал их как программу для всей математики. Это несколько иронично, поскольку, возможно, Вейль был математиком 1940-х и 1950-х годов, который лучше всего сыграл роль Гильберта, будучи знакомым почти со всеми областями (теоретической) математики и приняв важную роль в развитии многих из них.

Пол Эрдеш поставил сотни, если не тысячи математических задач , многие из которых были очень глубокими. Эрдеш часто предлагал денежное вознаграждение; размер вознаграждения зависел от предполагаемой сложности проблемы. [ 10 ]

Конец тысячелетия, который также стал столетием со дня объявления Гильбертом своих проблем, предоставил естественный повод предложить «новый набор проблем Гильберта». Несколько математиков приняли вызов, в частности медалист Филдса Стив Смейл , который ответил на просьбу Владимира Арнольда предложить список из 18 задач.

По крайней мере, в средствах массовой информации де-факто аналогом задач Гильберта в XXI веке является список из семи задач Премии тысячелетия, выбранный в 2000 году Математическим институтом Клея . В отличие от задач Гильберта, где основной наградой было восхищение Гильбертом в частности и математиками в целом, каждая призовая задача включает награду в миллион долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых задач ( гипотеза Пуанкаре ) была решена сравнительно вскоре после объявления о проблемах.

Гипотеза Римана примечательна своим появлением в списке проблем Гильберта, списке Смейла, списке задач премии тысячелетия и даже в гипотезах Вейля в своей геометрической форме. Хотя на нее нападают крупнейшие математики нашего времени, многие эксперты полагают, что она еще многие столетия будет частью списка нерешенных задач. Сам Гильберт заявил: «Если бы я проснулся после тысячи лет сна, моим первым вопросом было бы: доказана ли гипотеза Римана?» [ 11 ]

В 2008 году DARPA объявило о своем собственном списке из 23 задач, которые, как оно надеялось, могут привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепляя научные и технологические возможности Министерства обороны ». [ 12 ] [ 13 ] Список DARPA также включает несколько проблем из списка Гильберта, например, гипотезу Римана.

Краткое содержание

[ редактировать ]

Из четко сформулированных задач Гильберта номера 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 и 20 имеют решения, принятые консенсусом математического сообщества. Задачи 1, 2, 5, 6, [ г ] 9, 11, 12, 15, 21 и 22 имеют решения, которые частично принимаются, но существуют некоторые разногласия относительно того, решают ли они проблемы.

Остается 8 ( гипотеза Римана ), 13 и 16. [ ч ] нерешенные, а вопросы 4 и 23 слишком расплывчаты, чтобы их можно было назвать решенными. Отозванные 24 также будут относиться к этому классу.

Таблица задач

[ редактировать ]

23 проблемы Гильберта (подробнее о решениях и ссылках см. В статьях, ссылки на которые указаны в первом столбце):

Проблема Краткое объяснение Статус Год решен
1-й ( Гипотеза континуума то есть не существует множества которого , мощность находилась бы строго между мощностью целых и действительных чисел ) Доказано, что невозможно доказать или опровергнуть теорию множеств Цермело–Френкеля или без нее с аксиомой выбора (при условии, что теория множеств Цермело–Френкеля непротиворечива , т. е. не содержит противоречий). Единого мнения о том, является ли это решением проблемы, нет. 1940, 1963
2-й Докажите аксиомы арифметики , непротиворечивы . что Нет единого мнения относительно того, дают ли результаты Гёделя и Генцена решение проблемы, сформулированной Гильбертом. Гёделя Вторая теорема о неполноте , доказанная в 1931 году, показывает, что никакое доказательство ее непротиворечивости невозможно провести в рамках самой арифметики. что непротиворечивость арифметики следует из обоснованности ординала Генцен доказал в 1936 году , ε 0 . 1931, 1936
3-й Учитывая любые два многогранника одинакового объема, всегда ли можно разрезать первый на конечное число многогранных частей, из которых можно собрать второй? Решено. Результат: Нет, доказано с использованием инвариантов Дена . 1900
4-й Постройте все метрики , где линии являются геодезическими . Слишком расплывчато, чтобы сказать, решена она или нет. [ я ] —
5-е место Являются ли непрерывные группы автоматически дифференциальными группами ? Решено Эндрю Глисоном с учетом одной интерпретации исходного утверждения. Однако если понимать ее как эквивалент гипотезы Гильберта-Смита , она все еще остается нерешенной. 1953?
6-е место трактовка аксиом физики : Математическая

(а) аксиоматическая трактовка вероятности с помощью предельных теорем для основы статистической физики

(б) строгая теория предельных процессов, «которые ведут от атомистической точки зрения к законам движения континуумов»

Неразрешено или частично разрешено, в зависимости от того, как интерпретируется исходное утверждение. [ 14 ] Пункты (а) и (б) представляли собой две конкретные проблемы, поставленные Гильбертом в более позднем объяснении. [ 1 ] Аксиоматика Колмогорова (1933) теперь принята в качестве стандарта для оснований теории вероятностей. Есть определенные успехи на пути от «атомистического взгляда к законам движения континуумов». [ 15 ] , но переход от классической к квантовой физике означает, что должны быть две аксиоматические формулировки с четкой связью между ними. Джон фон Нейман предпринял раннюю попытку поставить квантовую механику на строгую математическую основу в своей книге « Математические основы квантовой механики» . [ 16 ] но последующие события произошли, еще больше бросив вызов аксиоматическим основам квантовой физики. 1933–2002?
7-е место Это ​ б трансцендентный , для алгебраического a ≠ 0,1 и иррационального алгебраического b ? Решено. Результат: Да, иллюстрируется теоремой Гельфонда–Шнайдера . 1934
8-е место Гипотеза Римана («действительная часть любого нетривиального нуля дзета - функции Римана равна 1/2») и другие проблемы простых чисел, среди них гипотеза Гольдбаха и гипотеза простых чисел-близнецов. Нерешённый. —
9-е Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом алгебраических поле чисел . Частично решено. [ Дж ] —
10-е место Найдите алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение. Решено. Результат: Невозможно; Из теоремы Матиясевича следует, что такого алгоритма не существует. 1970
11-е Решение квадратных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами . Частично решено. [ 17 ] —
12-е Распространите теорему Кронекера-Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле базовых чисел. Частично решено. [ 18 ] —
13-е место Решите уравнение 7-й степени, используя алгебраические (вариант: непрерывные) функции двух параметров . Нерешённый. Непрерывный вариант этой проблемы был решен Владимиром Арнольдом в 1957 году на основе работы Андрея Колмогорова (см . Теорему о представлении Колмогорова–Арнольда ), но алгебраический вариант не решен. [ к ] —
14-е кольцо инвариантов алгебраической группы, действующей на кольце многочленов Всегда ли конечно порождено ? Решено. Результат: Нет, контрпример построил Масаеши Нагата . 1959
15-е место Строгое обоснование перечислительного исчисления Шуберта . Частично решено. [ 23 ] —
16-е Описать взаимное расположение овалов, происходящих от вещественной алгебраической кривой и как предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости. Неразрешён даже для алгебраических кривых восьмой степени. —
17-е Выразите неотрицательную рациональную функцию как частное суммы квадратов . Решено. Результат: Да, благодаря Эмилю Артину . Кроме того, был установлен верхний предел количества необходимых квадратных членов. 1927
18-е (а) Существует ли лишь конечное число существенно различных пространственных групп в n -мерном евклидовом пространстве? Решено. Результат: Да ( Людвиг Бибербах ) 1910
(б) Существует ли многогранник, который допускает только анизоэдральную мозаику в трех измерениях? Решено. Результат: Да ( Карл Рейнхардт ). 1928
в) Какова самая плотная упаковка шаров ? Широко распространено мнение, что проблема решена с помощью компьютерного доказательства ( Томас Каллистер Хейлз ). Результат: Наивысшая плотность достигается за счет плотных упаковок , каждая из которых имеет плотность примерно 74%, таких как гранецентрированная кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка. [ л ] 1998
19-е Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления обязательно аналитические ? Решено. Результат: Да, доказано Эннио Де Джорджи и, независимо и с использованием различных методов, Джоном Форбсом Нэшем . 1957
20-е Все ли вариационные задачи с определенными граничными условиями имеют решения? Частично решено. Важная тема исследований на протяжении всего 20 века, в результате которой были найдены решения для некоторых случаев. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] ?
21 ул. Доказательство существования фуксовых линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную группу монодромии. Частично решено. Результат: Да/нет/открыто, в зависимости от более точной постановки задачи. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] ?
22-е Униформизация аналитических отношений с помощью автоморфных функций Частично решено. Теорема униформизации ?
23-е место Дальнейшее развитие вариационного исчисления Слишком расплывчато, чтобы сказать, решена она или нет. —

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ См. Нагеля и Ньюмана в редакции Хофштадтера (2001, стр. 107), [ 5 ] сноска 37: «Более того, хотя большинство специалистов по математической логике не подвергают сомнению убедительность доказательства [Гентцена], оно не является финитистским в смысле первоначальных положений Гильберта об абсолютном доказательстве непротиворечивости». См. также следующую страницу: «Но эти доказательства [Гентцена и др.] не могут быть отражены внутри систем, которых они касаются, и, поскольку они не являются финитистскими, они не достигают провозглашенных целей исходной программы Гильберта». Хофштадтер немного переписал исходную (1958 г.) сноску, изменив слово «студенты» на «специалисты по математической логике». И этот момент снова обсуждается на стр. 109. [ 5 ] и не был там изменен Хофштадтером (стр. 108). [ 5 ]
  2. ↑ Рид сообщает, что, услышав о «работе Гёделя от Бернейса, он был «несколько рассержен». ... Сначала он был только зол и расстроен, но затем начал пытаться конструктивно решить проблему. ... Это было еще не ясно, какое влияние в конечном итоге окажет работа Гёделя» (стр. 198–199). [ 6 ] Рид отмечает, что в двух статьях 1931 года Гильберт предложил другую форму индукции, названную «unendliche Induktion» (стр. 199). [ 6 ]
  3. ↑ Биография Гильберта, написанная Ридом в 1960-х годах на основе интервью и писем, сообщает, что «Гедель (который никогда не вел никакой переписки с Гильбертом) считает, что схема Гильберта для оснований математики «остается очень интересной и важной, несмотря на мои отрицательные результаты». (стр. 217). Обратите внимание на использование настоящего времени – она сообщает, что Гёдель и Бернейс, среди других, «ответили на мои вопросы о работах Гильберта в области логики и логики». фундаменты» (п. vii). [ 6 ]
  4. ^ Эта проблема берет свое начало в «фундаментальном кризисе» начала 20 века, в частности в споре о том, при каких обстоятельствах закон исключенного третьего может быть использован в доказательствах. Подробнее см. в полемике Брауэра и Гильберта .
  5. ^ «Эта убежденность в разрешимости каждой математической проблемы является мощным стимулом для рабочего. Мы слышим внутри себя вечный призыв: проблема есть. Ищите ее решение. Вы можете найти его чистым разумом, ибо в математике нет невежды ». (Гильберт, 1902, стр. 445)
  6. ^ Нагель, Ньюман и Хофштадтер обсуждают этот вопрос: «Возможность построения финитистского абсолютного доказательства непротиворечивости такой формальной системы, как Principia Mathematica, не исключается результатами Гёделя. ... Его аргумент не исключает такую ​​возможность... Но Сегодня, похоже, никто не имеет четкого представления о том, каким будет финитистское доказательство, которое не может быть отражено в Principia Mathematica (сноска 39, стр. 109). авторы приходят к выводу, что такая перспектива «крайне маловероятна». [ 5 ]
  7. ^ Число 6 теперь считается задачей по физике, а не по математике.
  8. ^ Некоторые авторы считают эту проблему слишком расплывчатой, чтобы ее можно было назвать решенной, хотя по ней все еще ведутся активные исследования.
  9. ↑ По словам Грея, большая часть проблем решена. Некоторые из них не были определены полностью, но достигнут достаточный прогресс, чтобы считать их «решенными»; Грей называет четвертую проблему слишком расплывчатой, чтобы сказать, решена ли она.
  10. ^ Проблема 9 была решена Эмилем Артином в 1927 году для абелевых расширений рациональных чисел во время разработки теории полей классов ; неабелев случай остается нерешенным, если интерпретировать его как неабелеву теорию полей классов .
  11. ^ Нетрудно показать, что задача имеет частичное решение в пространстве однозначных аналитических функций (Рауденбуш). Некоторые авторы утверждают, что Гильберт намеревался найти решение в пространстве (многозначных) алгебраических функций, тем самым продолжая свою собственную работу над алгебраическими функциями и ставя вопрос о возможном расширении теории Галуа (см., например, Абхьянкар [ 19 ] Витушкин, [ 20 ] Chebotarev, [ 21 ] и другие). Это следует из одной из статей Гильберта. [ 22 ] что это было его первоначальным намерением решить проблему. Языком Гильберта является « Existenz von Alphaischen Funktionen » («существование алгебраических функций»). Таким образом, проблема до сих пор не решена.
  12. ↑ Грей также называет 18-ю проблему «открытой» в своей книге 2000 года, поскольку проблема упаковки сфер (также известная как гипотеза Кеплера ) не была решена, но теперь заявлено ее решение.

Ссылки

[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б с Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи» . Бюллетень Американского математического общества . 8 (10): 437–479. дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .
  2. ^ Гильберт, Дэвид (1900). «Математические задачи» . Новости Геттингена : 253–297. и Гильберт, Дэвид (1901). «[название не указано]». Архив математики и физики . 3.1 . : 44-63, 213-237
  3. ^ Вайнштейн, Джаред (25 августа 2015 г.). «Законы взаимности и представления Галуа: недавние открытия» . Бюллетень Американского математического общества . 53 (1). Американское математическое общество (AMS): 1–39. дои : 10.1090/bull/1515 . ISSN   0273-0979 .
  4. ^ ван Хейеноорт, Жан, изд. (1976) [1966]. От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 ((pbk.) Изд.). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 464 и далее. ISBN  978-0-674-32449-7 . Надежным источником аксиоматической системы Гильберта, его комментариев к ней и об основополагающем «кризисе», продолжавшемся в то время (переведенном на английский язык), являются «Основы математики» Гильберта (1927).
  5. ^ Перейти обратно: а б с д Нагель, Эрнест; Ньюман, Джеймс Р. (2001). Хофштадтер, Дуглас Р. (ред.). Доказательство Гёделя . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Нью-Йоркского университета. ISBN  978-0-8147-5816-8 .
  6. ^ Перейти обратно: а б с Рид, Констанс (1996). Гильберт . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0387946740 .
  7. ^ Тиле, Рюдигер (январь 2003 г.). «Двадцать четвертая проблема Гильберта» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 : 1–24. дои : 10.1080/00029890.2003.11919933 . S2CID   123061382 .
  8. ^ Вейль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN   0002-9904 . МР   0029393 .
  9. ^ Браудер, Феликс Э. (1976). Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1428-1 . ОСЛК   2331329 .
  10. ^ Чунг, Фан Р.К.; Грэм, Рональд Л. (1 июня 1999 г.). Эрдеш о графиках: его наследие нерешенных проблем . Натик, Массачусетс: AK Peters/CRC Press. ISBN  978-1-56881-111-6 . OCLC   42809520 .
  11. ^ Клоусон, Кэлвин К. (8 декабря 1999 г.). Математические загадки: красота и магия чисел . Основные книги. п. 258. ИСБН  9780738202594 . ЛЦН   99-066854 .
  12. ^ Куни, Майкл (30 сентября 2008 г.). «23 самых сложных математических вопроса в мире» . Сетевой мир . Проверено 7 апреля 2024 г.
  13. ^ «Математические задачи DARPA» . 26 сентября 2008 г. Архивировано из оригинала 12 января 2019 г. Проверено 31 марта 2021 г.
  14. ^ Корри, Л. (1997). «Давид Гильберт и аксиоматизация физики (1894–1905)». Арх. Хист. Точная наука . 51 (2): 83–198. дои : 10.1007/BF00375141 . S2CID   122709777 .
  15. ^ Горбань, АН ; Карлин, И. (2014). «Шестая проблема Гильберта: точные и приближенные гидродинамические многообразия для кинетических уравнений» . Бюллетень Американского математического общества . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . дои : 10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
  16. ^ Джон фон Нейман (2018). Николас А. Уиллер (ред.). Математические основы квантовой механики. Новое издание . Перевод Роберта Т. Бейера. Издательство Принстонского университета. ISBN  9781400889921 .
  17. ^ Хазевинкель, Мишель (2009). Справочник по алгебре . Том. 6. Эльзевир. п. 69. ИСБН  978-0080932811 .
  18. ^ Хьюстон-Эдвардс, Келси (25 мая 2021 г.). «Математики находят долгожданные строительные блоки для специальных полиномов» .
  19. ^ Абхьянкар, Шрирам С. (1997). Тринадцатая проблема Гильберта (PDF) . Семинары и конгрессы. Полет. 2. Французское математическое общество.
  20. ^ Витушкин, Анатолий Георгиевич (2004). «О тринадцатой проблеме Гильберта и связанных с ней вопросах». Российские математические обзоры . 59 (1). Российская академия наук: 11–25. Бибкод : 2004РуМаС..59...11В . дои : 10.1070/RM2004v059n01ABEH000698 . S2CID   250837749 .
  21. ^ Morozov, Vladimir V. (1954). "О некоторых вопросах проблемы резольвент" [On certain questions of the problem of resolvents]. Proceedings of Kazan University (in Russian). 114 (2). Kazan University: 173–187.
  22. ^ Гильберт, Дэвид (1927). «Об уравнении девятой степени». Математика . 97 : 243-250. дои : 10.1007/BF01447867 . S2CID   179178089 .
  23. ^ Клейман, СЛ ; Лаксов, Дэн (1972). «Исчисление Шуберта». Американский математический ежемесячник . 79 (10). Американское математическое общество: 1061–1082. дои : 10.1080/00029890.1972.11993188 . ISSN   0377-9017 .
  24. ^ Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (12 января 2001 г.). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-41160-4 .
  25. ^ Серрин, Джеймс (8 мая 1969 г.). «Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений со многими независимыми переменными». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 264 (1153): 413–496. дои : 10.1098/rsta.1969.0033 . ISSN   0080-4614 .
  26. ^ Мавин, Джин (1 января 1999 г.). «Степень Лере-Шодера: полвека расширений и приложений» . Топологические методы нелинейного анализа . 14 (2). Университет Николая Коперника в Торуни, Центр нелинейных исследований Юлиуша Шаудера: 195–228. дои : 10.12775/TMNA.1999.029 . ISSN   1230-3429 . Проверено 8 апреля 2024 г.
  27. ^ Племель, Иосип (1964). Радок., JRM (ред.). Проблемы в смысле Римана и Клейна . Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике. Том. 16. Нью-Йорк-Лондон-Сидней: ISBN издательства Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc.  9780470691250 . МР   0174815 .
  28. ^ Аносов Д.В.; Болибрух, А.А. (1994). Проблема Римана-Гильберта . Аспекты математики, Е22. Брауншвейг: Фридр. Вьюег и сын. дои : 10.1007/978-3-322-92909-9 . ISBN  978-3-528-06496-9 . МР   1276272 .
  29. ^ Bolibrukh, A. A. (1990). "The Riemann-Hilbert problem". Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (in Russian). 45 (2): 3–47. Bibcode : 1990RuMaS..45Q...1B . doi : 10.1070/RM1990v045n02ABEH002350 . ISSN  0042-1316 . MR  1069347 . S2CID  250853546 .
  30. ^ Болибрух, А.А. (1992). «Достаточные условия положительной разрешимости проблемы Римана-Гильберта». Математические заметки . 51 (2): 110–117. дои : 10.1007/BF02102113 . МР   1165460 . S2CID   121743184 .
  31. ^ Кац, Нью-Мексико (1976). «Обзор работы Делиня над двадцать первой проблемой Гильберта». Труды симпозиумов по чистой математике . 28 : 537–557. дои : 10.1090/pspum/028.2/9904 . ISBN  9780821814284 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbert%27s_problems&oldid=1240218455"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d19ee6f378bd62193392acaf87889600__1723601820
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d1/00/d19ee6f378bd62193392acaf87889600.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hilbert's problems - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)